Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
38 câu hỏi
Góc có số đo \(105^\circ \) đổi ra radian là
\(\frac{7}{{12}}\) rad.
\(\frac{{7\pi }}{{12}}\) rad.
\[\frac{{2\pi }}{3}\] rad.
\(\frac{{7\pi }}{{24}}\) rad.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(180^\circ = \pi \) (rad) \( \Rightarrow 105^\circ = \frac{{105}}{{180}}\pi = \frac{{7\pi }}{{12}}\)(rad).
Biểu diễn các góc \(\alpha = \frac{\pi }{8};\) \(\beta = \frac{{9\pi }}{8};\) \(\gamma = \frac{{17\pi }}{8};\) \(\delta = - \frac{{15\pi }}{8}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc có điểm biểu diễn trùng nhau là
\(\alpha ,\gamma ,\delta \).
\(\beta ,\gamma ,\delta \).
\[\alpha ;\beta ;\delta \].
\(\beta ,\delta \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(\gamma = \alpha + 2\pi \) nên \(\alpha \) và \(\gamma \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Vì \(\alpha = \delta + 2\pi \) nên \(\alpha \) và \(\delta \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Vậy \(\alpha ,\gamma ,\delta \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Ngoài ra, \(\alpha + \pi = \beta \) nên điểm biểu diễn \(\alpha \) và điểm biểu diễn \(\beta \) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Ở hình vẽ bên, điểm \(B\) biểu diễn các góc \(\alpha ,\gamma ,\delta \) trên đường tròn lượng giác.
Điểm \(B'\) biểu diễn góc \(\beta \) trên đường tròn lượng giác.
Cho hai góc lượng giác có sđOx,Ou=π4+m2π,m∈ℤ và sđOx,Ov=−3π4+n2πn∈ℤ. Ta có hai tia \(Ou\) và \(Ov\)
Trùng nhau.
Đối nhau.
Vuông góc với nhau.
Tạo với nhau góc \(45^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: với \(k \in \mathbb{Z}\), nên \(Ou\) và \(Ov\) là hai tia đối nhau. (hình vẽ dưới đây)
Cho \(u = \sin \alpha \), \(v = \cos \alpha \). Giá trị của biểu thức \[{\rm{cos}}\left( {2\alpha } \right)\] là
\({u^2} + {v^2}\).
\({u^2} - {v^2}\).
\[2uv\].
\({v^2} - {u^2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(\cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = {v^2} - {u^2}\).
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\sin \beta + {\rm{cos}}\alpha .{\rm{cos}}\beta \).
\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .{\rm{cos}}\beta + {\rm{cos}}\alpha {\rm{.sin}}\beta \).
\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .{\rm{cos}}\beta - {\rm{cos}}\alpha .{\rm{sin}}\beta \).
\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = {\rm{cos}}\alpha .{\rm{sin}}\beta - \sin \alpha .{\rm{cos}}\beta \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .{\rm{cos}}\beta + {\rm{cos}}\alpha {\rm{.sin}}\beta \).
Rút gọn biểu thức \[S = \sqrt 3 \sin x + \cos x\], ta được:
\(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\).
\(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
\(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\[S = \sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x} \right)\]
\[ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi }{6} \cdot \cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\].
Cho \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{4}\] với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Giá trị của \(\tan \alpha \) là
15.
\(\frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).
\(\sqrt {15} \).
\(\sqrt 8 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(0 < \sin \alpha < 1\) và \(0 < \cos \alpha < 1\).
Ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) (vì \(0 < \sin \alpha < 1\)).
Do đó \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \sqrt {15} \].
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn vì tập xác định của \(y = \cos x\) là \(\mathbb{R}\) và \[\cos \left( { - x} \right) = \cos x.\]
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \sin x\) là \(\mathbb{R}\) và \[\sin \left( { - x} \right) = - \sin x.\]
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \sin x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và \[\tan \left( { - x} \right) = - \tan x\].
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \cot x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và \[\cot \left( { - x} \right) = - \cot x\].
Hàm số\(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{6};\pi } \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\), do đó hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Do \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên C là đáp án đúng.
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \tan x\) nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chu kì của hàm số \(y = {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là
\(T = \frac{\pi }{2}\).
\(T = \pi \).
