Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Nếu một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có \(m\) cách thực hiện, hành động thứ hai có \(n\) cách thực hiện, hành động thứ ba có \(k\) cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì số cách hoàn thành công việc đó là
\(mnk\);
\(m + n + k\);
1;
\(mn + k\).
Đáp án đúng là: B
Vì ba hành động là rời nhau nên theo quy tắc cộng ta có số cách để hoàn thành công việc đó là \(m + n + k\) (cách).
Nếu một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có \(m\) cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có \(n\) cách thực hiện hành động thứ hai, ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động số hai, có \(k\) cách thực hiện hành động số ba thì số cách hoàn thành công việc đó là
\(mnk\);
\(m + n + k\);
1;
\(mn + k\).
Đáp án đúng là: A
Vì ba hành động liên tiếp nên theo quy tắc nhân cộng ta có số cách để hoàn thành công việc đó là \(mnk\) (cách).
Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất là một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn là
480;
24;
48;
60.
Đáp án đúng là: B
Việc chọn một đồ vật duy nhất được chia thành 3 phương án:
Phương án 1: Chọn một cây bút chì thì sẽ có 8 cách.
Phương án 2: Chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách.
Phương án 3: Chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có \[8 + 6 + 10 = 24\]cách chọn.
Từ các chữ số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\] có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100?
36;
62;
55;
42.
Đáp án đúng là: D
Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập \[A = \left\{ {3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}} \right\}.\] Từ tập \[A\] có thể lập được 6 số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng \[\overline {ab} \] với \[\left( {a,b} \right) \in A.\]
Trong đó:
\[a\] có \[6\] cách chọn (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]);
\[b\] có \[6\] cách chọn (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]).
Như vậy, ta có \[6.6 = 36\] số có hai chữ số.
Vậy, từ \[A\] có thể lập được \[36 + 6 = 42\] số tự nhiên bé hơn \[100\].
Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Mỗi chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho là
Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\);
Tất cả các kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó;
Một kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó;
Một số được tính bằng \(n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\).
Mỗi chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho là một kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
Số các hoán vị của 5 phần tử là
5;
\(A_5^1\);
10;
5!.
Đáp án đúng là: D
Số các hoán vị của 5 phần tử là 5!.
Cho \(k,\,\,n\) là các số nguyên dương, \(k \le n\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
\[A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right)\];
\({P_n} = n\left( {n - 1} \right)...2.1\);
\({P_n} = n!\);
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \ne \frac{{n!}}{{k!}}\], do đó đáp án D sai.
Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi vào một dãy ghế gồm có 6 chiếc ghế, biết mỗi người ngồi vào một ghế?
30;
11;
38;
720.
Đáp án đúng là: D
Xếp 5 người ngồi vào một dãy ghế gồm có 6 chiếc ghế (mỗi người ngồi vào một ghế) thì có số cách xếp chính bằng số các chỉnh hợp chập 5 của 6 phần tử và bằng \(A_6^5 = 720\) (cách).
Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?
\(46656\);
\(4320\);
\(720\);
\(360\).
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách sắp xếp \(6\) học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của \(6\) phần tử.
Vậy có \({P_6} = 6! = 720\) cách.
Cho tập hợp \(H = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9;\,\,11} \right\}\). Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử của \(H\) là
\(C_6^3\);
\(\{1;\,5;\,9\}\);
6!;
\(A_6^3\).
Đáp án đúng là: B
Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử của \(H\) là một tập con gồm 3 phần tử của tập \(H\).
Xét các đáp án ta thấy \(\left\{ {1;\,\,5;\,\,9} \right\} \subset H\). Vậy chọn đáp án B.
Cho 8 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8 điểm trên?
336;
56;
512;
24.
Đáp án đúng là: B
Ta chọn ba điểm bất kỳ trong tám điểm sẽ được một tam giác.
Vậy có \(C_8^3 = 56\) tam giác.
Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là?
\(275\);
\(462\);
\(455\);
\(425\).
Đáp án đúng là: C
Chọn \(5\) học sinh bất kỳ từ tổ \(11\) học sinh có số cách chọn là: \(C_{11}^5\).
Số cách chọn \(5\) học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: \(C_5^5 + C_6^5\).
Số cách chọn ngẫu nhiên \(5\) học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là \(C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455\).
Trong một giải cờ vua có cả nam và nữ vận động viên tham gia. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có \(2\) vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là \(84\). Hỏi có bao nhiêu ván cờ tất cả các vận động viên đã chơi?
\(168\);
\(156\);
\(132\);
\(182\).
Đáp án đúng là: D
Gọi số vận động viên nam là \(n\) (vận động viên) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n(n - 1)\).
Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(C_2^1.C_n^1.2 = 4n\).
Khi đó ta có \(n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12\) (loại \(n = - 7\)).
Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là \(2.C_{14}^2 = 182\).
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {a + b} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
6;
3;
5;
1.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\].
Do vậy có tất cả 5 số hạng.
Khai triển của nhị thức \[{\left( {3x + 4} \right)^5}\] là
\[{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\];
\[243{x^5} + 405{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\];
\[243{x^5} - 1620{x^4} + 4320{x^3} - 5760{x^2} + 3840x - 1024\];
\[243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Đáp án đúng là: D
\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) với \[x \ne 0\].
216;
284;
278;
254.
Đáp án đúng là: A
Ta xét khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) (với \(x \ne 0\)), ta có:
\({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}\)
\( = \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}\).
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là 216.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {5;\,2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 5;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 5;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 5\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j \).
Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(N\left( {4;\, - 1} \right)\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {13} \);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5\);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {29} \);
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,1} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,2} \right)\);
\(\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(\left( {2;\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 4;\,\, - 1 - 1} \right) = \left( { - 2;\,\, - 2} \right)\).
