Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x}}{{x + y}}\) là \[ - \frac{{2x}}{{x + y}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) là \({x^2} - 2x + 1 \ne 0,\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0,\) tức là \(x \ne 1.\)

Ta có \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0\) khi và chỉ khi \({x^2} - 1 = 0,\) suy ra \(x = 1\) (không thỏa mãn) hoặc \(x =  - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(x =  - 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mẫu thức chung của các phân thức \[\frac{1}{{2x}};\,\,\frac{5}{{{x^2}}};\,\,\frac{7}{{2{x^3}}}\] là \[2{x^3}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, ta có: \(\frac{x}{y}:\frac{{2x}}{y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{{2x}} = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[5x--\left( {6--x} \right) = 12\]

 \[5x--6 + x - 12 = 0\]

 \[6x - 18 = 0\]

Vậy ta đưa được phương trình đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn là \[6x--18 = 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[4\left( {x--1} \right)--\left( {x + 2} \right) = --x\]

\[4x--4--x - 2 = --x\]

\[4x--x + x = 4 + 2\]

\[4x = 6\]

\[x = \frac{3}{2}.\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{3}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) (với \(M \in BC,\,\,N \in CA)\) nên ΔABC∽ΔNMC  hay ΔNMC∽ΔABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có: \[\frac{{AB}}{{DF}} = \frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}\] nên ΔABC∽ΔDFE. (c.c.c).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{4}{{2,5}} = \frac{8}{5}\) và \(\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{8}{5}.\)

Do đó \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OD}}{{OB}}.\)

Xét \(\Delta OAD\) và \(\Delta OCB\) có:

\(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OD}}{{OB}}\) và \(\widehat {BOD}\) là góc chung

Do đó ΔOAD∽ΔOCB (c.g.c).

Suy ra ΔDAO∽ΔBCO.

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) (vuông tại \(A)\) và \(\Delta HBA\) (vuông tại \(H)\) có B ^ là góc chung nên ΔABC∽ΔHBA.

Suy ra \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng). Do đó \(BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}}.\)

Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) nên \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} = 256.\)

Khi đó \(BH = \frac{{256}}{{20}} = 12,8{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x - 1 \ne 0,\) \(x + 1 \ne 0,\) \(x \ne 0\) hay \(x \ne 1,\) \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 1,\) \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0.\)

b) Với điều kiện \(x \ne 1,\) \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{4x + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\[ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot x}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1,\) \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0,\) thì \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

c) Với \(x \ne 1,\) \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} = 1 + \frac{5}{{x - 1}}.\]

Với \(x\) nguyên, để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{{2025}}{{x - 1}}\) là số nguyên

Do đó \(5 \vdots \left( {x - 1} \right)\) hay \(x - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\(x - 1\)	\(1\)	\( - 1\)	\(5\)	\( - 5\)
\(x\)	\(2\)	\(0\)	\(6\)	\( - 4\)
Đối chiếu điều kiện	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Vậy \(x \in \left\{ {1;0;6; - 4} \right\}.\)        

Hướng dẫn giải

a) \[x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4\] \[x - 6 + 3x = 2x - 4\] \[x + 3x - 2x =  - 4 + 6\] \[2x = 2\] \[x = 1.\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = 1.\]

b) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\) \(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\) \(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\) \(35x + 6x + 60x = 96 + 5\) \(101x = 101\)  \(x = 1.\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là \(\frac{{100}}{2} = 50\) (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x\) (m) \(\left( {0 < x < 50} \right).\)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x\) (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right)\) (m²).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là \(x + 10\) (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x\) (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\) (m²).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)

\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)

\(50x - 40x + 10x = 400\)

\(20x = 400\)

    \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;\) (m²).

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)  có đường cao \(AD\) nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó

\(BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60{\rm{\;cm}}.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},\) suy ra \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.\)

Do đó \(AD = \sqrt {6\,\,400}  = 80{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ECB}).\)

Do đó ΔBDH∽ΔADC (g.g).

c) Theo câu b, ΔBDH∽ΔADC suy ra \(\widehat {BHD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A),\) nên \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}\)

Do đó ΔBDH∽ΔADB (g.g).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay \(\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},\) suy ra \(BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}\) và \(DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.\)

d) Ta có \(AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {EBC}\) là góc chung.

Do đó ΔBDH∽ΔBEC (g.g).

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta AEH\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (đối đỉnh).

Do đó ΔBDH∽ΔAEH (g.g).

Mà ΔBDH∽ΔADB nên ΔAEH∽ΔADB 

Do đó \(\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},\) suy ra \(HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;cm}}.\)

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne  - b;\,\,b \ne  - c;\,\,c \ne  - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) \(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne  - b;\,\,b \ne  - c;\,\,c \ne  - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)