Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức \(\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}\) không phải phân thức vì \(\frac{1}{{x - y}}\) không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + y}}\) là \( - \frac{{3x}}{{x + y}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức nghịch đảo của phân thức \( - \frac{{3{y^2}}}{{2x}}\) là \( - \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\frac{{15{x^2}}}{{17{y^4}}} \cdot \frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{15{x^2} \cdot 34{y^5}}}{{17{y^4} \cdot 15{x^3}}} = \frac{{2y}}{x}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0.\)

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\) ta có:

\(\left[ {2 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x =  - 1 + 1\)

\(0x = 0\) (luôn đúng).

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì  nên ta có \[\widehat {A\,\,} = \widehat {\,A'};\,\,\widehat {B\,} = \widehat {\,B'};\,\,\widehat {C\,\,} = \widehat {\,C'}.\]

Vậy phương án A là khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu ΔABC∽ΔDEF theo tỉ số \(k\) thì ΔDEF∽ΔABC theo tỉ số bằng \(\frac{1}{k}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta ABC\) (vuông tại \(A)\) và \(\Delta HAC\) (vuông tại \(H)\) có C ^ là góc chung nên ΔABC∽ΔHAC.

Tương tự, ta cũng có ΔABC∽ΔHBA.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

⦁ \({9^2} + {12^2} = 225 = {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[9{\rm{\;cm}},{\rm{ }}12{\rm{\;cm}},{\rm{ }}15{\rm{\;cm}}\] là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({7^2} + {8^2} = 113 \ne {10^2},\) do đó bộ ba độ dài \[7{\rm{\;cm}},{\rm{ }}8{\rm{\;cm}},{\rm{ }}10{\rm{\;cm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({6^2} + {7^2} = 85 \ne {9^2},\) do đó bộ ba độ dài \[6{\rm{\;dm}},{\rm{ }}7{\rm{\;dm}},{\rm{ }}9{\rm{\;dm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({10^2} + {13^2} = 269 \ne {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[10{\rm{\;m}},{\rm{ }}13{\rm{\;m}},{\rm{ }}15{\rm{\;m}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(9 - {x^2} = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right).\)

\[2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} = \frac{{2\left( {3 + x} \right) - \left( {x + 5} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{6 + 2x - x - 5}}{{3 + x}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\\2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 3\\x \ne 3\\x \ne  - 1\end{array} \right..\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne  - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1.\)

b) Với \(x \ne  - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1\) ta có:

\(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)

\[ = \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]\[ = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\]

Vậy với \(x \ne  - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne  - 1\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\)

c) Với \({x^2} - x - 2 = 0\) ta có \({x^2} - 2x + x - 2 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 1\) (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}\) ta được: \(A = \frac{{ - 5}}{{2 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.\)

Vậy nếu \({x^2} - x - 2 = 0\) thì \(A = 5.\)

Hướng dẫn giải

a) \(5 - 2x = x + 11\)

\( - 2x - x = 11 - 5\)

\( - 3x = 6\)

\(x =  - 2.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x =  - 2.\)

b) \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\)

\(x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)

\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9\)

\( - 6x = 9\)

\(x =  - 1,5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x =  - 1,5.\)

Hướng dẫn giải

Gọi quãng đường AB dài \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right).\)

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là: \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).

\(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \[\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\] (giờ).

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm \(5\) km/h là: \(45 + 5 = 50\) (km/h).

Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}\) (km).

Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (giờ).

Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút \( = \frac{{49}}{{20}}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\)

\(\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}\)

\(\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}\)

\(7x = 1\,\,470\)

\(x = 210\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB dài \(210\) km.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại  theo định lí Pytagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\) \(A,\)

Suy ra \(BC = \sqrt {100}  = 10{\rm{\;cm}}.\)

Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên suy ra:

\[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\]

b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC)\)

Do đó ΔABD∽ΔEBC  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Từ \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)\(\left( 1 \right)\)

Vì ΔABD∽ΔEBC (câu b) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

⦁  ΔCHE∽ΔBCE (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\)

Suy ra \(CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)\)

⦁ ΔCDE∽ΔBCE (g.g) nên EDEC=CEBE.

Suy ra \(ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra: \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)

Hướng dẫn giải

Với \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0,\) ta có

\(B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

\( = ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + ca\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \left( {\frac{{abc}}{{{a^2}}} + \frac{{abc}}{{{b^2}}} + \frac{{abc}}{{{c^2}}}} \right)\)

\( = b + a + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + c + b + c + \frac{{ca}}{b} + a - \frac{{bc}}{a} - \frac{{ac}}{b} - \frac{{ab}}{c}\)

\( = 2\left( {a + b + c} \right).\)

Vậy \(B = 2\left( {a + b + c} \right).\)