Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Biểu thức nào sau đây không phải là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + x + 6\);
\(f\left( x \right) = x + 4\);
\(f\left( x \right) = - 3x + {x^2}\);
\(f\left( x \right) = 6{x^2}\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \[a{x^2} + bx + c\]. Trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Như vậy \(f\left( x \right) = x + 4\) không phải là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1\), khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu âm với mọi giá trị \(x\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x \ne 1\);
\(f\left( x \right)\) luôn mang dấu âm với mọi giá trị \(x \ne 1\).
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = {x^2} - 2x + 1\) có: \(\Delta = {( - 2)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\) .
Xét \(f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Mà \(a = 1 > 0\)
Như vậy tam thức \(f\left( x \right)\) luôn mang dấu dương với mọi giá trị \(x \ne 1\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 5x - 1 + 11{x^2}\) có các hệ số là
\(a = 5\), \(b = - 1\), \(c = 11\);
\(a = 11\), \(b = - 1\), \(c = 5\);
\(a = 11\), \(b = 5\), \(c = 1\);
\(a = 11\), \(b = 5\), \(c = - 1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(f\left( x \right) = 5x - 1 + 11{x^2} = 11{x^2} + 5x - 1\)
Như vậy, các hệ số của tam thức bậc hai này là: \(a = 11\), \(b = 5\), \(c = - 1\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) mang dấu dương trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 4;2} \right)\);
\(\left( { - 4; - 2} \right)\);
\(\left( { - 1;6} \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) có:
\(a = 3 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 48 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Như vậy, \(f\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\) và \(\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
Mà \(\left( { - 4; - 2} \right) \subset \left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\) nên \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1\) mang dấu dương trên khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\).
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
\({x^2} - 3x + 2 > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\);
\({x^2} - 3x + 2 \le 0\) khi \(x \in \left[ {1;\,\,2} \right]\);
\({x^2} - 3x + 2 < 0\) khi \(x \in \left[ {1;\,\,2} \right)\);
\({x^2} - 3x + 2 \ge 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) và \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0\), do đó tam thức \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1} = 1,\,{x_2} = 2\).
Mặt khác có \(a = 1 > 0\), nên ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) 1 2 \( + \infty \) |
\(y\) | + 0 – 0 + |
Do đó, \({x^2} - 3x + 2 > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\),
\({x^2} - 3x + 2 \ge 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\), \({x^2} - 3x + 2 \le 0\) khi \(x \in \left[ {1;\,\,2} \right]\),
\({x^2} - 3x + 2 < 0\) khi \(x \in \left( {1;\,\,2} \right)\).
Vậy đáp án C sai.
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(3{x^2} - 5x + 5 > 3{x^2} + 4x\);
\({\left( {{x^2}} \right)^2} + 2x - 7 \le 0\);
\({x^4} + 2{x^2} - 9 > 0\);
\({x^2} + 2x - 3 \ge 2{x^2} + x\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^2} + 2x - 3 \ge 2{x^2} + x \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 \le 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(2{x^2} + 3x + 1 < 0\);
\({x^2} + x - 3 > 0\);
\({x^2} + 2x + 4 < 0\);
\({x^2} - 3x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình ở từng đáp án, ta thấy chỉ có bất phương trình D thỏa mãn: \({0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0\).
Giá trị nào dưới đây không phải là một nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} + x + 1 \ge 0\)?
\(x = 0\);
\(x = - 1\);
\(x = 1\);
\(x = \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Với \(x = 0\), ta có: \( - {2.0^2} + 0 + 1 = 1 > 0\);
Với \(x = - 1\), ta có: \( - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) + 1 = - 2 < 0\);
Với \(x = 1\), ta có: \( - {2.1^2} + 1 + 1 = 0\);
Với \(x = \frac{1}{2}\), ta có: \( - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} + 1 = 1 > 0\);
Vậy \(x = - 1\) không là một nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} + x + 1 \ge 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + 4 < 0\) là
\(\left( {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;2} \right)\);
\(\left( {2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right)\);
\(\emptyset \).
Đáp án đúng là: D
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4\) có
\(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12 < 0\)
Như vậy \(f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình \({x^2} - 2x + 4 < 0\) vô nghiệm.
Giá trị của \(m\) để phương trình \( - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là
\(m \in \left( { - 1;\,\,2} \right)\);
\(m \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\);
\(m \in \left[ { - 1;\,\,2} \right]\);
\(m \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \( - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\).
Giá trị \(x\) nào sau đây là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\) ?