\(T = 2\pi \).
\(T = 4\pi \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Chu kì hàm số \(y = {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là: \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(5\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 5 \le \sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 5 \).
Dấu của \(\sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 5 \) xảy ra khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là \(\sqrt 5 \).
Phương trình \(\sin \left( {4x} \right) = 0\) có nghiệm là
\(x = k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sin \left( {4x} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{4},k \in \mathbb{Z}\).
Nghiệm của phương trình \[\sqrt 2 \sin x - 1 = 0\] được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình dưới đây là những điểm nào?
Điểm \(A\) và điểm \(B\).
Điểm \(B\) và điểm \(F\).
Điểm \(B\) và điểm \(D\).
Điểm \(B\) và điểm \(H\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\[\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\end{array}\].
Nhận thấy điểm biểu diễn \[\frac{\pi }{4} + k2\pi \] trên đường tròn lượng giác là điểm \(B\), điểm biểu diễn \[\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \] trên lượng giác là điểm \(D\).
Do đó điểm \(B\) và điểm \(D\) là các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \[\sqrt 2 \sin x - 1 = 0\] trên đường tròn lượng giác.
Phương trình \[{\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2}} \right) = \cos \left( {135^\circ - x} \right)\] có tập nghiệm là
\(S = \left\{ {90^\circ + k360^\circ ;270^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {90^\circ + k240^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {90^\circ + k240^\circ ;270^\circ + k720^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2}} \right) = \cos \left( {135^\circ - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = 135^\circ - x + k360^\circ \\\frac{x}{2} = x - 135^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = 135^\circ + k360^\circ \\\frac{x}{2} = 135^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 90^\circ + k240^\circ \\x - = 270^\circ + k720^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \/{90^\circ + k240^\circ ;270^\circ + k720^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Phương trình \[2\cos x + 1 = 0\] có bao nhiêu nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\)?
4.
3.
2.
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].
Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên ta có:
\(0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{6}\)
\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{8\pi }}{3}} \right\}\).
\(0 \le - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{11\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{{11}}{6}\)
\( \Rightarrow k = 1\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x = \frac{{4\pi }}{3}\).
Vậy phương trình có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\).
Tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(2\sin x - \sqrt 3 = 0\) là
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\(\pi \).
\(\frac{{10\pi }}{3}\).
\(\frac{{8\pi }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(2\sin x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên ta có:
\(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{13\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\)
\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{7\pi }}{3}} \right\}\).
\(0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{11\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{11}}{{12}}\)
\( \Rightarrow k = 0\)(vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\).
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình là: \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{7\pi }}{3} = \frac{{10\pi }}{3}\).
Dãy số nào dưới đây là một dãy vô hạn?
Dãy các số tự nhiên có tận cùng là 5 nhỏ hơn 30.
Dãy các số chính phương lẻ nhỏ hơn 100.
Dãy các số tự nhiên không chia hết cho 3.
Dãy các số tự nhiên chẵn có nhỏ hơn 20.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Dãy các số tự nhiên không chia hết cho 3 xác định trên \({\mathbb{N}^*}\) nên là một dãy vô hạn.
Ngoài ra:
Dãy các số tự nhiên có tận cùng là 5 nhỏ hơn 30 là dãy số: 5; 15; 25.
Dãy các số chính phương lẻ nhỏ hơn 100 xác định trên tập 1; 9; 25; 49; 81.
Dãy các số tự nhiên chẵn có nhỏ hơn 20 xác định trên tập 2; 4; 6; 8;…; 18.
Các dãy số này đều có hữu hạn số hạng, do đó dãy số này là dãy hữu hạn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 5. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có bao nhiêu số hạng?
18.
19.
20.
21.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là: 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95 \( \Rightarrow \) có 18 số hạng.
Cách khác:
Số lượng số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \(\frac{{95 - 10}}{5} + 1 = 18\) (số hạng).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\end{array} \right.\]. Giá trị của \({u_6}\) là
21.
34.
13.
29.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{u_3} = {u_1} + {u_2} = 3\], \({u_4} = {u_3} + {u_2} = 3 + 2 = 5\), \({u_5} = 5 + 3 = 8\), \({u_6} = {u_5} + {u_4} = 8 + 5 = 13\).
