Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Trong các bảng sau, bảng nào có giá trị \(y\) là hàm số của giá trị \(x\) ?
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 3 |
\(y\) | 23 | 35 | 2 | 34 | 1 |
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 2 | 5 |
\(y\) | 23 | 35 | 24 | 13 | 15 |
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 13 |
\(y\) | 23 | 35 | 2 | 34 | 34 |
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
\(y\) | 23 | 35 | 2 | 24 | 45 |
Đáp án đúng là: C
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 13 |
\(y\) | 23 | 35 | 2 | 34 | 34 |
Dựa vào bảng trên ta thấy, ứng với một giá trị của \(x\) chỉ có duy nhất một giá trị của \(y\) tương ứng.
Như vậy giá trị \(y\) là hàm số của giá trị \(x\).
Cho bảng giá trị như sau biểu thị một hàm số \(y = ax + b\).
\(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(y\) | – 2 | 1 | 4 | 7 | 10 |
Công thức hàm số đó là
\(y = - 2x\);
\(y = x - 3\);
\(y = 3x + 5\);
\(y = 3x - 5\).
Đáp án đúng là: D
Khi \(x = 1\) thì \(y = - 2\), do đó, ta có: \(a \cdot 1 + b = - 2\).
Khi \(x = 2\) thì \(y = 1\), do đó, ta có: \(a \cdot 2 + b = 1\).
Vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 5\end{array} \right.\).
Do đó có hàm số: \(y = 3x - 5\).
Thay lần lượt các giá trị \(x = 3,\,x = 4,\,\,x = 5\) vào công thức hàm số trên ta thấy đều tìm được giá trị \(y\) tương ứng thỏa mãn bảng đã cho.
Vậy công thức hàm số cần tìm là: \(y = 3x - 5\).
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\);
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;4} \right)\);
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Từ hình vẽ, ta thấy trong khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{3}{{4x - 2}}\) là
\(\left[ {2; + \infty } \right)\);
\(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\);
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\);
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Biếu thức \(\frac{3}{{4x - 2}}\) có nghĩa khi \(4x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{3}{{4x - 2}}\) là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Cho hàm số \(y = 4{x^5} - 5\), giá trị của hàm số tại \(x = 2\) là
123;
124;
126;
127.
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 4{x^5} - 5\) ta có:
\(y = 4 \cdot {2^5} - 5 = 123\)
Vậy giá trị của hàm số tại \(x = 2\) là: \(y = 123\).
Cho các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai ?
\(y = 5x + 12\);
\(y = {x^2} - 4x + 1\);
\(y = 15\);
\(y = {x^3} - {x^2}\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, \(y = {x^2} - 4x + 1\) là hàm số bậc hai.
Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị hàm số bậc hai ?
;
;
;
.
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số bậc hai: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có dạng là một parabol.
Như vậy, hình ảnh (A) là đồ thị của hàm số bậc hai.
Đồ thị hàm số bậc hai\(y = 3{x^2} + 6x - 4\) có trục đối xứng là
\(x = - 1\);
\(x = 1\);
\(y = - 1\);
\(y = 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{6}{{2 \cdot 3}} = - 1\).
Đồ thị hàm số bậc hai\(y = 3{x^2} + 6x - 4\) có trục đối xứng là: \(x = - 1\).
Khoảng nghịch biến của hàm số bậc hai \(y = - {x^2} - 5x + 6\) là
\(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\);
\(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)\);
\(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số bậc hai \(y = - {x^2} - 5x + 6\) có bề lõm quay xuống dưới do \(a = - 1 < 0\), \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{( - 5)}}{{2 \cdot ( - 1)}} = - \frac{5}{2}\).
Như vậy, hàm số \(y = - {x^2} - 5x + 6\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Xác định parabol\(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng \(x = 2\) và đi qua hai điểm \(A\left( {0;6} \right)\) và \(B\left( {1;9} \right)\).
\(y = - {x^2} + 4x + 6\);
\(y = - {x^2} - 5x + 6\);
\(y = - {x^2} - 2x + 6\);
\(y = {x^2} + 4x + 6\).
Đáp án đúng là: A
Vì parabol \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng \(x = 2\) nên ta có:
\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 2 \Rightarrow 4a = - b \Leftrightarrow 4a + b = 0\,\left( 1 \right)\)
Vì parabol đi qua hai điểm \(A\left( {0;6} \right)\) và \(B\left( {1;9} \right)\) nên ta có:
\(6 = a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c \Leftrightarrow c = 6\)
\(9 = a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c \Leftrightarrow a + b + 6 = 9 \Leftrightarrow a + b = 3\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(y = - {x^2} + 4x + 6\).
Biểu thức nào sau đây không phải là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + x + 6\);
\(f\left( x \right) = x + 4\);
\(f\left( x \right) = - 3x + {x^2}\);
\(f\left( x \right) = 6{x^2}\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \[a{x^2} + bx + c\]. Trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Như vậy \(f\left( x \right) = x + 4\) không phải là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1\), khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu âm với mọi giá trị \(x\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x \ne 1\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu âm với mọi giá trị \(x \ne 1\).
