Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
33 câu hỏi
Cho các điểm \(M,N\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của góc lượng giác \(\left( {ON,OM} \right)\) là
\( - 285^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(75^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 75^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(50^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
sđON,OM=sđON,OA+sđOA,OM=25°+50°+k360°=75°+k360°,k∈ℤ.
Chọn đẳng thức đúng:
\(\tan x = \tan \left( {x - \pi } \right)\).
\(\cos x = \cos \left( {x + \pi } \right)\).
\(\sin x = \sin \left( {x - \pi } \right)\).
\(\cos x = \cos \left( {x - \pi } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\tan x = \tan \left( {x - \pi } \right)\).
Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo của rađian của cung đó là
\(\frac{1}{2}\) rad.
1 rad.
\(\frac{3}{2}\) rad.
2 rad.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi \(\alpha ,l,R\) lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn.
Vì độ dài cung bằng một nửa bán kính nên ta có \(l = \frac{R}{2}\).
Ta có: \(l = R\alpha = \frac{R}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}\) rad.
Công thức nào sau đây là sai?
\(\cos \left( {a - b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Công thức đúng là \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\).
Với góc \(\alpha \) bất kì, đẳng thức nào sau đây là đúng?
\({\sin ^2}\left( {2\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2\alpha } \right) = 1\).
\(\sin \left( {{\alpha ^2}} \right) + \cos \left( {{\alpha ^2}} \right) = 1\).
\(\sin 2{\alpha ^2} + {\cos ^2}2\alpha = 1\).
\({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\sin ^2}\left( {2\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2\alpha } \right) = 1\).
Biết \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\). Giá trị của \(\cos 2\alpha \) là
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).
Tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn thoả mãn \(\cos A = \frac{4}{5}\) và \(\cos B = \frac{5}{{13}}\). Khi đó \(\cos C\) bằng:
\(\frac{{56}}{{65}}\).
\( - \frac{{56}}{{65}}\).
\(\frac{{16}}{{65}}\).
\(\frac{{33}}{{65}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(A,B,C\) là các góc nhọn nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin A < 1;0 < \cos A < 1\\0 < \sin B < 1;0 < \cos B < 1\end{array} \right.\).
Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{4}{5}\\\cos B = \frac{5}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \frac{3}{5}\\\sin B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \frac{{12}}{{13}}\end{array} \right.\)
Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\)
\( \Rightarrow \cos C = \cos \left[ {180^\circ - \left( {A + B} \right)} \right] = - \cos \left( {A + B} \right) = - \left( {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right)\)
\( = - \left( {\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{{13}} - \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}}} \right) = \frac{{16}}{{65}}\).
Tập xác định của hàm số \(y = 2\tan x + 3\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(2\tan x + 3\) có nghĩa khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:
\(y = {\sin ^2}x\).
\(y = x\cos 2x\).
\(y = x\sin x\).
\(y = \cos x\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = x\cos 2x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Xét \(f\left( x \right) = x\cos 2x\) có \(f\left( { - x} \right) = - x.\cos \left( { - 2x} \right) = - x\cos 2x = - f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\) là
\( - 2\).
\( - 1\).
3.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[ - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 3\]
\[ \Rightarrow - 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 4\]
Dấu xảy ra của bất đẳng thức \[ - 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\] khi \[\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\]
\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 2.
Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) có tập nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) - 1 = 0\) trong đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(2\sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5} - x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5} - x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \\x = - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) nên ta có:
\( - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{{8\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{{15}} \Leftrightarrow - \frac{4}{{15}} \le k \le \frac{7}{{30}} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).
\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{{30}}\).
\[ - \frac{\pi }{2} \le - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{17\pi }}{{15}} \Leftrightarrow \frac{1}{{15}} \le k \le \frac{{17}}{{30}} \Rightarrow \] không có \(k\) nguyên nào thoả mãn.
Vậy phương trình có có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{{30}}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\cos 2x = 1 - m\) có nghiệm là
\( - 1 \le m \le 3\).
\(0 \le m \le 2\).
\(m \le 2\).
\(m \ge 0\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên phương trình có nghiệm khi \( - 1 \le 1 - m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(u{{\kern 1pt} _1} = - 2\).
