Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
15 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức?
\(\frac{{5xy - 7}}{{{y^2}}}.\)
\(5x{y^2} - 2.\)
\(\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{3x - 1}}.\)
\(\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}\) không phải phân thức vì \(\frac{1}{{x - y}}\) không phải là đa thức.
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + y}}\) là
\(\frac{{3x}}{{x - y}}.\)
\(\frac{{x + y}}{{3x}}.\)
\( - \frac{{3x}}{{x + y}}.\)
\( - \frac{{3x}}{{x - y}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + y}}\) là \( - \frac{{3x}}{{x + y}}.\)
Phân thức nghịch đảo của phân thức \( - \frac{{3{y^2}}}{{2x}}\) là
\(\frac{{3{y^2}}}{{2x}}.\)
\( - \frac{{2{x^2}}}{{3y}}.\)
\( - \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.\)
\(\frac{{2x}}{{3{y^2}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phân thức nghịch đảo của phân thức \( - \frac{{3{y^2}}}{{2x}}\) là \( - \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.\)
Với \(x \ne 0\) và \(y \ne 0,\) phép tính \(\frac{{15{x^2}}}{{17{y^4}}} \cdot \frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}}\) có kết quả là
\(\frac{{10x}}{{3y}}.\)
\[\frac{{10y}}{{3x}}.\]
\(\frac{{10x + y}}{{3xy}}.\)
\[\frac{{2y}}{x}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{15{x^2}}}{{17{y^4}}} \cdot \frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{15{x^2} \cdot 34{y^5}}}{{17{y^4} \cdot 15{x^3}}} = \frac{{2y}}{x}.\)
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
\[1--{x^2} = 0.\]
\[2x--5 = 0.\]
\(\frac{2}{{x - 3}} + 1 = 0.\)
\[{x^3}--x + 2 = 0.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0.\)
Vậy ta chọn phương án B.
Với \(m = - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)
Vô nghiệm.
Vô số nghiệm.
Có nghiệm duy nhất là \(x = m - 1.\)
Có \(1\) nghiệm là \(x = \frac{1}{{m - 1}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay \(m = - 1\) vào phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\) ta có:
\(\left[ {2 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x = - 1 + 1\)
\(0x = 0\) (luôn đúng).
Vậy phương trình có vô số nghiệm.
Cho tam giác \[ABC\] đồng dạng với tam giác \[A'B'C'.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\widehat {B\,} = \widehat {\,B'}.\]
\[\widehat {A\,\,} = \widehat {\,B'}.\]
\[\widehat {C\,} = \widehat {\,B'}.\]
\[\widehat {B\,} = \widehat {\,C'}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì nên ta có \[\widehat {A\,\,} = \widehat {\,A'};\,\,\widehat {B\,} = \widehat {\,B'};\,\,\widehat {C\,\,} = \widehat {\,C'}.\]
Vậy phương án A là khẳng định đúng.
Nếu theo tỉ số thì theo tỉ số bằng
\(k.\)
\(\frac{1}{k}.\)
\({k^2}.\)
\(\frac{1}{{{k^2}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu theo tỉ số \(k\) thì theo tỉ số bằng \(\frac{1}{k}.\)
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại kẻ \(AH \bot BC\) \(\left( {H \in BC} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta ABC\) (vuông tại \(A)\) và \(\Delta HAC\) (vuông tại \(H)\) có là góc chung nên
Tương tự, ta cũng có
Vậy ta chọn phương án A.
Bộ ba độ dài nào sau đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?
