Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
33 câu hỏi
Góc có số đo \(150^\circ \) đổi ra radian là
\(\frac{5}{6}\) rad.
\(\frac{3}{4}\) rad.
\[\frac{3}{2}\] rad.
\(\frac{{5\pi }}{6}\) rad.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(180^\circ = \pi \left( {{\rm{rad}}} \right) \Rightarrow 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}\left( {{\rm{rad}}} \right)\).
Mệnh đề nào sau đây là sai với mọi \(\alpha \)?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 1\,\,\,\left( {\alpha \ne k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\,\,\,\,\left( {\alpha \ne k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\[{\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} \ge 2\sqrt {{{\tan }^2}\alpha \cdot \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} = 2\]
\[ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \ne 1\], do đó B là đáp án sai.
Biết \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\). Giá trị của \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) là
\(\frac{5}{{13}}\).
\( - \frac{5}{{13}}\).
\[\frac{{12}}{{13}}\].
\(\frac{8}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \) nên \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{5}{{13}}\).
Biến đổi tích \(\sin 3x.\sin x\) thành tổng, ta thu được:
\(\frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right)\).
\(\frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right)\).
\(\frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos 2x} \right)\).
\(\frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\sin 3x.\sin x = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {3x - x} \right) - \cos \left( {3x + x} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right)\)
Biểu thức \(\sin x\cos y - \sin y\cos x\) bằng
\(\cos \left( {x - y} \right)\).
\(\cos \left( {x + y} \right)\).
\(\sin \left( {x - y} \right)\).
\(\sin \left( {x + y} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức cộng lượng giác, ta có:
\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \sin y\cos x\).
Cho \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\) và \(\tan \beta = \frac{1}{3}\). Giá trị của \(\alpha + \beta \) là
\(\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Biểu thức \(M = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos 36^\circ .\cos 86^\circ \) có giá trị bằng
\(\cos 50^\circ \).
\(\cos 58^\circ \).
\(\sin 50^\circ \).
\(\sin 58^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(M = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos 36^\circ .\cos 86^\circ \)
\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos \left( {90^\circ - 54^\circ } \right).\cos \left( {90^\circ - 4^\circ } \right)\)
\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ \)
\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ \)
\( = \cos \left( {54^\circ + 4^\circ } \right) = \cos 58^\circ \).
Hàm số nào dưới đây là hàm chẵn?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn vì tập xác định của \(y = \cos x\) là \(\mathbb{R}\) và \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định: \(\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow \) tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Gọi \(M\) và \(m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2 - \sin x\).
Giá trị của biểu thức \(S = 2m + M\) là
\( - 2\).
0.
3.
5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì \[ - 1 \le \sin x \le 1\] nên \[1 \le 2 - \sin x \le 3\].
Dấu của bất đẳng thức \(1 \le 2 - \sin x\) xảy ra khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Dấu của bất đẳng thức \(2 - \sin x \le 3\)xảy ra khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy \(m = 1\) và \(M = 3 \Rightarrow S = 2m + M = 2 + 3 = 5\).
Nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) là
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Gọi \({x_0}\) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({x_0} \in \left( { - 90^\circ ; - 60^\circ } \right)\).
\({x_0} \in \left( { - 30^\circ ; - 15^\circ } \right)\).
\({x_0} \in \left( { - 45^\circ ; - 30^\circ } \right)\).
\({x_0} \in \left( { - 60^\circ ; - 45^\circ } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 45^\circ = 30^\circ + k360^\circ \\5x - 45^\circ = - 30^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 75^\circ + k360^\circ \\5x = 15^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15^\circ + k72^\circ \\x = 3^\circ + k72^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \({x_0}\) là nghiệm âm nên ta có 2 trường hợp sau:
TH1: \(x = 15^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{{15}}{{72}} = - \frac{5}{{24}} \Rightarrow k \le - 1\), vì \({x_0}\) lớn nhất nên \(k = - 1\).
\( \Rightarrow {x_0} = - 57^\circ \).
TH1: \[x = 3^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{3}{{72}} = - \frac{1}{{24}} \Rightarrow k \le - 1\], vì \({x_0}\) lớn nhất nên \(k = - 1\).
\( \Rightarrow {x_0} = - 69^\circ \).
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \({x_0} = - 57^\circ \Rightarrow {x_0} \in \left( { - 60^\circ ; - 45^\circ } \right)\).
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là
4.
3.
2.