\(u{{\kern 1pt} _2} = 4\).
\(u{{\kern 1pt} _3} = - 6\).
\(u{{\kern 1pt} _4} = - 8\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Kết quả đúng là: \({u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\)?
\({u_{n + 1}} = {3.3^n}\).
\({u_{n + 1}} = 3 + {3^n}\).
\({u_{n + 1}} = 1 + {3^n}\).
\({u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_n} = {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3.3^n}\).
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào là dãy số giảm?
\({u_n} = {n^2}\).
\({u_n} = 2n\).
\({u_n} = {n^3} - 1\).
\({u_n} = \frac{{ - 2n + 1}}{{n + 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{u_n} = \frac{{ - 2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{ - 2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{n + 1}} = - 2 + \frac{3}{{n + 1}}\].
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 1}} = - \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\).
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1,{u_2} = 2\). Giá trị của \({u_{10}}\) là
\({u_{10}} = 10\).
\({u_{10}} = 9\).
\({u_{10}} = 7\).
\({u_{10}} = 15\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n\).
Khi đó \({u_{10}} = 10\).
Bốn số \(5;x;15;y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của \(3x + 2y\) là
50.
70.
30.
80.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \(5;x;15\) tạo thành cấp số cộng \[ \Rightarrow 15 - x = x - 5 \Leftrightarrow 2x = 20 \Leftrightarrow x = 10\].
Vì \(x;15;y\) tạo thành cấp số cộng \( \Rightarrow 15 - x = y - 15 \Leftrightarrow x + y = 30 \Rightarrow y = 30 - x = 20\).
\( \Rightarrow 3x + 2y = 3.10 + 2.20 = 70\).
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và tổng 20 số hạng đầu tiên \({S_{20}} = 440\). Công sai \(d\) của cấp số cộng là
\(d = 1\).
\(d = 2\).
\(d = \frac{3}{2}\).
\(d = 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {3.2 + 19d} \right)\)
\( \Rightarrow d = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{{S_{20}}}}{{10}} - 6} \right) = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{440}}{{10}} - 6} \right) = 2\).
Cho dãy số \( - 1; - 1; - 1; - 1; - 1;...\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số này không phải là cấp số nhân.
Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = - 1;q = 1\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).
Dãy số là dãy giảm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Các số hạng trong dãy giống nhau nên dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = - 1\); \(q = 1\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 1\), công bội \(q = - \frac{1}{{10}}\). Hỏi \(\frac{1}{{{{10}^{2023}}}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của \(\left( {{u_n}} \right)\)?
Số hạng thứ 2024.
Số hạng thứ 2023.
Số hạng thứ 2022.
Số hạng thứ 2021.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\).
Khi đó \({u_n} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow n - 1 = 2023 \Leftrightarrow n = 2024\).
Vậy \(\frac{1}{{{{10}^{2023}}}}\) là số hạng thứ 2024.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 4\) và \({u_7} = 9\). Giá trị của \({u_6}\) là
36.
5.
\(\frac{{13}}{2}\).
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên ta có: \(\frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = \frac{{{u_6}}}{{{u_5}}} \Rightarrow u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_6} = \sqrt {{u_5}.{u_7}} = 6\).
Vậy \({u_6} = 6\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau.
B sai vì hai đường thẳng có thể song song với nhau.
C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song có thể cắt nhau.
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin {\rm{mp}}\left( \alpha \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong bốn điểm nói trên?
4.
5.
6.
7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có 6 mặt phẳng tạo thành: \(\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right);\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right);\left( {SBD} \right);\left( {SCD} \right)\).
Trong hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(SO\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\).
\(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\).
\(SO\) nằm trên \(\left( {SBC} \right)\).
\(SO\) nằm trên \(\left( {SCD} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(O \in AC\) nên \(SO \subset \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) là
\(AM\)với \(M\) là trung điểm \(AB\).
\(AH\) với \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(CD\).
\(AN\) với \(N\) là trung điểm \(CD\).
\(AK\) với \(K\) là hình chiếu của \(C\) trên \(BD\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\), khi đó \(N \in BG\) (do \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\)).
