Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu thức \(\frac{A}{B}\) là một phân thức nếu \(A,\,\,B\) là các đa thức và \(B\) khác đa thức 0.

Do đó biểu thức \(\frac{{{x^2} - 4}}{0}\) không phải là phân thức đại số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với đa thức \[B\] khác 0 ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức nghịch đảo của phân thức \( - \frac{{3{y^2}}}{{2x}}\) là \( - \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{3}{{2\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x - 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x - \left( {x - 6} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{x}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0.\)

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để \(x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \(3x + k = x - 2\) thì \(x =  - 2\) thỏa mãn phương trình đó.

Do đó \[3 \cdot \left( { - 2} \right) + k =  - 2 - 2\]

\( - 6 + k =  - 4\)

\(k = 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ΔABC∽ΔA'B'C' nên ΔA'B'C'∽ΔABC, do đó \[\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}};\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\] và \(\widehat {B\,} = \widehat {B'\,};\,\,\widehat {A\,} = \widehat {A'}.\)

Vậy phương án A là khẳng định sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{5}{3};\) \(\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{7,5}}{{4,5}} = \frac{5}{3};\) \(\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}.\)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{5}{3}.\)

Do đó ΔABC∽ΔDEF (c.c.c) và tỉ số đồng dạng là \(\frac{5}{3}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ΔABC∽ΔMNP theo tỉ số là \(\frac{2}{3},\) nên ta có \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = \frac{2}{3}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{MN + NP + PM}} = \frac{2}{3}.\)

Hay \[\frac{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta ABC}}{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta MNP}} = \frac{2}{3},\] nên \[\frac{{40}}{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta MNP}} = \frac{2}{3}\]

Do đó chu vi tam giác \(MNP\) là: \(40 \cdot \frac{3}{2} = 60{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A\] nên \(AB = AC\) và theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = A{C^2} + A{C^2} = 2A{C^2}.\)

Vậy \[B{C^2} = 2A{C^2}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là: \[3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;\]\(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)

Xét \[3x \ne 0\] ta có \[x \ne 0.\]

Xét \[x + 1 \ne 0\] ta có \[x \ne --1.\]

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có \[2--4x \ne 0\] và \[x + 1 \ne 0,\] hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và \[x \ne --1.\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là \(x \ne 0;\,\,x \ne  - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}.\)

b) Với \(x \ne 0;\,\,x \ne  - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0;\,\,x \ne  - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}\) thì \(D = \frac{{x - 1}}{3}.\)

c) Ta có \(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(2x - 1 = 0\) hoặc \({x^2} + 1 = 0\) (vô nghiệm do \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x)\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Ta thấy \[x = \frac{1}{2}\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[D\] tại \[x = \frac{1}{2}\] là: \(D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(D =  - \frac{1}{6}\) khi \(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0.\)

Hướng dẫn giải

a) \[3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1\]

\[3x - 6 - 2x + 4 = x + 1\]

\[3x - 2x - x = 1 + 6 - 4\]

 \(0x = 3\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) \[{\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)\]

\[{x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x\]

\[{x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9\]

\[2x = 4\]

\(x = 2.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2.\)

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là \(x\) (m) \(\left( {x > 0} \right).\)

Chu vi của hình vuông nhỏ là \(4x\) (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là \(4x + 20\) (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: \(\frac{{4x + 20}}{4} = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{4} = x + 5\) (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là \({x^2}\) (m2) và diện tích của hình vuông lớn là \({\left( {x + 5} \right)^2}\) (m2).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng \(65\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:

\({\left( {x + 5} \right)^2} - {x^2} = 65\)

\({x^2} + 10x + 25 - {x^2} = 65\)

\(10x = 40\)

    \(x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: \(4\;\,{\rm{m}}\) và \(9\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\)

Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung

Do đó ΔABC∽ΔHAC (g.g).

c) Vì ΔABC∽ΔHAC (câu b) ta có:

⦁ \[\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{AH}} = \frac{{10}}{8},\) suy ra \(AH = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}.\)

⦁ \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{AC}}{{HC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{4,8}} = \frac{8}{{HC}},\) suy ra \(HC = \frac{{4,8 \cdot 8}}{6} = 6,4{\rm{\;cm}}.\)

Ta có \(BC = HB + HC,\) suy ra \(HB = BC - HC = 10 - 6,4 = 3,6{\rm{\;cm}}.\)

d) Vì EF // BC nên ΔAEM∽ΔABH (định lí), do đó \(\frac{{EM}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{3,2}}{{4,8}} = \frac{2}{3}.\)

Tương tự, ta có ΔAFM∽ΔACH (định lí), do đó \(\frac{{MF}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{2}{3}.\)

Do đó \(EF = EM + MF = \frac{2}{3}BH + \frac{2}{3}HC = \frac{2}{3}\left( {BH + HC} \right) = \frac{2}{3}BC.\) Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\)

Vì \(EF\,{\rm{//}}\,BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(AH \bot EF.\)

Ta có  \(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AM \cdot EF}}{{\frac{1}{2}AH \cdot BC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Suy ra \({S_{\Delta AEF}} = \frac{4}{9}{S_{\Delta ABC}} = \frac{4}{9} \cdot 24 = \frac{{32}}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Hướng dẫn giải

Với \[x \ne --y;\] \[y \ne --z;\] \[z \ne --x,\] ta có:

\(A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.\)

Vậy \(A = 0.\)