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có 4 điểm \(A,B,C,D\) như sau:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\). 5 số hạng đầu tiên của dãy số là
1; 4; 9; 16; 25.
3; 5; 7; 9; 11.
1; 3; 8; 15; 24.
4; 9; 16; 25; 36.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.1 + 1 = 4\\{u_3} = {u_2} + 2.2 + 1 = 9\\{u_4} = {u_3} + 2.3 + 1 = 16\\{u_5} = {u_4} + 2.4 + 1 = 25\end{array} \right.\)
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1; 4; 9; 16; 25.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {5.2^{n - 1}} + {3^n}\). Số hạng \({u_{n + 1}}\) là
\({u_{n + 1}} = {5.2^n} + {3^{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = {5.2^n} + {9^n}\).
\({u_{n + 1}} = {5.2^{n - 1}} + {3^{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = {5.2^n} + {3^{n + 2}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\({u_n} = {5.2^{n - 1}} + {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {5.2^{n + 1 - 1}} + {3^{n + 1}} = {5.2^n} + {3^{n + 1}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + 5}}{{n + 1}}\). Có bao nhiêu số nguyên \(a\) trong khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\) để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng?
21.
5.
4.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
\({u_n} = \frac{{an + 5}}{{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 5 - a}}{{n + 1}} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \left( {a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \frac{{5 - a}}{{n + 1}} = \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 5 > 0\) (vì \[\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]) \( \Leftrightarrow a > 5\)
\( \Rightarrow a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\} \Rightarrow \) có 4 số thoả mãn đề bài.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
1; 0; 0; 0; 0.
2; 4; 8; 16; 32.
1; 4; 6; 7; 10.
2; –3; –8; –13; –18.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \( - 18 - \left( { - 13} \right) = - 13 - \left( { - 8} \right) = - 8 - \left( { - 3} \right) = - 3 - 2 = - 5\) nên dãy số này là một cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = 5n - 2\). Số hạng đầu \[{v_1}\] và công sai \(d\) của \(\left( {{v_n}} \right)\) là
\({v_1} = - 2,d = 5\).
\({v_1} = - 2,d = 3\).
\({v_1} = 5,d = - 2\).
\({v_1} = 3,d = 5\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({v_1} = 5.1 - 2 = 3\) và \(d = {v_{n + 1}} - {v_n} = 5\left( {n + 1} \right) - 2 - \left( {5n - 2} \right) = 5\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 2\end{array} \right.\). Tìm \({u_{2023}}\).
4042.
4044.
4046.
4048.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n\).
Khi đó \({u_{2023}} = 2023.2 = 4046\).
Dãy số 1; 3; 9; 27; 81;… là một cấp số nhân với công bội là
4.
3.
2.
8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \(\frac{{81}}{{27}} = \frac{{27}}{9} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow \) dãy số là một cấp số nhân có công bội là 3.
Cho cấp số nhân \(\frac{1}{2}; - \frac{1}{4};\frac{1}{8}; - \frac{1}{{16}};...\). Số \( - \frac{1}{{4096}}\) là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
12.
13.
14.
15.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \) số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n}\].
Khi đó, \( - \frac{1}{{4096}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{12}} \Rightarrow - \frac{1}{{4096}}\) là số hạng thứ 12.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 256\\{u_7} = 1024\end{array} \right.\). Số hạng đầu của cấp số nhân là
4.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 256\\{u_7} = 1024\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = 4\)
Mặt khác, \({u_6} = {u_1}.{q^5} \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{q^5}}} = \frac{{256}}{{{4^5}}} = \frac{1}{4}\).
Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì
Cùng thuộc đường tròn.
Cùng thuộc đường elip.
Cùng thuộc đường thẳng.
Cùng thuộc mặt cầu.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì chỉ xác định được 1 và chỉ 1 mặt phẳng. Ở đây ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt nên ít nhất 1 trong 2 điều kiện phân biệt hoặc thẳng hàng không thỏa mãn. Mà 3 điểm đã cho phân biệt nên chúng phải thẳng hàng.
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Qua hai đường thẳng chéo nhau không xác định được mặt phẳng nào.
Ta chỉ xác định được một mặt phẳng qua hai đường thẳng đồng phẳng.
Cho tứ diện \(SABC\). Giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng
\(SB\).
\(SC\).
\(SA\).
\(AC\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì \(S\) và \(B\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow SB\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh \(AC,BC\) sao cho \(MN\) không song song với \(AB\). Gọi \(K\)là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và \(\left( {SAB} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MN\)với\(AB\).
