Bộ 12 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023 - 2024) có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội\(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({S_n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - q} \right)}}{{1 - {q^n}}}\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{n - 1}}} \right)}}{{1 - q}}\).
Chọn C
Công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left( \alpha \right)\)và\(\left( \beta \right)\). Chọn khẳng định đúng:
Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường thẳng song song với nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa một đường thẳng song song với \(\left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\)cùng song song với một đường thẳng thì \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Chọn D
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {x_0}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = {x_0}\)
Chọn B
Định nghĩa hàm số lirn tục tại một điểm.
Trong hoạt động Ngày chủ nhật xanh, đoàn thanh niên lớp 11B2 tiến hành trồng cây. Kết quả sau hoạt động được ghi lại ở bảng sau:
Sốcây | \(\left[ {1;8} \right)\) | \(\left[ {8;15} \right)\) | \(\left[ {15;22} \right)\) | \(\left[ {22;29} \right)\) | \(\left[ {29;36} \right)\) |
Số học sinh | 7 | 15 | 6 | 10 | 3 |
Số học sinh trồng cây với số lượng từ \(\left[ {15;22} \right)\) cây là
28 học sinh.
15 học sinh.
7 học sinh.
6 học sinh.
Chọn D
Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \)rad thì có độ dài
\(l = R + \alpha \).
\(l = 2R\alpha \).
\(l = R\alpha \).
\(l = \frac{R}{\alpha }\).
Chọn C
Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) cắt \(\left( P \right)\).
Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\).
Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\).
Nếu đường thẳng \(a\) song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\).
Chọn B
Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Cho tứ diện\(ABCD\) có\(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC;AD\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
Chọn D
Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{MN//CD \subset \left( {BCD} \right)}\\{MN \not\subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì
\[4\pi \].
\[3\pi \].
\[2\pi \].
\[\pi \].
Chọn C
Trong không gian, điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) được kí hiệu là
\[A \in (\alpha )\].
\((\alpha ) \supset A\).
\(A \notin (\alpha )\).
\(A \subset (\alpha )\).
Chọn A
Số mặt của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (tham khảo hình vẽ) là
4.
6.
8.
5.
Chọn D
Kết quả khảo sát cân nặng số táo ở lô hàng B được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) | [150;155) | [155;160) | [160;165) | [165;170) | [170;175) |
Số quả táo ở lô hàng B | 1 | 3 | 7 | 10 | 4 |
Số táo được khảo sát trong bảng số liệu là
\(6.\)
\(25.\)
\(7.\)
\(5.\)
Chọn B
Kích thức mẫu là 25.
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
Phép chiếu song song biến tam giác vuông thànhtam giác đều.
Phép chiếu song song biến hình bình hành thành hình chữ nhật.
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Chọn D
Số cạnh của hình chóp \(S.ABCD\) (tham khảo hình vẽ) là
6.
8.
5.
4.
Chọn B
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
\[{\rm{sin}}u - {\rm{sin}}v = 2{\rm{sin}}\frac{{u + v}}{2}{\rm{.cos}}\frac{{u - v}}{2}\].
\[\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2}\].
\[\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2}\].
\[\sin u + \sin v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2}\].
Chọn C
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Công thức nào sau đây đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L - M\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \frac{L}{M}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L.M\)
Chọn B
Trong không gian, giữa hai đường thẳng có bao nhiêu vị trí tương đối
2.
3.
4.
1.
Chọn C
Cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
Cho dãy số \( - 2;0;2;4;6\). Số hạng đầu và số hạng cuối của dãy lần lượt là
\(6\) và \( - 2\)
\( - 2\) và \(4\)
\( - 2\) và \(6\)
\(0\) và \(4\)
Chọn C
Trong không gian cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song. Số giao điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là
1.
Vô số.
2.
0.
Chọn D
Hàm số nào sau đây có giới hạn bằng \( + \infty \)?
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{2x - 5}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} + 3x - 2} \right)\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 7\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 5} \right)\]
Chọn B
Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD.EFGH\)(tham khảo hình vẽ). Đường thẳng \(CD\) chéo với đường thẳng
\(EF\).
\(AB\).
\(AE\).
\(AD\).
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(G,H\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta ABC\) (tham khảo hình vẽ).
Đường thẳng \(GH\) song song với đường thẳng nào sau đây ?
\(GH{\rm{//}}SC\).
\(GH{\rm{//S}}B\)
\(GH{\rm{//SD}}\)
\(GH{\rm{//AC}}\)
Chọn A
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,BC\) ta có \(GH//MN;MN//SC \Rightarrow GH//SC.\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\]. Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {BCA'} \right)\).