Vậy giá trị của \({u_6}\) là 13.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào là dãy tăng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 1\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 2n + 3\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {n\pi } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 1\), ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 - \left( {2n + 1} \right) = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\), do đó dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 7\) và công sai \(d = 2\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
\({u_n} = 2 + 7\left( {n - 1} \right)\).
\({u_n} = 7 + 2\left( {n - 1} \right)\).
\({u_n} = 7 + 2\left( {n + 1} \right)\).
\({u_n} = 7 + 2n\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 7 + 2\left( {n - 1} \right)\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 5\) và công sai \(d = - 3\). Tính \({u_7}\).
\( - 13\).
\( - 17\).
\( - 15\).
\( - 20\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) hay \({u_n} = 5 - 3\left( {n - 1} \right)\). Khi đó \({u_7} = 5 - 3\left( {7 - 1} \right) = - 13\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\), \({u_{10}} = 30\). Công sai của cấp số cộng này là
\(d = 9\).
\(d = \frac{{10}}{3}\).
\(d = \frac{{27}}{{10}}\).
\(d = 3\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow d = \frac{{{u_{10}} - {u_1}}}{9} = \frac{{30 - 3}}{9} = 3\). Vậy \(d = 3\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 10\), \(d = 2\). Tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
\(320\).
\(390\).
\(360\).
\(300\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2.10 + 14.2} \right) = 360\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu là 1; 2; 4; 8;… Công bội của cấp số nhân là
\(q = 2\).
\(q = 5\).
\(q = 4\).
\(q = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Công bội của cấp số nhân là: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = 2\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\), \({u_2} = 10\). Công thức tổng quát của cấp số nhân là
\({u_n} = {5.2^n}\).
\({u_n} = {5.2^{n - 1}}\).
\[{u_n} = {2.5^n}\].
\[{u_n} = {2.5^{n - 1}}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Công bội của cấp số nhân là: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).
Công thức tổng quát của cấp số nhân đó là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {5.2^{n - 1}}\).
Cho cấp số nhân có \({u_1} = 3\) và \(q = 2\). Biết rằng tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 3069.Giá trị của \(n\) là
\(n = 5\).
\(n = 10\).
\[n = 11\].
\[n = 3\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^n} - 1} \right)\).
\( \Rightarrow 3\left( {{2^n} - 1} \right) = 3069 \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\). Vậy \(n = 10\).
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là \({8.10^5}\) m3. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng là \(4,5\% \) mỗi năm. Hỏi sau 10 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu m3 gỗ (làm tròn đến hàng đơn vị)?
1247263 m3.
1188876 m3.
1242376 m3.
1818867 m3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Sau năm thứ nhất, trữ lượng gỗ của cánh rừng là:
\({8.10^5} + {8.10^5}.4,5\% = {8.10^5}.1,045 = 8,{36.10^5}\)(m3)
Từ năm thứ nhất trở đi, trữ lượng gỗ (đơn vị \({m^3}\)) của cánh rừng là một cấp số nhân với \({u_1} = 8,{36.10^5}\), công bội \(q = 1 + 4,5\% = 1,045\).
Khi đó, trữ lượng gỗ sau \(n\) năm là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 8,{36.10^5}.1,{045^{n - 1}}\).
Vậy sau 10 năm, trữ lượng gỗ của khu rừng là: \({u_{10}} = 8,{36.10^5}.1,{045^9} \approx 1242376\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Qua 2 điểm phân biệt ta xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì ta xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng ta xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì ta xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
A sai vì qua 2 điểm phân biệt, ta xác định được vô số mặt phẳng qua chúng.
B sai vì qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, ta xác định được vô số mặt phẳng qua chúng.
D sai vì không có mặt phẳng nào chứa 4 điểm không đồng phẳng, hay qua 4 điểm không đồng phẳng, ta không xác định được mặt phẳng nào qua chúng.
Cho tam giác \(ABC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Qua 4 điểm \(A,B,C,G\) ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
1.
3.
6.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(A,B,C,G\) cùng nằm trên một phẳng phẳng, do đó ta xác định được 1 mặt phẳng duy nhất qua 4 điểm \(A,B,C,G\).
Cho tứ diện \(SABC\) có \(M\) là trung điểm \(BC\). Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là
Đường thẳng \(SM\).