Tìm các số thực \(a\) và \(b\) để cặp vectơ sau bằng nhau:
\(\overrightarrow x = \left( {a + b; - 2a + 3b} \right)\) và \(\overrightarrow y = \left( {2a - 3;\,4b} \right)\).
\(a = 2,b = 1\);
\(a = 1,b = - 2\);
\(a = - 1,b = 2\);
\(a = - 2,b = 1\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow x = \overrightarrow y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a - 3\\ - 2a + 3b = 4b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow x = \left( {1;\, - 2} \right)\), \(\overrightarrow y = \left( {5;\,\,10} \right)\), \(\overrightarrow z = \left( { - \frac{1}{2};\,1} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Không có cặp vectơ nào cùng phương trong ba vectơ trên.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - 2\overrightarrow z = - 2\left( { - \frac{1}{2};\,1} \right) = \left( {1;\, - 2} \right) = \overrightarrow x \,\,\,{\rm{hay}}\,\,\overrightarrow x = - 2\overrightarrow z \).
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương.
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;\,9} \right)\), \(B\left( {3;\,7} \right)\), \(C\left( {x - 1;\,y} \right)\). Để \(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì giá trị \(x\) và \(y\) là
\(x = 3,\,y = 1\);
\(x = - 3,\,y = - 1\);
\(x = - 3,\,y = 1\);
\(x = 3,\,y = - 1\).
Đáp án đúng là: D
\(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {4;\,\, - m} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2m + 6;\,\,1} \right)\). Tập giá trị của \(m\) để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương là
\(\left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\);
\(\left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\);
\(\left\{ { - 2; - 1} \right\}\);
\(\left\{ { - 2;\,1} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,1} \right),\,\,C\left( {5;\,\, - 1} \right)\). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
7;
– 5;
5;
– 7.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {3;\,\,4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b \) là
\(\left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\);
\(\left( {14;\,\frac{{41}}{2}} \right)\);
\(\left( {\frac{{41}}{2};\,\,14} \right)\);
\(\left( {14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 1} \right) - 5\left( {3;\,4} \right) = \left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\).
Cho đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 3; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\) có các hệ số: \(a = 2\), \(b = - 3\), \(c = 1\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)\).
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\)?
\(A\left( {1;3} \right)\);
\(B\left( {2;5} \right)\);
\(C\left( {1;4} \right)\);
\(D\left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\) ta có:
\(1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0\)
Do đó, \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 5 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 - 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là
\(3x + 3y + 3 = 0\);
\(3x + 3y + 12 = 0\);
\(x + y + 3 = 0\);
\(x + y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\)và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là
\(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 3y - 12 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\).
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)\) là \(x + y - 4 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(d:2x + y - 5 = 0\);
\(d:x - 2y + 7 = 0\);
\(d:2x + y - 7 = 0\);
\(d:x - 2y - 7 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\)đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là
\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\). Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì
\(d\,\,{\rm{//}}\,\,d'\);
\(d \bot d'\);
\(d\) và \(d'\) cắt nhau tại một điểm;
\(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\).
Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến \(\Delta :ax + by + c = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Công thức xác định góc \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':a'x + b'y + c' = 0\) là
\[\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right) = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' - b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right) = \frac{{a \cdot a' - b \cdot b'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\];
\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\].
Đáp án đúng là: D
Công thức xác định góc \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':a'x + b'y + c' = 0\) là: \[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\].
Cho hai đường thẳng \(d:x - 5y + 2 = 0\) và \(d':2x - y + 3 = 0\), khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\);
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).
Như vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \(\Delta :3x - my + 5 = 0\) và \(\Delta ':x + 5y = 0\). Giá trị của \(m\) để \(\Delta \bot \Delta '\) là
\(\frac{4}{5}\);
\(\frac{3}{5}\);
0;
1.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta :3x - my + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {3; - m} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta ':x + 5y = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} = \left( {1;5} \right)\).
Để \(\Delta \bot \Delta '\) thì \({n_\Delta } \bot {n_{\Delta '}} \Leftrightarrow 3 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 5 = 0 \Leftrightarrow 3 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{5}\).
Từ các chữ số \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
Gọi \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số cần tìm
Ta có \({a_6} \in \left\{ {1;\,3;\,5} \right\}\) và \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5} + {a_6}} \right) = 1\)
+ Với \({a_6} = 1\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;3;6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {4;\,5} \right\}\end{array} \right.\)
hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {3;\,6} \right\}\end{array} \right.\).
+ Với \({a_6} = 3\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,6} \right\}\end{array} \right.\)
hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,5} \right\}\end{array} \right.\).
+ Với \({a_6} = 5\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 6\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,3;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,4} \right\}\end{array} \right.\)
hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,3} \right\}\end{array} \right.\).
Mỗi trường hợp có \(3!.2! = 12\) số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả \(6.12 = 72\) số cần tìm.
Cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 1;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {3;1} \right)\), điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).
Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).
Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).
Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:
\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \)
Mà: \(\overrightarrow {AG} = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM} = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)
Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5?
Vì \(5 = 5 + 0 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) nên ta có các trường hợp sau:
+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau: Có 1 số.
+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.
- Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.
- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.
+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0.
- Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.
- Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.
+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0.
- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2017}^2\) số.
- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^2\) số.
+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số \(1\), một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 thì tương tự như trường hợp 4 ta có \(A_{2017}^2 + C_{2017}^2\) số.
+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.
- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^3\)số.
- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2016}^2\) số.
- Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2016}^2\) số.
+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và \(2013\) chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^4\) số.
Áp dụng quy tắc cộng ta có \(1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4\) số cần tìm.
