Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
Góc có số đo \(\frac{\pi }{5}\) rad đổi sang độ là
\(32^\circ \).
\(36^\circ \).
\(40^\circ \).
\(42^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \(180^\circ = \pi \) (rad) \( \Rightarrow \frac{\pi }{5}\,\,{\rm{rad}} = \left( {\frac{{180}}{5}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 36^\circ \).
Công thức số đo tổng quát của góc lượng giác \(\left( {OM,ON} \right)\) trong hình bên là
\(100^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 260^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 100^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(50^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Từ hình vẽ, ta có:
sđOA,OM=75°+m360°,m∈ℤ⇒sđOM,OA=−75°+k360°.
sđOA,ON=−25°+n360°,n∈ℤ.
⇒sđOM,ON=sđOM,OA+sđOA,ON=−75°+−25°+k360°=−100°+k360°
với \(k \in \mathbb{Z}\).
Hải lí là một đơn vị hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc \(\alpha = \left( {\frac{1}{{60}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array}\) của đường kinh tuyến (hình vẽ dưới đây). Biết bán kính trung bình Trái Đất là 6 371 km. Độ dài 1 hải lí là (làm tròn đến hàng phần trăm)
1,86 km.
1,58 km.
1,85 km.
2,05 km.
Đáp án đúng là: C.
Đổi \(\left( {\frac{1}{{60}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = \frac{1}{{60}} \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10800}}\) rad.
Khi đó, độ dài cung chắn góc \(\alpha \) là: \(l = R\alpha = 6371 \cdot \frac{\pi }{{10800}} \approx 1,85\) (km).
Vậy 1 hải lí \( = 1,85\)km.
Cho \[\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\] với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \[{\rm{cos}}\alpha \] là
\( - \frac{{12}}{{13}}\).
\(\frac{{12}}{{13}}\).
\( - \frac{8}{{13}}\).
\(\frac{8}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \[\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin \alpha < 1\\ - 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0\end{array} \right.\].
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\) (vì \[ - 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0\]).
Vậy \[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{{12}}{{13}}\].
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\).
\(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\).
\(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{4\tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\).
\(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha - 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: \(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\).
Rút gọn biểu thức \[{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha \], ta được:
\(2\sin \alpha .\cos \alpha \).
\({\cos ^2}\alpha \).
\({\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \).
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
\[{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha \]
\[ = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\].
Vậy \[{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = 1\].
Giá trị của \[{\rm{cos}}\alpha .{\rm{cos}}\beta \] bằng giá trị của biểu thức nào sau đây với mọi \(\alpha ,\beta \)?
\(\frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\).
\(\frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\).
\(\frac{1}{2}\left[ {{\rm{sin}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\).
\(\frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
\[{\rm{cos}}\alpha .{\rm{cos}}\beta = \frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\].
Tập giá trị của hàm \(y = \cos x\) là
\(\mathbb{R}\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Hàm số \(y = 5\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{3}} \right)\) có chu kì là
\(4\pi \).
\(\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(2\pi \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Chu kì của hàm số \(y = 5\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{3}} \right)\) là: \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}\) là \(\sin x + 1 \ne 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
\(\sqrt 3 \).
\( - 1\).
\(1\).
\( - \sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le \sqrt 3 \).
Dấu của \( - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xảy ra khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \( - \sqrt 3 \).
Phương trình \(\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\) có tập nghiệm là
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
\[\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\) có nghiệm là
\( - 1 \le m \le 1\).
\(m > 1\).
\(m < - 1\).
\(m \ne \pm 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Nghiệm của phương trình \[\tan x + \sqrt 3 = 0\] được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình dưới đây bởi những điểm nào?
Điểm \(C\) và điểm \(F\).
Điểm \(G\) và điểm \(A\).
Điểm \(I\) và điểm \(D\).
Điểm \(B\) và điểm \(F\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: \[\tan x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Điểm biểu diễn của \[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] trên đường tròn lượng giác là điểm \(I\) và điểm \(D\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) trong khoảng \(\left[ {0;6} \right]\) là
\(\frac{{17\pi }}{6}\).
\(3\pi \).
\(\frac{{25\pi }}{{18}}\).
\(\frac{{35\pi }}{{18}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
\(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{6} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ {0;6} \right]\) nên ta có:
+) \[0 \le \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 - \frac{{5\pi }}{{18}} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{5}{{12}}\]
\( \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}};\frac{{29\pi }}{{18}}} \right\}\).
+) \[0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 6 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le k2\pi \le 6 - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{3}{\pi } - \frac{1}{{12}}\]
\( \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).
Vậy tổng các nghiệm thoả mãn yêu cầu đề bài là: \(S = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{17\pi }}{{18}} + \frac{{29\pi }}{{18}} + \frac{\pi }{6} = 3\pi \).
Dãy số nào dưới đây là dãy tăng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 3n + 5\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{2}{{{n^2}}}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\):
\({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\).
Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng.
Cách liệt kê nào là đúng với dãy số sau: Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố lẻ nhỏ hơn 20 theo thứ tự tăng dần.
2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19.
3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19.
3; 5; 7; 11; 13; 17; 19.