\(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\)với \(BN\).
\(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BM\) với \(AN\).
Không có khẳng định đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì \(MN,AB\) đồng phẳng nên giao điểm \(K\) của đường thẳng \(MN\) và \(\left( {SAB} \right)\) là giao giữa \(MN\) và \(AB\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Khi hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
Cho tứ diện \(ABCD\). Có bao nhiêu cặp đường thẳng chéo nhau?
3.
4.
5.
2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Các cặp đường thẳng chéo nhau là: \(AB\) và \(CD\); \(AC\) và \(BD\); \(AD\) và \(BC\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I;J\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB;BC\) và \(BD\). Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {IJK} \right)\) là
\(KD\).
\(KI\).
Đường thẳng qua \(K\) và song song với \(AB\).
Không có.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {ABD} \right)\) nên \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).
Tương tự, điểm \(K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).
\( \Rightarrow \) giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {IJK} \right)\) là đường thẳng \(KI\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\(AD\).
\(BD\).
\(AC\).
\(SC\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Mà \(AD{\rm{//}}BC\) nên giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(Sx{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0\);
b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\);
c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\).
Hướng dẫn giải:
a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{3} - x = - \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \left( {\cos 2x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right.\)
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
TH2: \(\cos \frac{{3x}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).
TH3: \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:
Nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \(B,\,\,B'\).
Nghiệm \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \({B_1},{B_2},{B_3}\).
Nghiệm \(\pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi điểm \({B_2}\).
\( \Rightarrow \)phương trình đã cho có các nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\).
a) Chứng minh rằng \(OM\) song song với \(SB\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Xác định giao điểm \(K\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {MBG} \right)\).
c) Chứng minh \(KG{\rm{//}}SC\) và tính tỉ số \(\frac{{JM}}{{JK}}\).
Hướng dẫn giải:
a) Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm \(BD\).
Xét tam giác \(SBD\) có \(O\) là trung điểm \(BD\), \(M\) là trung điểm \(SD\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB\).
b) Kéo dài \(BG\) cắt \(CD\), \(AD\)lần lượt tại \(I\), \(J\). Kéo dài \(JM\) cắt \(SA\) tại \(K\).
Khi đó \(K \in \left( {MBG} \right)\), do đó \(K\) là giao điểm của \(SA\) và \(\left( {MBG} \right)\).
c) Vì \(I\) là giao điểm của \(BG\) và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Ta chứng minh được \(I\) là trung điểm của \(JB\).
Tam giác \(ABJ\) có \(DI{\rm{//}}AB\), \(I\) là trung điểm \(JB\) nên \(DI\) là đường trung bình tam giác \(ABJ\).
\( \Rightarrow D\) là trung điểm \[JA\].
Từ \(D\) kẻ \(DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)\). Khi đó \(DN\) là đường trung bình của tam giác \(AKJ\)
\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = 2DN\).
Mặt khác, xét \(\Delta MND\) và \(\Delta MSK\) có:
\(\widehat {SKM} = \widehat {DNM}\) (2 góc so le của \(SK{\rm{//}}ND\))
\(SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)\) (\(S\) là trung điểm \(AD\))
\(\widehat {SMK} = \widehat {DMN}\) (đối đỉnh)
Do đó, \(\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND\).
\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 1 \right)\)
Lại có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC\) (định lí Talet trong tam giác \(SAC\)). (đpcm)
Xét tam giác \(SCD\) có \(M,I\) lần lượt là các trung điểm \(SD,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình tam giác \(SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC\), mà \(KG{\rm{//}}SC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}\).
Ta có: \(DI\) là đường trung bình \(\Delta ABJ\) nên \(I\) là trung điểm \(BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ\).
\(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}\).
Vậy \(\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}\).
Chu vi một đa giác là 158 cm. Biết rằng số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của đa giác đó.
Hướng dẫn giải:
Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 3} \right)\) và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 44\). Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), tức là:
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2} = 158\)
\( \Leftrightarrow n\left( {{u_1} + 44} \right) = 316\)
Vì \(n\) và \({u_1} + 44\) là một số nguyên dương nên \({u_1} + 44 \in \)Ư\(\left( {316} \right) = \left\{ {1;2;4;79;158;316} \right\}\).
Mặt khác \(n \ge 3\) nên \(44 < {u_1} + 44 \le \frac{{316}}{3} \Leftrightarrow 44 < {u_1} + 44 \le 105\).
\( \Rightarrow {u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\).
Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.
