Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 06

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - x + 1}}{{ - x - 1}} = \frac{{1 - x}}{{ - x - 1}}.\)

Vậy phân thức \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) bằng phân thức \(\frac{{1 - x}}{{ - x - 1}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{2{x^3}{y^2}}}{5} = \frac{{7xy \cdot 2{x^3}{y^2}}}{{7xy \cdot 5}} = \frac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + y}}\) là \( - \frac{{3x}}{{x + y}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với các giá trị của \[x\] làm cho biểu thức xác định ta có:

⦁ Phân thức \[\frac{1}{{{x^2}y}}\] có mẫu là \({x^2}y = xy \cdot x.\)

⦁ Phân thức \[\frac{1}{{2xy}}\] có mẫu là \(2xy = xy \cdot 2.\)

Do đó mẫu chung của hai phân thức \[\frac{1}{{{x^2}y}}\] và \[\frac{1}{{2xy}}\] là \(xy \cdot x \cdot 2 = 2{x^2}y.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(ax + b = 0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn \((a,\,\,b\) là những hằng số) khi và chỉ khi \(a \ne 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay \[x =  - 4\] vào từng phương trình, ta được:

⦁ \[ - 2,5 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 = 11,\] do đó \[x =  - 4\] là nghiệm của phương trình \[ - 2,5x + 1 = 11.\]

⦁ \[ - 2,5 \cdot \left( { - 4} \right) = 10 \ne  - 10,\] do đó \[x =  - 4\] không là nghiệm của phương trình \[ - 2,5x =  - 10.\]

⦁ \[3 \cdot \left( { - 4} \right)--8 =  - 20 \ne 0,\] do đó \[x =  - 4\] không là nghiệm của phương trình \[3x--8 = 0.\]

⦁ \[3 \cdot \left( { - 4} \right)--1 =  - 13 \ne \left( { - 4} \right) + 7 = 3,\] do đó \[x =  - 4\] không là nghiệm của phương trình \[3x--1 = x + 7.\]

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ΔABC∽ΔDEF với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{3},\) nên ta có  suy ra \(DE = 3AB = 3 \cdot 9 = 27{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(O\) là tâm hình thoi \[ABCD\] có hai đường chéo \(AC = 8{\rm{\;cm}}\) và \(BD = 6{\rm{\;cm}}\) vuông góc với nhau.

Do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Suy ra \(OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3{\rm{\;cm;}}\)

 \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) có \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25.\)

Do đó \(AB = 5{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 =  - 1\)

Do đó \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x =  - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A =  - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) \[\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\]

\({x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4\)

\({x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4\)

\(4x = 33\)

\(x = \frac{{33}}{4}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{33}}{4}.\)

b) \(\frac{{2x - 1}}{5} - \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{x + 7}}{{15}}\)

\(3\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {x - 2} \right) = x + 17\)

\(6x - 3 - 5x + 10 = x + 17\)

\(0x = 10\) (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right).\)

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là \(x + 10\) (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)

\(\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)

\(13x - 260 = 10x + 100\)

\(13x - 10x = 100 + 260\)

\(3x = 360\)

  \(x = 120\) (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

1)

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(ED.\)

Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác \(BCDF,\) tứ giác này có \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Mà \(CD = CB = 300\) m nên hình chữ nhật \(BCDF\) là hình vuông.

Do đó \(BC = CD = DF = FB = 300\) (m) và \(\widehat {BFD} = 90^\circ .\)

Ta có \(AF = AB + BF = 900 + 300 = 1\,\,200\) (m); \(EF = FD + DE = 300 + 200 = 500\) (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta AEF\) vuông tại \(F\) ta có:

\(A{E^2} = A{F^2} + E{F^2}\)\( = 1\,\,{200^2} + {500^2} = 1{\rm{ }}690{\rm{ }}000.\)

Suy ra \(AE = \sqrt {1{\rm{ }}690{\rm{ }}000}  = 1\,\,300\) (m) \( = 1,3\) (km).

Thời gian đi hết quãng đường \(AE\) là: \(\frac{{1,3}}{{13}} = 0,1\) (giờ) \( = 6\) (phút).

Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc \(7\) giờ \(6\) phút.

2)

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat {BAE}\) là góc chung;

\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).\]

Do đó ΔABE∽ΔADC (c.g.c).

b) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}\)

Suy ra \(AB \cdot DC = AD \cdot BE.\)

Do đó \(DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12,5{\rm{\;cm}}.\)

c) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên AEB^=ACD^ (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta CBI\)  và \(\Delta EDI\) có:

\(\widehat {BCI} = \widehat {DEI}\) (do \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD})\) và \(\widehat {BIC} = \widehat {DIE}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔCBI∽ΔEDI (g.g).

Suy ra \(\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[IB \cdot IE = ID \cdot IC.\]

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0.\)

Với \[a + b + c = 0,\] ta có \(a + b =  - c;\,\,b + c =  - a;\,\,c + a =  - b.\)

Ta có \(C = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right)\)

\( = \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}}_M + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{a}{{b - c}}}_N + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{b}{{c - a}}}_P\)

Xét \(M = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)}}{{ab}}\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{ab}}\)

\[ = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{ - \left( {a - b} \right)\left( { - c - c} \right)}}{{ab}}\]\[ = 1 + \frac{{c \cdot 2c}}{{ab}} = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}}.\]

Tương tự, \(N = 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}};\,\,P = 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}}.\)

Khi đó \(C = M + N + P = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}} = 3 + \frac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}.\)

Mặt khác, do \[a + b + c = 0\] nên ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 0\]

Suy ra \[{\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.\]

Vậy \(C = 3 + \frac{{2 \cdot \left( {3abc} \right)}}{{abc}} = 3 + 6 = 9.\)