\(\left( {AA'B'} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {PAB} \right)\).
Chọn C
Ta thấy \(\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right).\)
Giá trị của\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) bằng
\( - \frac{1}{3}\).
\( - 3\).
\( + \infty \).
\(1\).
Chọn A
Cho hàm số
. Xác định \[a\] để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 5\].
\(a = 20\).
\(a = 10\).
\(a = 5\)
\(a = 0\).
Chọn B
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 10\].
Hàm số liên tục tại \(x = 5 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) \Leftrightarrow a = 10.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \[I\], \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AD\] (tham khảo hình vẽ)
Mệnh đề nào sau đây đúng:
\(IK\parallel \,\,\left( {BCD} \right)\)
\(IK\parallel \,\left( {ABC} \right)\)
\(IK\parallel \left( {ABD} \right)\)
\(IK\parallel \,\left( {ACD} \right)\)
Chọn A
Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{IK//BD \subset \left( {BCD} \right)}\\{IK \not\subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow IK//\left( {BCD} \right).\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\)và \(CD\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GEF} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) là đường thẳng
đi qua \(G\) và song song với \(BD\).
đi qua \(G\) và song song với \(AD\)
đi qua \(G\) và song song với \(AC\).
đi qua \(G\) và song song với \(AB\).
Chọn B
Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {GFE} \right) \supset FE//DA}\\{\left( {GFE} \right) \cap \left( {ABD} \right) = d}\end{array}} \right\} \Rightarrow d//AD.\)
Nghiệm của phương trình \[\tan \left( {x - 10^\circ } \right) = \sqrt 3 \] là
\[x = 10^\circ + k180^\circ \].
\[x = 70^\circ + k180^\circ \].
\[x = 60^\circ + k360^\circ \].
\[x = 70^\circ + k360^\circ \].
Chọn B
Ta có \[\tan \left( {x - 10^\circ } \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x - {10^0} = {60^0} + k{360^0} \Leftrightarrow x = {70^0} + k{360^0}.\]
Giá trị của\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3{n^2} - n + 2}}{{{n^2} - 5}}\) bằng
\(3\).
\( + \infty \).
\( - \frac{2}{5}\).
\(0\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3{n^2} - n + 2}}{{{n^2} - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{5}{{{n^2}}}}} = 3.\)
Cho \[\sin a = \frac{2}{3}\] và \[0 < a < \frac{\pi }{2}\].Tính \[{\rm{cos}}2a\]
\[\frac{1}{9}\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[ - \frac{1}{9}\].
\[\frac{1}{3}\].
Chọn A
Ta có \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công sai \(d = 5\). Tổng của \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng là \(1701\). Khi đó \(9{n^3} - 4n + 3\) bằng
\(177042\).
\(256042\).
\(354084\).
\(152024\).
Chọn A
Ta có \({s_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = \frac{n}{2}\left( { - 4 + \left( {n - 1} \right)5} \right) = 1701 \Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 3402 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 27}\\{n = - \frac{{126}}{5}\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\)
Với \(n = 27\) ta có \(9{n^3} - 4n + 3 = {9.27^3} - 4.27 + 3 = 177042.\)
Cho hai số thực \(a\) và \(b\) thỏa \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{4{x^2} + \left( {a + 10} \right)x + b}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{{23}}{5}\,.\] Khi đó giá trị \(2024a + 2023b\) bằng
\[ - 26257\].
\[ - 16177\].
\[12456\].
\[26257\].
Chọn B
+ Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{4{x^2} + \left( {a + 10} \right)x + b}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{{23}}{5}\, \Rightarrow 4{\left( { - 5} \right)^2} + \left( {a + 10} \right)\left( { - 5} \right) + b = 0 \Leftrightarrow b = 5a - 50\]
Với \(b = 5a - 50\) ta có
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{4{x^2} + \left( {a + 10} \right)x + b}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{4{x^2} + \left( {a + 10} \right)x + 5a - 50}}{{{x^2} + 5x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {4x + a - 10} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{4x + a - 10}}{x} = \frac{{a - 30}}{{ - 5}} = \frac{{23}}{5}\\ \Leftrightarrow a = 7 \Rightarrow b = - 15\, \Rightarrow 2024a + 2023b = - 16117.\end{array}\]
Tổng \(S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{25}} + \frac{1}{{125}} + ... + \frac{1}{{{5^{n - 1}}}} + ...\) bằng
\(\frac{5}{2}\).
