Bộ 12 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023 - 2024) có đáp án - Đề 1
31 câu hỏi
Cho hình hộp\[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng \[\left( {A'B'C'D'} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\[\left( {ABCD} \right)\].
\[\left( {AA'C'C} \right)\].
\[\left( {CC'D'D} \right)\].
\[\left( {BB'C'C} \right)\].
Chọn A
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp nên \[\left( {A'B'C'D'} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\].
Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?
\[{u_n} = {2^n}\].
\({u_n} = 2n + 1\).
\({u_n} = \frac{2}{{n + 1}}\).
\({u_n} = {n^2} - 2\).
Chọn B
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = 2n + 1\):
Ta có \({u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 = 2n + 3\).
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 1} \right) = 2\) không đổi với mọi \(n\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 2\).
\(\lim \frac{1}{{5n + 2}}\) bằng
\( + \infty \).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(0\).
Chọn D
Ta có \(\lim \frac{1}{{5n + 2}} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{2}{n}}} = \frac{0}{5} = 0\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {k\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {k2\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn C
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left. {k\pi } \right|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,SD\). Mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn C
Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,BD\).
Khi đó, \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(MO{\rm{//}}SC\), do đó \(MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Ta cũng có \(NO\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) nên \(NO{\rm{//}}SB\), do đó \(NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Mà \(NO\) và \(MO\) cắt nhau tại \(O\) trong mặt phẳng \(\left( {MNO} \right)\) nên \(\left( {MNO} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), \[M\] là trung điểm \[SA\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(OM{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(OM{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
\(OM{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Chọn D
Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,BD\).
Khi đó, \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(MO{\rm{//}}SC\), do đó \(MO{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = \frac{{72}}{7}\).
\({M_e} = 8\).
\({M_e} = \frac{{10}}{7}\).
\({M_e} = 12\).
Chọn A
Ta có \(n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20\).
Gọi \({x_1},\,{x_2},\,{x_3},\,...,\,{x_{20}}\) là thời gian hoàn thành một bài tập của từng học sinh trên và giả sử mẫu số liệu đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Vì \({x_{10}},\,{x_{11}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {8;\,12} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.
Vậy \({M_e} = 8 + \frac{{\frac{{20}}{2} - \left( {2 + 4} \right)}}{7} \cdot \left( {12 - 8} \right) = \frac{{72}}{7}\).
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên \[\mathbb{R}\]?
\[y = {x^2} + 6x + 20\].
\[y = \cos x\].
\[y = \frac{x}{{{x^2} + x + 2}}\].
\[y = \frac{x}{{x + 1}}\].
Chọn D
Hàm số \[y = {x^2} + 6x + 20\] là hàm đa thức bậc hai nên nó liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm lượng giác có tập xác định là \[\mathbb{R}\] nên nó liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số \[y = \frac{x}{{{x^2} + x + 2}}\] có tập xác định là \[\mathbb{R}\] (do \({x^2} + x + 2 > 0\forall x \in \mathbb{R}\)) nên nó liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số \[y = \frac{x}{{x + 1}}\] có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) nên nó không liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
\[L = - 5\].
\[L = 0\].
\[L = - 3\].
\[L = 5\].
Chọn D
Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 1 + 4 = 5\).
Tính \(\lim \frac{{1 + 19n}}{{18n + 19}}\).
\(\frac{{19}}{{18}}\).
\(\frac{1}{{19}}\).
\( + \infty \)
\(\frac{1}{{18}}\).
Chọn A
Ta có \(\lim \frac{{1 + 19n}}{{18n + 19}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + 19}}{{18 + \frac{{19}}{n}}} = \frac{{19}}{{18}}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cos x.\)
Chọn D
Ta có các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cot x\), \(y = \tan x\) là các hàm số lẻ. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = 2\)?
\(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).
\(y = \frac{x}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2}}\).
Chọn B
Hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) có tập xác định là \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right)\), do đó hàm số này gián đoạn tại điểm \({x_0} = 2\).
Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,\,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,ABD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(MN{\rm{//}}BD\).
\(MN{\rm{//}}CA\).
\(MN{\rm{//}}CD\).
\(MN{\rm{//}}AD\).
Chọn C
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).
Vì \(M,\,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,ABD\) nên \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DN}}{{DE}} = \frac{2}{3}\).
Theo định lí Thalès đảo trong tam giác \(ECD\), ta suy ra \(MN{\rm{//}}CD\).
Số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\(1\).
Chọn D
Ta có \(\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ {0;\,\pi } \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\). Vậy có 1 nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Ba điểm.
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm.
Chọn C
Yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Xét phương án A: Trường hợp ba điểm thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.
Xét phương án B: Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng không xác định được một mặt phẳng.
Xét phương án D: Trường hợp bốn điểm phân biệt thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 5} \right)\) bằng
\[5\].
\[9\].
\[7\].
\[0\].
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 5} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 5 = 7\).
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Kết quả đúng là
\(\sin \alpha < 0;\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0;\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0;\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0;\cos \alpha < 0\).
Chọn C
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ II, do đó \(\sin \alpha > 0;\cos \alpha < 0\).
