Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 10)

P xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge 0\\ \sqrt{a}-2\ne 0\\ \sqrt{a}+2\ne 0\\ 4a>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \sqrt{a}\ne 2\\ \sqrt{a}\ne -2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ a\ne 2^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ a\ne 4\end{array}\right.$.

Vậy $a>0;a\ne 4$ thì biểu thức P xác định.

ĐKXĐ: $a>0;a\ne 4$.

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}\right).\frac{a-4}{\sqrt{4a}}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+2\right)+\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\sqrt{2^2.a}}\\ =\frac{a+2\sqrt{a}+a-2\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}\\ =\frac{2a}{2\sqrt{a}}=\sqrt{a}\end{array}$

Vậy $P=\sqrt{a}$ với $a>0;a\ne 4$.

Phương pháp

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức $\sqrt{A^2}=\left[\begin{array}{l}AkhiA\ge 0\\ -AkhiA<0\end{array}\right.$ để biến đổi và rút gọn A.

Cách giải

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{15}\right).\sqrt{2-\sqrt{3}}}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{2\left(2-\sqrt{3}\right)}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{4-2\sqrt{3}}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}\left(do\sqrt{3}-1>0\right)\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{\left(3-1\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\sqrt{2\left(4-\sqrt{15}\right)}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\sqrt{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3}\\ =\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(do\sqrt{5}-\sqrt{3}>0\right)\\ =5-3=2\end{array}$

Vậy $A=2$ là một số nguyên.

+ Vẽ đồ thị hàm số $\left(d_1\right):y=2x-3$.

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số $\left(d_1\right)$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left(1;-1\right);\left(3;3\right)$.

+ Vẽ đồ thị hàm số $\left(d_2\right):y=-\frac{1}{2}x+2$.

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số $\left(d_2\right)$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left(0;2\right);\left(4;0\right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$:

$2x-3=-\frac{1}{2}x+2\iff 2x+\frac{1}{2}x=2+3\iff \frac{5}{2}x=5\iff x=2$

Thay $x=2$ vào hàm số $y=2x-3$ ta được $y=2.2-3=1$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ là $A\left(2;1\right)$.

Ba đường thẳng $\left(d_1\right),\left(d_2\right)$ và $\left(d_3\right):y=3x-2m-3$ đồng quy $\Rightarrow \left(d_3\right)$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)\Rightarrow A\in \left(d_3\right)$.

Thay tọa độ điểm A vào hàm số $\left(d_3\right):y=3x-2m-3$ ta được: $1=3.2-2m-3\Rightarrow 2m=6-3-1\Rightarrow m=1$.

Vậy $m=1$ thì ba đường thẳng $\left(d_1\right),\left(d_2\right)$ và $\left(d_3\right):y=3x-2m-3$ đồng quy.

ĐKXĐ: $3x^2+12x+12\ge 0\Rightarrow x^2+4x+4\ge 0\Rightarrow {\left(x+2\right)}^2\ge 0$ đúng $\forall x$.

$\begin{array}{l}\sqrt{3x^2+12x+12}=\sqrt{75}\iff 3x^2+12x+12=75\\ \iff 3x^2+12x-63=0\iff x^2+4x-21=0\\ \iff x^2+7x-3x-21=0\iff \left(x+7\right)\left(x-3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x+7=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-7\\ x=3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-7$ và $x=3$.

Trong $\Delta AHC$ vuông tại H có:

$\begin{array}{l}\tan ACB=\frac{AH}{HC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AH=HC.\frac{3}{4}=16.\frac{3}{4}=12\left(cm\right)\\ A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2={12}^2+{16}^2=400\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\end{array}$

Vậy $AH=12cm;AC=20cm$.