Đường thẳng \(SA\).
Đường thẳng \(AM\).
Đường thẳng \(BC\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(S \in \left( {SAM} \right)\) và \(S \in \left( {SBC} \right)\) nên \(S\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Mặt khác: \(M \in BC\) nên \(M \in \left( {SBC} \right)\), mà \(M \in \left( {SAM} \right)\) nên \(M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Do đó \(SM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau (khi không đồng phẳng) hoặc song song với nhau (khi đồng phẳng).
Cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\). Biết \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\), \(\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\). Khi đó \({d_1}\), \({d_2}\) và \({d_3}\):
Đôi một cắt nhau.
Đôi một song song.
Đồng quy.
Đôi một song song hoặc đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến \({d_1}\), \({d_2}\) và \({d_3}\) phân biệt thì \({d_1}\), \({d_2}\) và \({d_3}\) đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\) và \(AD\). Trong các cặp đường thẳng dưới đây, cặp đường thẳng song song với nhau là
\(MN\) và \(CD\).
\(MP\) và \(NQ\).
\(MQ\) và \(AC\).
\(MQ\) và \(NP\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì \(M\) và \(Q\) là trung điểm \(AB\) và \(AD\) nên \(MQ\) là đường trung bình trong tam giác \(ABD \Rightarrow MQ{\rm{//}}BD\).
Tương tự, \(NP\) là đường trung bình trong tam giác \(BCD\) nên \(NP{\rm{//}}BD\).
Từ đó suy ra \(MQ{\rm{//}}NP\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0\];
b) \(5\sin x - \sin 2x = 0\);
c) \(2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\).
Hướng dẫn giải:
a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\2\sin x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
TH2: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{k\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
b) \[5\sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0\]
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(\frac{7}{2} \ge \frac{5}{2} - \cos x \ge \frac{3}{2} > 0\) nên:
\[2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) Đặt \(\sin x = t\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).
Phương trình đã cho tương đương với \(2{t^2} - 5t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 2\,\,\left( {{\rm{ktm, }}1 \le t \le 1} \right)\end{array} \right.\)
\(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho tứ giác \(ABCD\) trong đó không có cặp cạnh đối nào song song. Điểm \(S\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SD\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(BN\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải:
a) *Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):
Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right)\\S \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
\(O \in AC\) mà \(AC\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(O \in \left( {SAC} \right)\).
Tương tự \(O \in \left( {SBD} \right)\), do đó \(O\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Vậy \(SO\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
*Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):
Gọi \(I\) là giao điểm giữa \(AB\) và \(CD\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right)\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).
Tương tự \(I \in \left( {SCD} \right)\), do đó \(I\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Vậy \(SI\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
b) Xét mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có hai đường thẳng \(SO\) và \(BN\) cắt nhau tại \(P\). Khi đó ta có:
\(P \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\), nên \(P \in \left( {SAC} \right)\). Mà \(P \in BN\) nên \(P\) là giao điểm giữa \(BN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Tìm ba số thực phân biệt \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân, biết rằng \(x\), \(2y\) và \(3z\) cũng lập thành một cấp số cộng và \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân.
Hướng dẫn giải:
Vì \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân nên \(y = xq\), \(z = yq = x{q^2}\), \(q \ne 0\).
Vì \(x,2y,3z\) lập thành cấp số cộng nên \(2y - x = 3z - 2y \Leftrightarrow 3z - 4y + x = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x{q^2} - 4xq + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(x = 0\) thì \(y = z = 0\), điều này mâu thuẫn với đề bài là \(x\), \(y\), \(z\) phân biệt.
Khi đó \(3{q^2} - 4q + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\q = 1\end{array} \right.\).
Vì \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số thực phân biệt nên \(q \ne 1\), do đó \(q = \frac{1}{3}\), hay \(y = \frac{x}{3},z = \frac{x}{9}\).
Mặt khác, \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\frac{{y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{z + 1}}{{y + 2}} \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)^2} = \left( {\frac{x}{9} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{4x}}{3} + 4 = \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{10x}}{9} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{9} = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{27}}{2}\)
\( \Rightarrow y = - \frac{9}{2};z = - \frac{3}{2}\).
Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{27}}{2}; - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
