Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đại số có tính chất \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}},\) với \(N \ne 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\frac{{5 - x}}{{11 - {x^2}y}} = \frac{{ - \left( {5 - x} \right)}}{{ - \left( {11 - {x^2}y} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{ - 11 + {x^2}y}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{2x}}{{x + y}}\) là \[\frac{{x + y}}{{2x}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} - \frac{{1 - y}}{{y - x}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - 1 + 1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - y}}{{x - y}} = 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta xét phương trình:

\[x + 2 = 0\]

\(x =  - 2.\)

Do đó \(x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \[x + 2 = 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình \[\left( {3m--4} \right)x + m = 3{m^2} + 1\] là phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi và chỉ khi \(3m - 4 \ne 0\) hay \(m \ne \frac{4}{3}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có: \(\widehat {A\,} = \widehat {D\,}\) và \(\widehat {C\,} = \widehat {F\,}\) nên ΔABC∽ΔDEF (g.g).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ΔMNP∽ΔRKS theo tỉ số \(m\) nên \(\frac{{MN}}{{RK}} = \frac{{MP}}{{RS}} = \frac{{NP}}{{KS}} = m,\) do đó \(MN = mRK;\,\,MP = mRS;\,\,NP = mKS.\)

Vậy phương án D là khẳng định sai. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì  nên:

⦁ \(\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{1}{2},\) do đó \(EF = 2BC = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}.\)

⦁ \(\widehat {C\,} = \widehat {F\,} = 30^\circ ;\) \(\widehat {D\,} = \widehat {A\,} = 80^\circ \) và \(\widehat {E\,} = \widehat {B\,} = 70^\circ .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 = {13^2} = B{C^2}.\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right);\)

\[\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\]

Khi đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne  - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\\x \ne  - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(P\) xác định.

b) Với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2},\) ta có:

\[P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^{2\,}} + 2x + 1}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)

c) Thay \[x = \frac{1}{2}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}},\) ta được:

\(P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.\)

Vậy \(P = 3\) khi \[x = \frac{1}{2}.\]

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

\(\frac{2}{3}x =  - 2\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{3}x =  - \frac{5}{2}\)

\(x =  - \frac{5}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - \frac{5}{3}.\)

b) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}\)

\(\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}\)

\(8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x\)

\(8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21\)

\(23x = 55\)

\(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi của Minh hiện nay là \(x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\) thì tuổi của bố Minh hiện nay là \(10x.\)

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là \(x + 24.\)

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là \(10x + 24.\)

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)

\(10x + 24 = 2x + 48\)

\(10x - 2x = 48 - 24\)

\(8x = 24\)

  \(x = 3\) (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

a) Ta có:

⦁ \(AD = DE = EC = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.\)

⦁ \(CD = DE + EC = a + a = 2a.\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)

Suy ra \(BD = a\sqrt 2 .\)

Khi đó: \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \) và \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\)

b) Theo câu a ta có \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \sqrt 2 .\)

Xét \[\Delta BDE\] và \[\Delta CDB\] có:

\(\widehat {CDB}\) là góc chung và \(\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}}\)

Do đó ΔBDE∽ΔCDB (c.g.c).

c) Từ câu c, ΔBDE∽ΔCDB suy ra DEB^=DBC^ (hai góc tương uwnsg0.

Do đó \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.\]

Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.\)

Mà \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có \(AB = AD = a\) nên là tam giác vuông cân tại \(A,\) do đó \(\widehat {ADB} = 45^\circ .\)

Suy ra \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB} = \widehat {ADB} = 45^\circ .\]

Vậy \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ .\]

d) Ta có: \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = BD \cdot \left( {BD + DI} \right) + CD \cdot \left( {CD + AD} \right)\)

\( = B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD\)

\( = B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ICD\) có \[\widehat {BAD} = \widehat {CID} = 90^\circ \] và \(\widehat {ADB} = \widehat {IDC}\) (đối đỉnh).

Do đó ΔABD∽ΔICD(g.g)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{IC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), nên \(BD \cdot DI = CD \cdot AD.\)

Khi đó \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{D^2} + 2BD \cdot DI + C{D^2}\)

\( = B{D^2} + 2BD \cdot DI + D{I^2} + C{D^2} - D{I^2}\)

\( = {\left( {BD + DI} \right)^2} + C{D^2} - D{I^2}\)

\( = B{I^2} + C{D^2} - D{I^2}\)

Xét \(\Delta ICD\) vuông tại \(I,\) theo định lí Pythagore ta có \(D{I^2} + I{C^2} = C{D^2}\)

Suy ra \(I{C^2} = C{D^2} - D{I^2},\) nên \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{I^2} + I{C^2}.\)

Lại có, \(B{I^2} + I{C^2} = B{C^2}\) (áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(BIC\) vuông tại \(I).\)

Vậy \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}\]

\[{S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.\]