Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức \(\frac{{x + 8}}{{2:x}}\) không là phân thức vì \(2:x\) không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{x - 1}};\,\,\frac{5}{{x + 1}};\,\,\frac{7}{{{x^2} - 1}}\) là \({x^2} - 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\) là \[ - \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}.\]

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phân thức nghịch đảo của phân thức \( - \frac{x}{{x - 2y}}\) là \[ - \frac{{x - 2y}}{x} = \frac{{2y - x}}{x}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhân cả hai vế của phương trình \(\frac{1}{2}x =  - 1\) với \(2\) ta được \(x =  - 2,\) do đó ta đưa được phương trình này về phương trình \(x + 2 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình \[\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2\] có vô số nghiệm khi \({m^2} - 4 = 0\) và \(m - 2 = 0.\)

⦁ Xét \({m^2} - 4 = 0,\) ta có \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,\) tức là \(m - 2 = 0\) hoặc \(m + 2 = 0,\) nên \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2.\)

Xét \(m - 2 = 0,\) ta có \(m = 2.\)

Kết hợp hai điều kiện ta được \(m = 2.\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì  theo tỉ số \(k = \frac{5}{9}\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{CA}}{{FD}} = \frac{5}{9}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{CA}}{{FD}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{DE + EF + FD}} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}} = \frac{5}{9}.\)

Khi đó \(\frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{5} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{9},\) theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

\[\frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{5} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{9} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC + Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{{5 + 9}} = \frac{{28}}{{14}} = 2.\]

Suy ra chu vi của tam giác \(DEF\) là \(2 \cdot 9 = 18{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, \[S\] là diện tích \[\Delta ABC\] \[\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}S > 0} \right).\]

Ta có \(S = \frac{1}{2}a \cdot 4,8 = \frac{1}{2}b \cdot 6 = \frac{1}{2}c \cdot 8\)

Hay \(2S = 4,8a = 6b = 8c.\)

Suy ra \(a = \frac{{2S}}{{4,8}} = \frac{{5S}}{{12}};\,\,b = \frac{{2S}}{6} = \frac{S}{3};\,\,c = \frac{{2S}}{8} = \frac{S}{4}.\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{S^2}}}{{144}}.\)

\({a^2} = {\left( {\frac{{5S}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{S^2}}}{{144}}.\)

Do đó \({b^2} + {c^2} = {a^2},\) theo định lí Pythagore ta có tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^2} =  - \left( {{x^2} - 1} \right) =  - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right..\)

Vậy để \(B\) xác định thì \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1.\)

b) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

  \( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

  \( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vì vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x =  - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x =  - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

c) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\(x + 1\)	\(1\)	\( - 1\)	\(2\)	\( - 2\)	\(4\)	\( - 4\)
\(x\)	\(0\)	\( - 2\)	\(1\)	\( - 3\)	\(3\)	\( - 5\)

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Mà \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\) nên \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

a) \(2x - 1 - \left( {4x - 1} \right) = x + 6\)

\(2x - 1 - 4x + 1 = x + 6\)

\(2x - 4x - x = 6\)

\( - 3x = 6\)

\(x =  - 2\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 2.\)

b) \(\frac{x}{3} + \frac{{x - 2}}{4} = 0,5x - 2,5\)

\(\frac{{4x}}{{12}} + \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{12}} = \frac{{12\left( {0,5x - 2,5} \right)}}{{12}}\)

\(4x + 3x - 6 = 6x - 30\)

\(4x + 3x - 6x =  - 30 + 6\)

\(x =  - 24\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 24.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: \(12 - x.\)

Độ lớn số ban đầu là: \[10x + \left( {12 - x} \right).\]

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: \(12 - x\) và chữ số hàng đơn vị là \(x.\) Số mới có độ lớn là: \(10\left( {12 - x} \right) + x.\)

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

\(\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18\)

\(10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18\)

\[10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120\]

\(18x = 126\)

\(x = 7\) (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là \(12 - 7 = 5.\)

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

1) Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Do tam giác \[ABM\] vuông tại \(B,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = {5,6^2} + {8,4^2} = 31,36 + 70,56 = 101,92\]

Suy ra \(AB = \sqrt {101,92} \,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

• Do tam giác \(CDH\) vuông tại \(H,\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\[C{D^2} = C{H^2} + D{H^2} = {16,2^2} + {10,8^2} = 262,44 + 116,64 = 379,08\]

Suy ra \(CD = \sqrt {379,08} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Ta có \[AI = BH = BM + MC + CH = 8,4 + 24 + 16,2 = 48,6\] (m).

            \[DI = DH--HI = DH--AB = 10,8--5,6 = 5,2\] (m).

Do tam giác \[ADI\] vuông tại \[I,\] nên theo định lí Pythagore ta có:

\[A{D^2} = A{I^2} + D{I^2} = {48,6^2} + {5,2^2} = 2{\rm{ }}361,96 + 27,04 = 2{\rm{ }}389\]

Suy ra \(AD = \sqrt {2\,389} \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

• Chu vi tứ giác \(AMCD\) là:

\[AM + MC + CD + DA = \]\(\sqrt {101,92}  + 24 + \sqrt {379,08}  + \sqrt {2389}  \approx 102,4\) (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng \[102,4{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]

2)

a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)

Lại có \(AH \bot BC\) \((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)

Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)

Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) \(MN = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)

Do đó ΔOMN∽ΔHAB (g.g).

b) Vì ΔOMN∽ΔHAB (câu a) nên OMHA=NOHB=MNAB=12 (tỉ số cạnh tương ứng) 1

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\) \(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:

\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)

Do đó ΔGOM∽ΔGHA (c.g.c).

c) Vì ΔGOM∽ΔGHA (câu b) nên OGM^=HGA^ (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.

Mặt khác, ΔGOM∽ΔGHA nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(a - b = x,\,\,b - c = y,\,\,c - a = z.\) Khi đó \(x + y + z = 0.\)

Ta có \(S = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}} + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

 \( = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} + \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}\)

 \( = \frac{{2yz + 2xz + 2zy + {x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}\)

 \( = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xyz}} = \frac{0}{{xyz}} = 0.\)

Vậy \(S = 0.\)