\[9{\rm{\;cm}},{\rm{ }}12{\rm{\;cm}},{\rm{ }}15{\rm{\;cm}}.\]
\[7{\rm{\;cm}},{\rm{ }}8{\rm{\;cm}},{\rm{ }}10{\rm{\;cm}}.\]\(A,\)
\[6{\rm{\;dm}},{\rm{ }}7{\rm{\;dm}},{\rm{ }}9{\rm{\;dm}}.\]
\[10{\rm{\;m}},{\rm{ }}13{\rm{\;m}},{\rm{ }}15{\rm{\;m}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
⦁ \({9^2} + {12^2} = 225 = {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[9{\rm{\;cm}},{\rm{ }}12{\rm{\;cm}},{\rm{ }}15{\rm{\;cm}}\] là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
⦁ \({7^2} + {8^2} = 113 \ne {10^2},\) do đó bộ ba độ dài \[7{\rm{\;cm}},{\rm{ }}8{\rm{\;cm}},{\rm{ }}10{\rm{\;cm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
⦁ \({6^2} + {7^2} = 85 \ne {9^2},\) do đó bộ ba độ dài \[6{\rm{\;dm}},{\rm{ }}7{\rm{\;dm}},{\rm{ }}9{\rm{\;dm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
⦁ \({10^2} + {13^2} = 269 \ne {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[10{\rm{\;m}},{\rm{ }}13{\rm{\;m}},{\rm{ }}15{\rm{\;m}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Vậy ta chọn phương án A.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right).\)
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \({x^2} - x - 2 = 0.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(9 - {x^2} = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right).\)
\[2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} = \frac{{2\left( {3 + x} \right) - \left( {x + 5} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{6 + 2x - x - 5}}{{3 + x}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\]
Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\\2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne 3\\x \ne - 1\end{array} \right..\)
Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne - 1.\)
b) Với \(x \ne - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne - 1\) ta có:
\(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)\)
\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)
\( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)
\[ = \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]\[ = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\]
Vậy với \(x \ne - 3,\,\,x \ne 3\) và \(x \ne - 1\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\)
c) Với \({x^2} - x - 2 = 0\) ta có \({x^2} - 2x + x - 2 = 0\)
\(x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\)
\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)
Suy ra \(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)
\(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 1\) (không thỏa mãn điều kiện)
Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}\) ta được: \(A = \frac{{ - 5}}{{2 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.\)
Vậy nếu \({x^2} - x - 2 = 0\) thì \(A = 5.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(5 - 2x = x + 11.\) b) \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1.\)
a) \(5 - 2x = x + 11\)
\( - 2x - x = 11 - 5\)
\( - 3x = 6\)
\(x = - 2.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - 2.\)b) \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\)
\(x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)
\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9\)
\( - 6x = 9\)
\(x = - 1,5\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - 1,5.\)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành, từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc \(30\) km/h, xe con đi với vận tốc \(45\) km/h. Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc \(5\) km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.
Hướng dẫn giải
Gọi quãng đường AB dài \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right).\)
Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là: \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).
\(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \[\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\] (giờ).
Vận tốc xe con sau khi tăng thêm \(5\) km/h là: \(45 + 5 = 50\) (km/h).
Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}\) (km).
Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (giờ).
Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút \( = \frac{{49}}{{20}}\) giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\)
\(\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}\)
\(\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}\)
\(7x = 1\,\,470\)
\(x = 210\) (thỏa mãn).
Vậy quãng đường AB dài \(210\) km.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[AB = 6\,\,{\rm{cm}}\] và \[AC = 8\,\,{\rm{cm}}.\] Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\) Từ \(C\) kẻ \(CE \bot BD\) tại \(E.\)
a) Tính độ dài \(BC\) và tỉ số \(\frac{{AD}}{{DC}}.\)
b) Chứng minh Từ đó suy ra \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)
c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)
d) Gọi \(EH\) là đường cao \(\Delta EBC.\) Chứng minh \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại theo định lí Pytagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\) \(A,\)
Suy ra \(BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.\)
Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên suy ra:
\[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\]
b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC)\)
Do đó (g.g).
Suy ra: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).
Do đó \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)
c) Từ \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)\(\left( 1 \right)\)
Vì (câu b) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)
d) Tương tự câu b ta chứng minh được:
⦁ (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\)
Suy ra \(CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)\)
⦁ (g.g) nên
Suy ra \(ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra: \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)
Rút gọn biểu thức sau:
\(B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right).\)
Hướng dẫn giải
Với \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0,\) ta có
\(B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)
\( = ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + ca\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \left( {\frac{{abc}}{{{a^2}}} + \frac{{abc}}{{{b^2}}} + \frac{{abc}}{{{c^2}}}} \right)\)
\( = b + a + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + c + b + c + \frac{{ca}}{b} + a - \frac{{bc}}{a} - \frac{{ac}}{b} - \frac{{ab}}{c}\)
\( = 2\left( {a + b + c} \right).\)
Vậy \(B = 2\left( {a + b + c} \right).\)
Bạn có thích hoạt động này không?