\(x = 1\);
\(x = - 2\);
\(x = 2\);
Không có giá trị \(x\) thỏa mãn.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Khi \(x = 1\) thì \(\sqrt {{1^2} - 3 \cdot 1 + 6} = 2 \ne 1 - 2 = - 1\), do đó, \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Khi \(x = - 2\) thì \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 6} = 4 \ne - 2 - 2 = - 4\), do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Khi \(x = 2\) thì \(\sqrt {{2^2} - 3 \cdot 2 + 6} = 2 \ne 2 - 2 = 0\), do đó, \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Vậy không có giá trị nào trong các giá trị trên là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2\).
Giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây ?
\(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\);
\(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x - 3\);
\(\sqrt {2{x^2} - 5x + 3} = x + 3\);
\(\sqrt {2{x^2} - 5x + 3} = x - 3\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = - 2\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\) ta thấy:
\(\sqrt {2 \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + 5 \cdot \left( { - 2} \right) + 3} = 1 = - 2 + 3\).
Do đó, \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3\).
Số nghiệm tối đa của phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) là
3 nghiệm;
2 nghiệm;
1 nghiệm;
Vô số nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \) là phương trình quy về phương trình bậc hai nên nó chỉ có tối đa 2 nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {5;\,2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 5;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 5;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 5\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j \).
Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(N\left( {4;\, - 1} \right)\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {13} \);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5\);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {29} \);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow x = \left( {1;\, - 2} \right)\), \(\overrightarrow y = \left( {5;\,\,10} \right)\), \(\overrightarrow z = \left( { - \frac{1}{2};\,1} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Không có cặp vectơ nào cùng phương trong ba vectơ trên.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - 2\overrightarrow z = - 2\left( { - \frac{1}{2};\,1} \right) = \left( {1;\, - 2} \right) = \overrightarrow x \,\,\,{\rm{hay}}\,\,\overrightarrow x = - 2\overrightarrow z \).
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,1} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,2} \right)\);
\(\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(\left( {2;\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 4;\,\, - 1 - 1} \right) = \left( { - 2;\,\, - 2} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;\,9} \right)\), \(B\left( {3;\,7} \right)\), \(C\left( {x - 1;\,y} \right)\). Để \(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì giá trị \(x\) và \(y\) là
\(x = 3,\,y = 1\);
\(x = - 3,\,y = - 1\);
\(x = - 3,\,y = 1\);
\(x = 3,\,y = - 1\).
Đáp án đúng là: D
\(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {3;\,\,4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b \) là
\(\left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\);
\(\left( {14;\,\frac{{41}}{2}} \right)\);
\(\left( {\frac{{41}}{2};\,\,14} \right)\);
\(\left( {14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 1} \right) - 5\left( {3;\,4} \right) = \left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\).
Cho đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\) có các hệ số: \(a = 2\), \(b = - 3\), \(c = 1\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)\).
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\)?
\(A\left( {1;3} \right)\);
\(B\left( {2;5} \right)\);
\(C\left( {1;4} \right)\);
\(D\left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\) ta có:
\(1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0\)
Do đó, \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\).
Cho hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\). Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì
\(d\,\,{\rm{//}}\,\,d'\);
\(d \bot d'\);
\(d\) và \(d'\) cắt nhau tại một điểm;
\(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\).
Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 5 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(d:2x + y - 5 = 0\);
\(d:x - 2y + 7 = 0\);
\(d:2x + y - 7 = 0\);
\(d:x - 2y - 7 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\)đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \(d:x - 5y + 2 = 0\) và \(d':2x - y + 3 = 0\), khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).
Như vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\).
Trong các phương trình sau, đâu là phương trình đường tròn ?
\({x^2} + {y^2} = 0\);
\({x^2} + {y^2} = 6\);
\({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\);
\({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {3y - 4} \right)^2} = 9\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R > 0\) có dạng:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Vậy \({x^2} + {y^2} = 6\) là phương trình đường tròn với tâm \(I\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Cho phương trình đường tròn \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\), đường tròn có tâm và bán kính là
\(I\left( { - 5;2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {5; - 2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {5; - 2} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( { - 5;2} \right)\) và \(R = 16\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 5} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {4^2}\).
Do đó, đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 5;2} \right)\) và bán kính là \(R = 4\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( {3;6} \right)\) và có bán kính \(R = 5\), phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( {3;6} \right)\) và có bán kính \(R = 5\), phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;\,\,1} \right)\) là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 40\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 10\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\).
Đáp án đúng là: D
Do đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) nên tâm \(I\) của đường tròn là trung điểm của \(AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4\end{array} \right.\)
Do đó, \(I\left( {2;4} \right)\).
