Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức \(\frac{x}{0}\) không phải phân thức vì mẫu thức là đa thức không.

Biểu thức \(\frac{{x + y}}{{\frac{1}{y}}}\) và \(\frac{1}{{\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy}}}}\) không phải là phân thức thì mẫu thức không phải là đa thức.

Biểu thức \(\frac{{{x^2} + y}}{{\frac{1}{2}y}}\) là đa thức vì \({x^2} + y\) và \(\frac{1}{2}y\) đều là đa thức khác đa thức 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với điều kiện phân thức có nghĩa, ta có \[\frac{{ - 2xy}}{{6{x^3}{y^2}}} = \frac{{2xy \cdot \left( { - 1} \right)}}{{2xy \cdot 3{x^2}y}} = \frac{{ - 1}}{{3{x^2}y}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2 - x}}{{3x}}\) là \( - \frac{{2 - x}}{{3x}} = \frac{{x - 2}}{{3x}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}\) cần chứa hai nhân tử là \(x\) và \({y^2}.\)

Mà ta thấy lũy thừa cao nhất của biến \(y\) ở đa thức \(x\left( {x + 1} \right)y\) (phương án C) là 1 nên \(x\left( {x + 1} \right)y\) không phải mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình \(2x + {x^2} = 0\) không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì có chứa lũy thừa bậc hai của ẩn \(x.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(12 - 6x = 0\)

 \( - 6x =  - 12\)

 \(x = 2.\)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(AH,\,\,DK\) lần lượt là hai đường cao của hai tam giác \(ABC,\,\,DEF.\)

Vì ΔABC∽ΔDEF nên \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta ABH\) (vuông tại \(H)\) và \(\Delta DEK\) (vuông tại \(K)\) có: \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}\) nên ΔABH∽ΔDEK.

Suy ra \(\frac{{AH}}{{DK}} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Kẻ \[CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right).\]

Xét tứ giác \[ADCH\] có:

\[\widehat {DAH} = \widehat {ADC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Suy ra, tứ giác \[ADCH\] là hình chữ nhật.

Nên \[CH = AD = 8{\rm{\;cm}},\,\,AH = DC = 14{\rm{\;cm}}.\]

Vì \[AB = AH + HB\] nên \[HB = AB - AH = 20--14 = 6{\rm{\;cm}}.\]

Xét tam giác \[CBH\] vuông tại \[H,\] áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[B{C^2} = H{C^2} + H{B^2} = {8^2} + {6^2} = 100\]

Suy ra \[BC = 10{\rm{\;cm}}.\]

Chu vi hình thang \[ABCD\] là: \[AB + BC + CD + DA = 20 + 10 + 14 + 8 = 52{\rm{\;cm}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1\]

\[ = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\)

Ta có \[\left| {4 - x} \right| = 2\]

Trường hợp 1. \[4 - x = 2\]  \(x = 2\) (không thoả mãn).

Trường hợp 1. \[4 - x =  - 2\]  \(x = 6\) (thoả mãn).

Thay \[x = 6\] vào biểu thức \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},\) ta được: \[M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.\]

Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\) khi \[\left| {4 - x} \right| = 2.\]

c) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có \[M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Đặt \[\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),\] khi đó:

\[M = 1 + t - 2{t^2} =  - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) =  - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ =  - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.\]

Vì \[{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên  \[ - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\] do đó \[P \le \frac{9}{8}.\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[t - \frac{1}{4} = 0,\] tức là \[t = \frac{1}{4}\] (thoả mãn).

Với \(t = \frac{1}{4},\) ta có \[\frac{1}{x} = \frac{1}{4},\] suy ra \[x = 4.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[M\] là \[\frac{9}{8}\] khi \[x = 4.\]

Hướng dẫn giải

a) \(x - 4x + 2x - 29 = 4x + 1\)

\(x - 4x + 2x - 4x = 1 + 29\)

\( - 5x = 30\)

\(x =  - 6\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 6.\)

b) \(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2\)

\(\frac{3}{2} + 4x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x + 2\)

\(4x - \frac{1}{3}x = 2 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3}\)

\(\frac{{11}}{3}x = \frac{7}{6}\)

\(x = \frac{7}{{22}}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{7}{{22}}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \[x\,\,\left( \%  \right)\] \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: \(200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x\) (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là \(x - 20\,\,\left( \%  \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: \(300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: \(2x + 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500\) (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\%  = 33\% \)

\(2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5\)

\(5x = 225\)

  \(x = 45\) (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là \(45\% \) và \(25\% .\)

Hướng dẫn giải

1) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(AMO,\,\,ONC,\,\,OMD,\,\,OBE,\) ta tính được:

⦁ \(O{A^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) hay \(OA = 5{\rm{\;m;}}\)

⦁ \(O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(OC = 10{\rm{\;m}};\)

⦁ \(O{D^2} = {3^2} + {8^2} = 73\) hay \(OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}};\)

⦁ \(O{B^2} = {4^2} + {6^2} = 52\) hay \(OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Vì \[OA = 5{\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OC = 10{\rm{\;m}} > 9{\rm{\;m}}{\rm{,}}\] nên chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,D,\,\,B\) nhưng không thể đến được vị trí \(C.\)

2)

a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung.

Do đó ΔADC∽ΔBEC (g.g).

b) Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta HDB\) có:

\(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

Do đó ΔHEA∽ΔHDB (g.g).

Suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(HE \cdot HB = HA \cdot HD.\)

c) Vì \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, nên \(CH \bot AB,\) hay \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAB}\) là góc chung

Do đó ΔAFH∽ΔADB (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AF \cdot AB = AD \cdot AH.\)

d) Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.\)

Tương tự: \(\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};\) \(\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.\)

Khi đó \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)

Đặt \(a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z.\)

Khi đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.\)

Mặt khác, từ \(a + b + c = 6\) suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\)

Hay \(x + y + z = 0\)

Suy ra \(x + y =  - z\)

\[{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\]

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

Do đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.\)

Vậy \(M = 3.\)