Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 07

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức có tử thức là \(2x - 1\) và mẫu thức là \({x^2} - 1,\) là \(\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 1}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \({x^2} - 16 = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)\)

Do đó \[\frac{x}{{x - 4}} = \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 16}}.\]

Vậy \[A = {x^2} + 4x.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mẫu thức chung của hai phân thức đó là \(2{x^3}{y^3}{\left( {y - 1} \right)^2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{x}{y}:\frac{{2x}}{y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{{2x}} = \frac{{x \cdot y}}{{y \cdot 2x}} = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0.\)

Do đó phương trình \(2x - {2^2} = 0\) hay \(2x - 4 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(2x - 3 = 4 + 2x\)

\(2x - 2x - 3 - 4 = 0\)

\(0x - 7 = 0\)

\(0x = 7\)

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DEF\] có \(\widehat {A\,\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ ,\) khi đó để suy ra được ΔABC∽ΔDEF thì cần thêm điều kiện về góc: \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}\) hoặc \(\widehat {C\,} = \widehat {F\,}.\)

⦁ Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ .\)

Xét \[DEF\] vuông tại \[D\] có \(\widehat {E\,} + \widehat {F\,} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = \widehat {E\,} + \widehat {F\,}.\) \(\left( 1 \right)\)

Nếu ta có \(\widehat {B\,} - \widehat {C\,} = \widehat {E\,} - \widehat {F\,}\) \(\left( 2 \right)\) thì cộng vế theo vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(2\widehat {B\,} = 2\widehat {E\,},\) suy ra \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}.\)

Vậy nếu thêm điều kiện \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = \widehat {E\,} + \widehat {F\,}\) không suy ra được ΔABC∽ΔDEF.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

 

⦁ Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[D,\] theo định Pythagore ta có: \[A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}\]

Suy ra \[A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144\]

Do đó \[AD = 12\,{\rm{\;cm}}.\]

⦁ Xét \[\Delta ACD\] vuông tại \[D,\] theo định Pythagore ta có: \[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2}\]

Suy ra \[D{C^2} = A{C^2} - A{D^2} = {15^2} - {12^2} = 81\]

Do đó \[CD = 9\,{\rm{\;cm}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,\) tức là \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

\[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

\[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x =  - 3\] (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[A = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} =  - 1.\]

Vậy \[A =  - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

c) Với \(x \ne  - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[A\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\[x - 2\]	\[ - 1\]	\[1\]	\[ - 2\]	\[2\]
\[x\]	\[1\] (thoả mãn)	\[3\] (thoả mãn)	\[0\] (thoả mãn)	\[4\] (thoả mãn)
\[A = 1 - \frac{2}{{x - 2}}\]	\[A = 1 - \frac{2}{{ - 1}} = 3\]	\[A = 1 - \frac{2}{1} =  - 1\]	\[A = 1 - \frac{2}{{ - 2}} = 2\]	\[A = 1 - \frac{2}{2} = 0\]

Theo bài, \[A\] có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên \(A = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \[A\] đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(A = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) \[x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4\]

\[x - 6 + 3x = 2x - 4\]

\[x + 3x - 2x = 6 - 4\]

\[2x = 2\]

\[x = 1\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

b) \[\frac{1}{3}\left( {x - 1} \right) + 4 = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\]

\[2\left( {x - 1} \right) + 24 = 3\left( {x + 5} \right)\]

\[2x - 2 + 24 = 3x + 15\]

\(2x - 3x = 15 + 2 - 24\)

\[ - x =  - 7\]

\[x = 7\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 7.\)

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5\) (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút \( = 4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: \(4,8x\) (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút \( = 1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

\(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)

\(4,8x = 3x - 15 + 87\)

\(4,8x - 3x =  - 15 + 87\)

\(1,8x = 72\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40\) km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35\) km/h.

Hướng dẫn giải

1) Hình vẽ bên mô tả bậc tam cấp.

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {85^2} - {35^2} = 6\,\,000.\)

Do đó \(AC = \sqrt {6\,\,000}  \approx 77,46{\rm{\;cm}} < 80{\rm{\;cm}}.\)

Vậy bậc tam cấp nhà bạn Thanh phù hơp với quy định của khu phố.

2) a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\)

Xét \(\Delta ADK\) có \(AD\,{\rm{//}}\,CN\) (do \(AD\,{\rm{//}}\,BC)\) nên ΔADK∽ΔCNK (g.g).

b) Xét \(\Delta KAM\) có \(AM\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) nên ΔKAM∽ΔKCD (g.g).

Mà ΔADK∽ΔCNK (câu a) nên \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{AK}}{{CK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KD}}\) nên \(K{D^2} = KM \cdot KN.\)

c) Do ΔADK∽ΔCNK nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AD}}{{CN}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Do ΔKAM∽ΔKCD nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AM}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(\frac{{AD}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}}\) hay \(\frac{9}{{CN}} = \frac{6}{{10}},\) do đó \(CN = \frac{{9 \cdot 10}}{6} = 15\) (cm).

Hướng dẫn giải

 Với \(a \ne b \ne c \ne 0,\) từ \(\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0,\) suy ra:

\(\frac{a}{{b - c}} = \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{b - a}} = \frac{{b\left( {b - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{c\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}.\)

Nhân hai vế với \(\frac{1}{{b - c}}\) ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Tương tư, ta có: \(\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}};\,\,\frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.\)

Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0.\)

Vậy \(\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0.\)