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố lẻ nhỏ hơn 20 theo thứ tự tăng dần là:
3; 5; 7; 11; 13; 17; 19
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\).
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}\).
\(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}}\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
\(\frac{1}{3}\).
1.
\(\frac{1}{2}\).
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\).
Mặt khác, \({u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số 1.
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình vẽ). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở lớp thứ \(n\) tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Số hạng tổng quát dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\({u_n} = 14 + n\).
\({u_n} = 13 + n\).
\({u_n} = 14 + 2n\).
\({u_n} = 14 + 2\left( {n - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Chồng gỗ là một cấp số cộng với \({u_1} = 14\) và công sai \(d = 1\).
Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 14 + \left( {n - 1} \right).1 = 13 + n\).
Cho cấp số cộng có số hạng đầu là 5, số hạng thứ 8 là 40. Khi đó công sai của cấp số cộng đó bằng bao nhiêu?
5.
6.
7.
2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: \({u_1} = 5\) và \({u_8} = {u_1} + \left( {8 - 1} \right).d = 40 \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{40 - 5}}{7} = 5\).
Vậy công sai của cấp số cộng là 5.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4\) và \(d = - 5\). Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là
–24530.
–24350.
–23450.
–32450.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.\left( { - 5} \right)} \right]}}{2} = - 24350\).
Giá trị của \(x\)để ba số \[6;x;20\] lập thành một cấp số cộng là
\(x = 12\).
\(x = 10\).
\(x = 15\).
\(x = 13\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có \[6;x;20\] lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \(x - 6 = 20 - x\)
\( \Leftrightarrow 2x = 26 \Leftrightarrow x = 13\).
Vậy \(x = 13\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
2; 4; 8; 16;….
1; – 1 ; 1; – 1;…
1; 4; 9; 16;….
1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\); \(\frac{1}{{27}}\);….
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Xét dãy số \({1^2};{2^2};{3^2};...\) có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{1} = 4 \ne \frac{9}{4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên \({1^2};{2^2};{3^2};...\) không phải là cấp số nhân.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_3} = 45\), \({u_5} = 80\). Giá trị của \({u_4}\) là
\({u_4} = 60\).
\({u_4} = 50\).
\({u_4} = 40\).
\({u_4} = 55\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(\frac{{{u_5}}}{{{u_4}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} \Rightarrow u_4^2 = {u_5}.{u_3}\)
\( \Leftrightarrow u_4^2 = 45.80 = 3600 \Rightarrow {u_4} = \sqrt {3600} = 60\).
Vậy \({u_4} = 60\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \(q = - 2\). Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Số hạng thứ 5.
Số hạng thứ 6.
Số hạng thứ 7.
Số hạng thứ 9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 192 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6} \Rightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\).
Vậy 192 là số hạng thứ 7.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} \ne 0\) và \(q \ne 0\). Với \(1 < k < m\), đẳng thức nào sau đây là đúng?
\({u_m} = {u_k}.{q^k}\).
\({u_m} = {u_k}.{q^m}\).
\({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\).
\({u_m} = {u_k}.{q^{m + k}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} = \left( {{u_1}.{q^{m - 1}}} \right).{q^{k - 1 - \left( {m - 1} \right)}} = {u_m}.{q^{k - m}}\) hay \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\).
Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(O\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là
\(OA\).
\(AB\).
\(BC\).
\(AC\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì \(A \in \left( {OAB} \right)\) và \(A \in \left( {ABC} \right)\) nên \(A\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Tương tự, \(B \in \left( {OAB} \right)\) và \(B \in \left( {ABC} \right)\) nên \(B\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(AB\) là giao tuyến chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Ba điểm phân biệt.
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm này.
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng sẽ có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng nào.
D sai. Bốn điểm không đồng phẳng sẽ không tạo được mặt phẳng nào chứa cả 4 điểm đó.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
A sai vì hai đường thẳng cắt nhau có 1 điểm chung duy nhất.
B và C sai vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa tam giác \(BCD\). Lấy \(E,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB,AC\). Khi \[EF\] và \(BC\) cắt nhau tại \(I\), thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {AEF} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Điểm \(I\) là giao điểm của \[EF\] và \(BC\) mà \(EF\) nằm trên \(\left( {DEF} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) và \[\left( {AEF} \right)\] nên điểm \(I\) sẽ là điểm chung giữa các cặp mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\); \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\); \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {AEF} \right)\).
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy \(A\), \(B\) thuộc \(a\) và \(C\), \(D\) thuộc \(b\). Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\)?
Có thể song song hoặc cắt nhau.
Cắt nhau.
Song song với nhau.
Chéo nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Theo giả thiết, \(a\) và \(b\) chéo nhau nên \(a\) và \(b\) không đồng phẳng.
Giả sử \(AD\) và \(BC\) đồng phẳng. Khi đó ta có 2 trường hợp:
\(AD \cap BC = I \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a,b} \right)\), mà \(a\) và \(b\) không đồng phẳng nên không tồn tại điểm \(I\).
\(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow a\) và \(b\) đồng phẳng. (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai, do đó \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.
