Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử của \(H\) là một tập con gồm 3 phần tử của tập \(H\).

Xét các đáp án ta thấy \(\left\{ {1;\,\,5;\,\,9} \right\} \subset H\). Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta chọn ba điểm bất kỳ trong tám điểm sẽ được một tam giác.

Vậy có \(C_8^3 = 56\) tam giác.

Đáp án đúng là: C

Chọn \(5\) học sinh bất kỳ từ tổ \(11\) học sinh có số cách chọn là: \(C_{11}^5\).

Số cách chọn \(5\) học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: \(C_5^5 + C_6^5\).

Số cách chọn ngẫu nhiên \(5\) học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là \(C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455\).

Đáp án đúng là: D

Gọi số vận động viên nam là \(n\) (vận động viên) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n(n - 1)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(C_2^1.C_n^1.2 = 4n\).

Khi đó ta có \(n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12\) (loại \(n =  - 7\)).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là \(2.C_{14}^2 = 182\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\].

Do vậy có tất cả 5 số hạng.

Đáp án đúng là: D

\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].

Đáp án đúng là: A

Ta xét khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) (với \(x \ne 0\)), ta có:

\({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}\)

\( = \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}\).

Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là 216.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow v  = 5\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  = 5\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j \).

Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v  = \left( {5;\, - 2} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2 - 4;\,\, - 1 - 1} \right) = \left( { - 2;\,\, - 2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow x  = \overrightarrow y  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a - 3\\ - 2a + 3b = 4b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \( - 2\overrightarrow z  =  - 2\left( { - \frac{1}{2};\,1} \right) = \left( {1;\, - 2} \right) = \overrightarrow x \,\,\,{\rm{hay}}\,\,\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow z \).

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương.

Đáp án đúng là: D

\(G\left( {x;\,y + 6} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) =  - 8 + 3 =  - 5\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow c  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b  = \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 1} \right) - 5\left( {3;\,4} \right) = \left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(2x - 3y + 1 = 0\) có các hệ số: \(a = 2\), \(b =  - 3\), \(c = 1\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\) ta có:

\(1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0\)

Do đó, \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 3y + 8 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;5} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\)và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;3} \right)\) là

\(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 3y - 12 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;3} \right)\) là \(x + y - 4 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)\)  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\)đi qua hai điểm \(A\left( {1;5} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) là

\(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có hai đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) và \(d':a'x + b'y + c' = 0\).

Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \(d\) và \(d'\) trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đáp án đúng là: D

Công thức xác định góc \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':a'x + b'y + c' = 0\) là: \[\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\].

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y =  - 2\\2x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).

Như vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \(\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(\Delta :3x - my + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {3; - m} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta ':x + 5y = 0\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{\Delta '}}}  = \left( {1;5} \right)\).

Để \(\Delta  \bot \Delta '\) thì \({n_\Delta } \bot {n_{\Delta '}} \Leftrightarrow 3 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 5 = 0 \Leftrightarrow 3 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{5}\).

Gọi \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số cần tìm

Ta có \({a_6} \in \left\{ {1;\,3;\,5} \right\}\) và \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5} + {a_6}} \right) = 1\)

+ Với \({a_6} = 1\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;3;6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {4;\,5} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {3;\,6} \right\}\end{array} \right.\).

+ Với \({a_6} = 3\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,6} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,5} \right\}\end{array} \right.\).

+ Với \({a_6} = 5\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 6\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,3;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,4} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,3} \right\}\end{array} \right.\).

Mỗi trường hợp có \(3!.2! = 12\) số thỏa mãn yêu cầu

Vậy có tất cả \(6.12 = 72\) số cần tìm.

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).

Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).

Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM} \)

Mà: \(\overrightarrow {AG}  = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM}  = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).

Vì \(5 = 5 + 0 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau: Có 1 số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2017}^2\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số \(1\), một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 thì tương tự như trường hợp 4 ta có \(A_{2017}^2 + C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^3\)số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2016}^2\) số.

- Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2016}^2\) số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và \(2013\) chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^4\) số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có \(1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4\) số cần tìm.