Mặt khác, \(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \Rightarrow R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {10} \).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {3;7} \right)\) và \(B\left( {1;1} \right)\) là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\).
Đường tròn có tâm là \(I\left( { - 1;4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:2x + 5y - 4 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\).
Đáp án đúng là: D
Do đường tròn có tâm là \(I\left( { - 1;4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:2x + 5y - 4 = 0\) nên bán kính là: \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 \cdot 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}\).
Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\frac{{14}}{{\sqrt {29} }}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1\);
\(\frac{x}{9} + \frac{y}{7} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).
Do đó, ta loại ngay đáp án B và C.
Xét đáp án A, ta có \(2 < 4\), do đó phương trình ở đáp án A không thỏa mãn.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\);
\(\frac{x}{9} + \frac{y}{7} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\).
Do đó, trong các phương trình đã cho thì \(\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\) là phương trình chính tắc của hypebol.
Phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right)\) là
\({y^2} = 4x\);
\({y^2} = 2x\);
\(y = 2{x^2}\);
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Vì parabol đã cho đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right)\) nên ta có: \({2^2} = 2p.1 \Rightarrow p = 2\).
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là \({y^2} = 4x\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tiêu cự của \(\left( E \right)\) bằng
10;
16;
4;
8.
Đáp án đúng là: D
Từ \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\), ta suy ra a = 5, b = 3, do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \(2c = 2 \cdot 4 = 8\).
Phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\) có \(\frac{c}{a} = 2\) và tiêu cự bằng 4 là
\(\frac{{{x^2}}}{3} - {y^2} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Xét hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\).
Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Vậy \(\left( H \right)\) có phương trình là: \(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
Hà dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 13 cm, độ rộng viền xung quanh là \(x\) cm (như hình vẽ). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 44 cm2. Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xen-ti-mét?
Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm2).
Vì độ rộng viền xung quanh là \(x\) cm nên \(x > 0\) và kích thước của khung ảnh là
\(\left( {7 + 2x} \right)\,{\rm{cm}}\,\, \times \,\,\left( {13 + 2x} \right)\)cm.
Diện tích viền khung ảnh là: \(\left( {7 + 2x} \right)\left( {13 + 2x} \right) - 91 = 4{x^2} + 40x\) (cm2).
Theo bài ra ta có: \(4{x^2} + 40x \le 44\).
Giải bất phương trình trên ta được \(x \in \left[ { - 11;\,\,1} \right]\). Do \(x > 0\) nên \(x \in \left( {0;\,\,1} \right]\).
Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.
Cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 1;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {3;1} \right)\), điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).
Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).
Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).
Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:
\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \)
Mà: \(\overrightarrow {AG} = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM} = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)
Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).
Bên trong một sân thể thao, để chuẩn bị cho cuộc thi ném tạ, người ta dự định vẽ hai nửa hình tròn bằng nhau và một vòng tròn (xem hình vẽ), hai nửa hình tròn là vị trí để các vận động viên đứng ném và vòng tròn là đích đến của tạ đạt điểm. Hãy tìm bán kính của các nửa hình tròn và vòng tròn ấy để tổng chu vi của chúng là 36 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy \(\pi = 3,14\), độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Gọi bán kính của vòng tròn và hai nửa hình tròn tương ứng là \(x\), \(y\) (m) \(\left( {x,y > 0} \right)\).
Chu vi của vòng tròn là: \(2 \cdot 3,14 \cdot x = 6,28x\) (m).
Vì hai nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai nửa này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính \(y\) (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai nửa hình tròn là: \(2 \cdot 3,14 \cdot y + 4y = 10,28y\) (m).
Tổng chu vi của chúng là 36 m nên ta có:
\(6,28x + 10,28y = 36 \Rightarrow 6,28x + 10,28y - 36 = 0 \Leftrightarrow 1,57x + 2,57y - 9 = 0\).
Diện tích của vòng tròn là: \(3,14{x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích của hai nửa hình tròn là: \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot {y^2} = 3,14{y^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có:
\(S = 3,14{x^2} + 3,14{y^2}\, \Rightarrow {x^2} + {y^2}\, = \frac{S}{{3,14}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x + 2,57y - 9 = 0\).
Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.
Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).
Ta có: \(OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1,57;2,57} \right)\)
Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 2,57;1,57} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(OH\) là:
\( - 2,57\left( {x - 0} \right) + 1,57\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2,57x - 1,57y = 0\).
Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(H\)là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2,57x - 1,57y = 0\\1,57x + 2,57y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,56\\y \approx 2,55\end{array} \right.\).
Vậy bán kính vòng tròn xấp xỉ bằng 1,56 m và bán kính hai nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,55 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