Trong không gian, cho 3 đường thẳng \(a,b,c\). Biết \(a{\rm{//}}b\), \(a\) và \(c\) chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng \(b\) và \(c\):
Trùng nhau hoặc chéo nhau.
Cắt nhau hoặc chéo nhau.
Chéo nhau hoặc song song.
Song song hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Giả sử \(b{\rm{//}}c\) thì ta có \(a{\rm{//}}c\) (mâu thuẫn với giả thiết).
Do đó \(b\) và \(c\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: Vì \(AD{\rm{//}}BC\), mà \(AD\) nằm trên \(\left( {SAD} \right)\), \(BC\) nằm trên \(\left( {SBC} \right)\) nên giao tuyến \(d\) của 2 mặt phẳng sẽ song song với \(AD\) và \(BC\).
Mặt khác, \(S\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) nên \(S \in d\).
Vậy \(d\) qua \(S\) và song song với \(BC\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\[IJ\] song song với \(CD\).
\[IJ\] song song với \(AB\).
\[IJ\]song song với \(BC\).
\[IJ\] song song với \(BD\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(BD\).
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD \Rightarrow MN{\rm{//}}CD\left( 1 \right)\).
Mặt khác, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD\)
\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[IJ{\rm{//}}CD\].
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\).
c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\).
Hướng dẫn giải:
a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6} + \pi } \right)\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{19}}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].
b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\left( 1 \right)\)
Đặt \[\sin x = t\], vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\). Khi đó, ta có:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\t = 2\,\,\left( {{\rm{k}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].
c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 4\sin x.\cos x + 3 = 0\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\), ta có: \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\).
Vì \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] nên \[ - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \], hay \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \).
Lại có: \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2}\]
\( \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Khi đó, phương trình\( \Leftrightarrow 3t + 4 \cdot \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \frac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right.\)
TH1: \[\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
TH2: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ; - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang đáy lớn là \(AB\). Gọi \(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\).
a) Chứng minh rằng: \(MN{\rm{//}}CD\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\). Kéo dài \(AN\) và \(DP\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng \[SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\]. Tứ giác \(SIBA\) là hình gì?
a) Vì \(M,N\) là các trung điểm của \(SA\), \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình trong tam giác \(SAB\). Do đó \(MN{\rm{//}}AB\), mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(MN{\rm{//}}CD\). (đpcm)
b)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(J\) là giao điểm của \(SO\) và \(ND\). Ta có:
Vì \(J \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(J \in \left( {SAC} \right)\).
Mà \(J \in ND\), \(ND\) nằm trên \(\left( {AND} \right)\) nên \(J \in \left( {AND} \right)\).
Từ đó suy ra được \(J\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).
Mặt khác \(A \in \left( {SAC} \right)\), \(A \in \left( {AND} \right)\), nên \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).
\( \Rightarrow AJ\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).
c) Kéo dài \(AJ\) cắt \(SC\) tại \(P\). Khi đó \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\).
Ta có \(I \in AN\) mà \(AN\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).
\(I \in DP\) mà \(DP\) nằm trên \(\left( {SCD} \right)\) nên \(I \in \left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow I\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow SI\) là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Xét 3 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến \(SI,AB\) và \(DC\) nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) hoặc \(SI,AB,CD\) đồng quy.
Mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\).
Lại có: \(SI{\rm{//}}AB\) nên theo định lí Talet, ta có:\(\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}}\).
Do \(N\) là trung điểm \(SB\) nên \(SN = NB\) hay \(\frac{{SN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}} = 1\)
\( \Rightarrow SI = AB\).
Tứ giác \(SIBA\) có \(\left\{ \begin{array}{l}SI{\rm{//}}AB\\SI = AB\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác \(SIBA\) là hình bình hành.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực và \(cn + d > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng: Nếu \(ad - bc > 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng, còn \(ad - bc < 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy giảm và khi \(ad - bc = 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi, tức là \({u_1} = {u_2} = ... = {u_n}\).
b) Tính giá trị của các số hạng trong dãy khi dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy không thay đổi.
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\), ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + b}}{{c\left( {n + 1} \right) + d}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{an + \left( {a + b} \right)}}{{cn + \left( {c + d} \right)}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)
\( = \frac{{\left[ {an + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {cn + d} \right) - \left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]\left( {an + b} \right)}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ac{n^2} + \left( {ad + ac + bc} \right)n + d\left( {a + b} \right) - \left[ {ac{n^2} + n\left( {bc + ac + ad} \right) + b\left( {c + d} \right)} \right]}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
Vì \(c,d\) là các số thực thoả mãn \(cn + d > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right] > 0\).
Do đó, ta có các trường hợp sau:
Khi \(ad - bc > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Khi \(ad - bc < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.
Khi \(ad - bc = 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} = 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy \({u_1} = {u_2} = {u_3} = ... = {u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi.
b) \(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = t\left( {t \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = ct\\b = dt\end{array} \right.\).
Khi đó \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{ct.n + dt}}{{cn + d}} = \frac{{t\left( {cn + d} \right)}}{{cn + d}} = t\) hay \({u_n} = \frac{a}{c}\).
Vậy \({u_n} = \frac{a}{c}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