\(\frac{{25}}{4}\).
-\(\frac{{25}}{4}\).
\(\frac{5}{4}\).
Chọn D
Ta có \(S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{25}} + \frac{1}{{125}} + ... + \frac{1}{{{5^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hàng đầu và công bội là \({u_1} = 1,q = \frac{1}{5} \Rightarrow S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{\frac{4}{5}}} = \frac{5}{4}.\)
Cho hai số thực \(a\) và \(b\) với \(b < 0\) thỏa mãn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {5{x^2} + 1} }}{{3x}} = \frac{a}{b}\,.\] Khi đó giá trị \(4{a^2} + b\) bằng
\[ - 20\].
\[ - 23\].
\[17\].
\[23\].
Chọn C
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {5{x^2} + 1} }}{{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {5 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {5 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{3} = \frac{{\sqrt 5 }}{{ - 3}}\, = \frac{a}{b} \Rightarrow a = \sqrt 5 ,b = - 3 \Rightarrow 4{a^2} + b = 17\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD\) và \(SD\). Biết rằng mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) cắt đường thẳng \(SA\) tại \(P\). Tính tỉ số đoạn thẳng \(\frac{{SP}}{{PA}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{1}{4}\).
Chọn B
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)\(BM \cap AD = E.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)\(EN \cap SA = P \Rightarrow \left( {BMN} \right) \cap SA = P.\)
Ta có \(DA = DE,3NP = NE.\)
Trong tam giác \(SAD\) ta có \(\frac{{PS}}{{PA}}.\frac{{EA}}{{ED}}.\frac{{ND}}{{NS}} = 1 \Rightarrow \frac{{PS}}{{PA}} = \frac{1}{2}.\)
Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính\(6\left( {cm} \right)\) như Hình \(3{\rm{a}}\). Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính bằng \(\frac{1}{2}\)bán kính hình tròn ban đầu chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình \(3b\).
Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính bằng \(\frac{1}{4}\)bán kính hình tròn ban đầu chồng lên các hình trước như Hình \(3{\rm{c}}\). Cứ thế tiếp tục mãi. Khi đó tổng diện tích của các hình tròn là
\(6\pi \).
\(72\pi \).
\(36\pi \).
\(12\pi \).
Chọn B
+ Ta có 1 hình tròn bán kính \(R = 6,\)hai hình tròn bán kính \(\frac{R}{2},\) bốn hình tròn bán kính \(\frac{R}{4},...\)
+ Gọi \(S\) là diện tích hình tròn bán kính \(R,\)\({S_1}\) là tổng diện tích các hình tròn bán kính \(\frac{R}{2},\)\({S_2}\) là tổng diện tích các hình tròn bán kính \(\frac{R}{4},\)\({S_3}\) là tổng diện tích các hình tròn bán kính \(\frac{R}{8},\)…
Ta thấy \(S = 36\pi ,{S_1} = 18\pi ,{S_2} = 9\pi ,...\)lập thành một cấp nhân có số hạng đầu \({u_1} = {S_1},\) công bội \(q = \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(S + {S_1} + {S_2} + ... = \frac{S}{{1 - q}} = 72\pi .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(SB,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} SD\). Chứng minh rằng \(IK\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(IK \not\subset \left( {ABCD} \right)\). \(IK{\kern 1pt} //{\kern 1pt} BD\)(vì \(IK\)là đường trung bình của tam giác \(\left( {SBD} \right)\))
mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)Suy ra \(IK\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\)
Tính:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 5n} - n} \right)\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 6}}{{x - 2}}\)
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 5n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 5n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 5n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5n}}{{\sqrt {{n^2} + 5n} + n}}\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{5}{{\sqrt {1 + \frac{5}{n}} + 1}} = \frac{5}{2}\).
b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 6} \right) = 8 > 0\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x - 2 < 0,\forall x \to {2^ - }\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 6}}{{x - 2}} = - \infty \)
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^{2024}} - 2024}}{{x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5} - 5}}\).
+ Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) + ... + \left( {{x^{2024}} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^5} - 1} \right)}}\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{2023}} + {x^{2022}} + ... + x + 1} \right)} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + \left( {x + 1} \right) + ... + \left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)} \right)}}\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{2023}} + {x^{2022}} + ... + x + 1} \right)}}{{1 + \left( {x + 1} \right) + ... + \left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}\) =\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 2024}}{{1 + 2 + ... + 5}}\)=136620