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = {x^2} - 2x + 1\) có: \(\Delta = {( - 2)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\) .
Xét \(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Mà \(a = 1 > 0\)
Như vậy tam thức \(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x \ne 1\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 5x - 1 + 11{x^2}\) có các hệ số là
\(a = 5\), \(b = - 1\), \(c = 11\);
\(a = 11\), \(b = - 1\), \(c = 5\);
\(a = 11\), \(b = 5\), \(c = 1\);
\(a = 11\), \(b = 5\), \(c = - 1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(f\left( x \right) = 5x - 1 + 11{x^2} = 11{x^2} + 5x - 1\)
Như vậy, các hệ số của tam thức bậc hai này là: \(a = 11\), \(b = 5\), \(c = - 1\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) mang dấu dương trên khoảng nào sau đây ?
\(\left( { - 4;2} \right)\);
\(\left( { - 4; - 2} \right)\);
\(\left( { - 1;6} \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) có:
\(a = 3 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 48 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\);
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Như vậy, \(f\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\) và \(\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
Mà \(\left( { - 4; - 2} \right) \subset \left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\) nên \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) mang dấu dương trên khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + 4 < 0\) là
\(\left( {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;2} \right)\);
\(\left( {2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right)\);
\(\emptyset \).
Đáp án đúng là: D
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4\) có
\(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12 < 0\)
Như vậy \(f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình \({x^2} - 2x + 4 < 0\) vô nghiệm.
Giá trị \(x\) nào sau đây là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\) ?
\(x = 1\);
\(x = - 2\);
\(x = 2\);
Không có giá trị \(x\) thỏa mãn.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Khi \(x = 1\) thì \(\sqrt {{1^2} - 3 \cdot 1 + 6} = 2 \ne 1 - 2 = - 1\), do đó, \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Khi \(x = - 2\) thì \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 6} = 4 \ne - 2 - 2 = - 4\), do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Khi \(x = 2\) thì \(\sqrt {{2^2} - 3 \cdot 2 + 6} = 2 \ne 2 - 2 = 0\), do đó, \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Vậy không có giá trị nào trong các giá trị trên là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây ?
\(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\);
\(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x - 3\);
\(\sqrt {2{x^2} - 5x + 3} = x + 3\);
\(\sqrt {2{x^2} - 5x + 3} = x - 3\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = - 2\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\) ta thấy:
\(\sqrt {2 \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + 5 \cdot \left( { - 2} \right) + 3} = 1 = - 2 + 3\).
Do đó, \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\).
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4} = \sqrt {3{x^2} - 2} \) có bao nhiêu nghiệm ?
1 nghiệm;
2 nghiệm;
3 nghiệm;
Vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + 4} = \sqrt {3{x^2} - 2} \Rightarrow 2{x^2} + 4 = 3{x^2} - 2\)
\( \Rightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow {x^2} = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt 6 \)
Lần lượt thay \(x = \sqrt 6 \) và \(x = - \sqrt 6 \) vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị này đều thỏa mãn.
Như vậy, phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4} = \sqrt {3{x^2} - 2} \) có hai nghiệm.
Số nghiệm tối đa của phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) là
3 nghiệm;
2 nghiệm;
1 nghiệm;
Vô số nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) là phương trình quy về phương trình bậc hai nên nó chỉ có tối đa 2 nghiệm.
Cho đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 3; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\) có các hệ số: \(a = 2\), \(b = - 3\), \(c = 1\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)\).
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\)?
\(A\left( {1;3} \right)\);
\(B\left( {2;5} \right)\);
\(C\left( {1;4} \right)\);
\(D\left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\) ta có:
\(1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0\)
Do đó, \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 5 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là
\(3x + 3y + 3 = 0\);
\(3x + 3y + 12 = 0\);
\(x + y + 3 = 0\);
\(x + y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\)và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là
\(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 3y - 12 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\).
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là \(x + y - 4 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(d:2x + y - 5 = 0\);
\(d:x - 2y + 7 = 0\);
\(d:2x + y - 7 = 0\);
\(d:x - 2y - 7 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\)đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\).
Cho phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\) , \(d\) có phương trình tổng quát là
\(2x + y - 7 = 0\);
\(2x - y + 7 = 0\);
\( - x + 2y - 7 = 0\);
\( - x - 2y - 7 = 0\).
Đáp án đúng là: A
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(\left( {3;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;4} \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là: \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,1} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(2\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\). Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì
\(d\,\,{\rm{//}}\,\,d'\);
\(d \bot d'\);
\(d\) và \(d'\) cắt nhau tại một điểm;
\(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\).
Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến \(\Delta :ax + by + c = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} {b^2}}}}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Công thức xác định góc \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':a'x + b'y + c' = 0\) là
\[\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right) = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' - b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right) = \frac{{a \cdot a' - b \cdot b'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\].
Đáp án đúng là: D
Công thức xác định góc \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':a'x + b'y + c' = 0\) là: \[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\].
Cho hai đường thẳng \(d:x - 5y + 2 = 0\) và \(d':2x - y + 3 = 0\), khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).
Như vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \(\Delta :3x - my + 5 = 0\) và \(\Delta ':x + 5y = 0\). Giá trị của \(m\) để \(\Delta \bot \Delta '\) là
\(\frac{4}{5}\);
\(\frac{3}{5}\);
0;
1.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta :3x - my + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {3; - m} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta ':x + 5y = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} = \left( {1;5} \right)\).
Để \(\Delta \bot \Delta '\) thì \({n_\Delta } \bot {n_{\Delta '}} \Leftrightarrow 3 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 5 = 0 \Leftrightarrow 3 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{5}\).
Trong các phương trình sau, đâu là phương trình đường tròn ?
\({x^2} + {y^2} = 0\);
\({x^2} + {y^2} = 6\);
\({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\);
\({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {3y - 4} \right)^2} = 9\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R > 0\) có dạng:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Vậy \({x^2} + {y^2} = 6\) là phương trình đường tròn với tâm \(I\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Cho phương trình đường tròn \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\), đường tròn có tâm và bán kính là
\(I\left( { - 5;2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {5; - 2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {5; - 2} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( { - 5;2} \right)\) và \(R = 16\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 5} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {4^2}\).
Do đó, đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 5;2} \right)\) và bán kính là \(R = 4\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( {3;6} \right)\) và có bán kính \(R = 5\), phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( {3;6} \right)\) và có bán kính \(R = 5\), phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 40\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 10\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\).
Đáp án đúng là: D
Do đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) nên tâm \(I\) của đường tròn là trung điểm của \(AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4\end{array} \right.\)
Do đó, \(I\left( {2;4} \right)\)
Mặt khác, \(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \Rightarrow R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {10} \).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\).
Đường tròn có tâm là \(I\left( { - 1;4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:2x + 5y - 4 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\).
Đáp án đúng là: D
Do đường tròn có tâm là \(I\left( { - 1;4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:2x + 5y - 4 = 0\) nên bán kính là: \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 \cdot 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\).
Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\frac{{14}}{{\sqrt {29} }}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\).
Một chiếc cổng vòm dạng parabol (như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai chân cổng là 150 m, trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 42 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây không co giãn, căng thẳng, vuông góc với mặt đất). Đầu dây chạm đất cách chân cổng \(A\) một đoạn 15 m. Hãy tính chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.
Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).
Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).
Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).
Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).
Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.
Cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 1;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {3;1} \right)\), điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).
Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).
Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).
Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:
\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \)
Mà: \(\overrightarrow {AG} = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM} = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)
Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).
Bên trong một sân thể thao, để chuẩn bị cho cuộc thi ném tạ, người ta dự định vẽ hai nửa hình tròn bằng nhau và một vòng tròn (xem hình vẽ), hai nửa hình tròn là vị trí để các vận động viên đứng ném và vòng tròn là đích đến của tạ đạt điểm. Hãy tìm bán kính của các nửa hình tròn và vòng tròn ấy để tổng chu vi của chúng là 36 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy \(\pi = 3,14\), độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Gọi bán kính của vòng tròn và hai nửa hình tròn tương ứng là \(x\), \(y\) (m) \(\left( {x,y > 0} \right)\).
Chu vi của vòng tròn là: \(2 \cdot 3,14 \cdot x = 6,28x\) (m).
Vì hai nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai nửa này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính \(y\) (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai nửa hình tròn là: \(2 \cdot 3,14 \cdot y + 4y = 10,28y\) (m).
Tổng chu vi của chúng là 36 m nên ta có:
\(6,28x + 10,28y = 36 \Rightarrow 6,28x + 10,28y - 36 = 0 \Leftrightarrow 1,57x + 2,57y - 9 = 0\).
Diện tích của vòng tròn là: \(3,14{x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích của hai nửa hình tròn là: \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot {y^2} = 3,14{y^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có:
\(S = 3,14{x^2} + 3,14{y^2}\, \Rightarrow {x^2} + {y^2}\, = \frac{S}{{3,14}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x + 2,57y - 9 = 0\).
Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.
Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).
Ta có: \(OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1,57;2,57} \right)\)
Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 2,57;1,57} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(OH\) là:
\( - 2,57\left( {x - 0} \right) + 1,57\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2,57x - 1,57y = 0\).
Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(H\)là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2,57x - 1,57y = 0\\1,57x + 2,57y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,56\\y \approx 2,55\end{array} \right.\).
Vậy bán kính vòng tròn xấp xỉ bằng 1,56 m và bán kính hai nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,55 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