Đo chiều cao (tính bằng cm) của \[500\] học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như sau:
Chiều cao | \[\left[ {150;\,154} \right)\] | \[\left[ {154;\,158} \right)\] | \[\left[ {158;\,162} \right)\] | \[\left[ {162;\,166} \right)\] | \[\left[ {166;\,170} \right)\] |
Số học sinh | 25 | 50 | 200 | 175 | 50 |
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả bao nhiêu nhóm?
\[5\].
\[6\].
\[7\].
\[12\].
Chọn A
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả \[5\] nhóm, đó là: \[\left[ {150;\,154} \right)\], \[\left[ {154;\,158} \right)\], \[\left[ {158;\,162} \right)\], \[\left[ {162;\,166} \right)\], \[\left[ {166;\,170} \right)\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\[MN{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\].
Chọn C
Vì \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD\] nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SCD\).
Suy ra \(MN{\rm{//}}CD\). Mà \(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành). Do đó, \(MN{\rm{//}}AB\).
Vậy \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \left( { - 2x + 1} \right) = - 2 + 1 = - 1 < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và \(x - 1 > 0\) khi \(x \to {1^ + }\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]như hình vẽ. Mặt phẳng \[\left( {AB'D'} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\[\left( {BCA'} \right)\].
\[\left( {BC'D} \right)\].
\[\left( {A'C'C} \right)\].
\[\left( {BDA'} \right)\].
Chọn B
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] nên \(AB'C'D\) và \(ABC'D'\) là các hình bình hành.
Suy ra \(AB'{\rm{//}}DC'\) và \(BC'{\rm{//}}AD'\). Do đó \[AB'{\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\] và \[AD'{\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\].
Lại có \(AB'\) và \(AD'\) cắt nhau tại \(A\) và nằm trong mặt phẳng \[\left( {AB'D'} \right)\].
Vậy \[\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\].
Phương trình \[\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\] có tất cả các nghiệm là
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có \[\cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\end{array} \right.\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\[\;\;3;5;7.\]
\[ - 3;\,6;\,9.\]
\[3;\, - 2;\, - 7.\]
\[3;\,8;\,13\].
Chọn D
Ta có \({u_1} = 3;\,\,\,{u_2} = {u_1} + 5 = 3 + 5 = 8;\,\,\,{u_3} = {u_2} + 5 = 8 + 5 = 13\).
Góc có số đo \(120^\circ \) đổi sang radian là
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
\(\left( {OA,OB'} \right)\).
Chọn B
Ta có \(120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{2\pi }}{3}\,\left( {{\rm{rad}}} \right)\).
Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {9,5;12,5} \right)\] | \[\left[ {12,5;15,5} \right)\] | \[\left[ {15,5;18,5} \right)\] | \[\left[ {18,5;21,5} \right)\] | \[\left[ {21,5;24,5} \right)\] |
Số học sinh | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút?
\(24\).
\(15\).
\(2\).
\(20\).
Chọn A
Số học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút là \(24\).
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
\[\left[ {40;60} \right)\].
\[\left[ {20;40} \right)\].
\[\left[ {60;80} \right)\].
\[\left[ {80;100} \right)\].
Chọn A
Vì tần số lớn nhất của mẫu số liệu là \(12\), là tần số của nhóm \(\left[ {40;\,60} \right)\) nên nhóm này chứa mốt của mẫu số liệu đã cho.
Đo cân nặng của một số học sinh lớp 11D cho trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) | [55,5; 60,5) | [60,5; 65,5) |
Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 |
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {55,5;\,60,5} \right)\] là
\(55,5\).
\(58\).
\(60,5\).
\(5\).
Chọn B
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {55,5;\,60,5} \right)\] là \(\frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy là hình bình hành. Gọi \(I\)và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[BC\] (tham khảo hình vẽ). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(IJ{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).
\(JI{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(JI{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(JI{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
Chọn B
Vì \(I\)và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[BC\] nên \(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta SBC\), do đó \(IJ{\rm{//}}SB\). Mà \(IJ \not\subset \left( {SAB} \right)\). Từ đó suy ra \(JI{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {2{x^2} + 1} \right)\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {2{x^2} + 1} \right) = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 3\).
Sinh nhật bạn của An vào ngày 10 tháng 01 năm 2024, An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn của mình, nên An quyết định bỏ ống heo 1 000 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2024, sau đó cứ liên tục ngày sau gấp đôi ngày trước. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích luỹ được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2024 đến ngày 10 tháng 01 năm 2024).
Số tiền An bỏ vào ống heo mỗi ngày lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \[{u_1} = 1000\] và công bội \[q = 2\].
Tổng 10 ngày tích luỹ của bạn An là: \[{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\,000 \cdot \left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 1\,023\,000\] đồng.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD,\)\(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh \(MG{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).
Gọi \[P\] là trung điểm của \[AD\].
Từ đề bài, ta suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}BG = 2GP\\BM = 2MC\end{array} \right.\].
\[ \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BP}} = \frac{2}{3}\]\[ \Rightarrow MG{\rm{//}}CP\].
Mà \[\left\{ \begin{array}{l}CP \subset \left( {ACD} \right)\\MG \not\subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\] nên \(MG{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).