\( \Rightarrow N \in \left( {GAB} \right)\), mà \(N \in \left( {ACD} \right)\) nên \(N\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Mà \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
\( \Rightarrow AN\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Chọn khẳng định đúng:
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng song song thì chúng đồng phẳng hay hai đường thẳng này cùng nằm trên một mặt phẳng.
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c\), trong đó \(a{\rm{//}}b\).
Khẳng định nào sau đây không đúng?
Nếu \(a{\rm{//}}c\) thì \(b{\rm{//}}c\).
Nếu \(a\) cắt \(c\) thì \(c\) cắt \(b\).
Nếu \(A \in a\) và \(B \in b\) thì \(a,b\) và \(AB\) cùng ở trên một mặt phẳng.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua \(a\) và \(b\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Khi \(a{\rm{//}}b\) thì tồn tại mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cả \(a\) và \(b\).
Khi \(a\) cắt \(c\) thì tồn tại mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa cả \(a\) và \(c\).
Khi đó, nếu \(\left( \alpha \right)\) trùng với \(\left( \beta \right)\) thì \(b\) cắt \(c\), còn khi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là 2 mặt phẳng phân biệt thì \(b,c\) là 2 đường thẳng chéo nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,BC,CD,DA\). Đường thẳng song song với \(AC\) là
\(MP\).
\(NP\).
\(MN\).
\(MQ\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác \(ABC\) có \(M,N\) là trung điểm \(BA,BC\) nên \(MN\) là đường trung bình tam giác \(ABC\), do đó \(MN{\rm{//}}AC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q,R,T\) lần lượt là trung điểm \[AC,\] \[BD,BC,CD,SA,SD\]. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
\(M,P,R,T\).
\(M,Q,T,R\).
\(M,N,R,T\).
\(P,Q,R,T\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trong tam giác \(DAC\) có \(M,Q\) lần lượt là trung điểm \(AC,DC\) nên \(MQ\) là đường trung bình tam giác \(DAC \Rightarrow MQ{\rm{//}}AD\).
Trong tam giác \(SAD\) có \(T,R\) lần lượt là trung điểm \(SD,SA\) nên \(RT\) là đường trung bình tam giác \(SAD \Rightarrow RT{\rm{//}}DA\).
\( \Rightarrow RT{\rm{//}}MQ \Rightarrow \) bốn điểm \(M,Q,T,R\) đồng phẳng.
III. Hướng dẫn giải tự luận
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\).
a) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} + 3\) là một cấp số nhân, tìm công bội và viết số hạng tổng quát của cấp số nhân này.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)
Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).
\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).
b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)
\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)
\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)
\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.
Cho tứ giác \(ABCD\) và \(S\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I,J\) là hai điểm nằm trên \(AD\) và \(SB\). \(AD\) cắt \(BC\) tại \(O\) và \(OJ\) cắt \(SC\) tại \(M\).
a) Tìm giao điểm \(K\) giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Xác định giao điểm \(L\) giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Chứng minh rằng 4 điểm \(A,K,L,M\) thẳng hàng.
a) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BI\), khi đó \(SE\)nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Mà \(IJ\) và \(SE\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SIB} \right)\), nên giao điểm của \(IJ\) và \(SE\) chính là giao điểm giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Vậy \(K\) là giao điểm giữa \(IJ\) và \(SE\).
b) Gọi giao điểm giữa \(AC\) và \(BD\) là \(F\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) lấy \(DJ\) giao với \(SF\) tại \(L\).
Vì \(SF\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(L\) là giao điểm giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) \(K \in IJ \Rightarrow K \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(K \in \left( {SAC} \right)\) nên \(K\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow \)\(K\) thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).
Tương tự, \(L \in JD \Rightarrow L \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(L \in \left( {SAC} \right)\) nên \(L\) thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (2).
Mặt khác, \(M \in OJ \Rightarrow M \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(M \in SC \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kết hợp \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow AM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A,K,L,M\) thẳng hàng. (đpcm)
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]
Xét \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\). Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác \(\frac{\pi }{6}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Xét hàm số \(y = \cos 2x\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, để phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{{m + 1}}{3} < 1\\\frac{{m + 1}}{3} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m < 2\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thoả mãn đề bài.
