Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức \(\frac{{5x}}{{x - x}} = \frac{{5x}}{0}\) không phải là phân thức vì có mẫu thức bằng \(0.\)

Phân thức \(\frac{2}{{1:x}}\) không phải là phân thức vì có mẫu thức không phải là đa thức.

Vậy chỉ có hai biểu thức \(\frac{{xy}}{{xy}};\,\,\frac{1}{x}\) là phân thức.S

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\frac{{1 - x}}{{y - x}} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{{ - \left( {y - x} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức \( - \frac{x}{{x - 2y}}\) là \( - \left( { - \frac{x}{{x - 2y}}} \right) = \frac{x}{{x - 2y}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay \[x = 1;\;\,\,y =  - 1\] vào biểu thức \[A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2,\] ta được:

\[A = \frac{1}{{ - 1}} + \frac{{ - 1}}{1} + 2 =  - 1 + \left( { - 1} \right) + 2 = 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình \(ax + b = 0\) chưa phải là phương trình bậc nhất một ẩn, để là phương trình bậc nhất một ẩn cần thêm điều kiện \(a \ne 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình \[\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2\] có nghiệm duy nhất khi \({m^2} - 4 \ne 0,\) tức là \(m - 2 \ne 0\) và \(m + 2 \ne 0,\) nên \(m \ne 2\) và \(m \ne  - 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta DRF\) và \(\Delta FSR\) có: \(\widehat {RFS} = \widehat {FDR}\) và \(\frac{{DF}}{{FR}} = \frac{4}{5} = \frac{6}{{7,5}} = \frac{{DR}}{{FS}}\)

Do đó ΔDRF∽ΔFSR (c.g.c).

Suy ra \(\frac{{FR}}{{RS}} = \frac{{DF}}{{FR}} = \frac{4}{5}\) (tỉ số các cạnh tương ứng).

Hay \[\frac{5}{{RS}} = \frac{4}{5},\] nên \(RS = \frac{{5 \cdot 5}}{4} = 6,25{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên ta có \(BA = BC,\) \(AC\) là cạnh huyền có độ dài lớn nhất và \(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2}\) (định lí Pythagore).

Do đó \({\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} = 2B{A^2},\) suy ra \(A{B^2} = 100,\) nên \(AB = 10{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ \({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁ \[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vì vậy, với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

Khi đó \(D > 0\) tức là \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) vì \(4 > 0.\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D =  - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} =  - 1\)

\( - 3x + 4 =  - 4\)

\( - 3x =  - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) \( - \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1\)

\( - \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x =  - 1 - 2\)

\( - 3x =  - 3\)

\(x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

b) \(\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} =  - 2\)

\(\frac{{5x}}{{100}} - \frac{{4\left( {x - 10} \right)}}{{100}} =  - \frac{{200}}{{100}}\)

\(5x - 4x + 40 =  - 200\)

\(x =  - 240\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 240.\)

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút \[ = \frac{4}{3}\] giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \[x\] (km/h) \[\left( {x > 3} \right).\]

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là \[x + 3\] (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là \[x - 3\] (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là \[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\] (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là \[2\left( {x--3} \right)\](km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\]

\[4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)\]

\[4x + 12 = 6x - 18\]

\[4x - 6x =  - 18 - 12\]

\[ - 2x =  - 30\]

\[x = 15\] (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \[15\] km/h.

Hướng dẫn giải1)

 Từ \(D\) vẽ \(Dx \bot CD\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\)

Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) nên \(BCDE\) là hình chữ nhật.

Do đó \(DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.\)

Có \(AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;cm}}.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ADE\) vuông tại \(E,\) ta được: \(A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.\)

Suy ra \(AD = \sqrt {400}  = 20{\rm{\;cm}}.\)

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng \(AD\) là \(\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15\) (giây).

2)

a) Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(\widehat {HBC} = 180^\circ  - \widehat {ABC}\) \(\left( 2 \right)\) (hai góc kề bù)

      \(\widehat {KDC} = 180^\circ  - \widehat {ADC}\) \(\left( 3 \right)\) (hai góc kề bù)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.\)

Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CKD\) có:

\(\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}\)

Do đó ΔCHB∽ΔCKD (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài của \(\Delta BHC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ  + \widehat {BCH}\)\(\left( 4 \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) và \(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(CK \bot AD\) nên \(CK \bot BC\) nên \(\widehat {BCK} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ  + \widehat {BCH}\) \(\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.\)

Theo câu a, \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) mà \(AB = CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {KCH} = \widehat {ABC}\) và \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}\)

Do đó ΔCHK∽ΔBCA (c.g.c).

c) Kẻ \(BE \bot AC\) tại \(E\) \(\left( {E \in AC} \right).\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HAC}\) là góc chung.

Do đó ΔAEB ∽ ΔAHC (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AB \cdot AH = AC \cdot AE\)\(\left( 6 \right)\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE} = \widehat {CAK}\) (hai góc so le trong, \(BC\,{\rm{//}}\,DA)\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(BC \cdot AK = AC \cdot CE\)

Mà \(BC = AD\) nên \(AD \cdot AK = AC \cdot CE\) \(\left( 7 \right)\)

Từ \(\left( 6 \right)\) và \(\left( 7 \right)\) suy ra: \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE\)

Hay \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.\)

d) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất hình bình hành)

Hay \(AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.\)

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,NC\) nên ΔINC∽ΔIDA, do đó \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 8 \right)\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,DC\) nên ΔIDC∽ΔIMA, do đó \(\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 9 \right)\)

Từ \(\left( 8 \right)\) và \(\left( 9 \right)\) suy ra \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},\) nên \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{1}{{a\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left( {{b^2} - bc - {a^2} + ac} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)} \right] + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {ac + bc - {c^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{abc}}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{abc}}.\)