Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Cho góc lượng giác \(\alpha = 45^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\(\sin \alpha = \cos \alpha .\)
\(\tan \alpha = - 1.\)
\(\cot \alpha = 1.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sin \alpha = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\sin \alpha = \cos \alpha .\) Vậy đáp án A, B đúng.
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 1;\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\). Vậy đáp án D đúng, đáp án C sai.
Một cung của đường tròn bán kính \(R\) và có số đo \(\alpha \)rad thì có độ dài là
\(l = \frac{1}{2}R\alpha .\)
\(l = {R^2}\alpha .\)
\(l = R{\alpha ^2}.\)
\(l = R\alpha .\)
Đáp án đúng là: C
Một cung của đường tròn bán kính \(R\) và có số đo \(\alpha \)rad thì có độ dài là \(l = R\alpha .\)
Chọn khẳng định đúng.
\(\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x - y} \right) + \sin \left( {x + y} \right)} \right]\).
\(\sin x\cos y = - \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x - y} \right) + \sin \left( {x + y} \right)} \right]\).
\(\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x - y} \right) - \sin \left( {x + y} \right)} \right]\).
\(\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + y} \right) - \sin \left( {x - y} \right)} \right]\).
Đáp án đúng là: A
Chọn A vì đúng theo công thức biến đổi tích thành tổng.
Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
\(\sin 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\).
\(\cos 2a = \frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\).
\(\cot 2a = \frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{2\tan a}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo công thức nhân đôi, ta có \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\), từ đó suy ra \(\cot 2a = \frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{2\tan a}}\), nên đáp án C và D đúng.
Ta có: \(\frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}} = \frac{{1 - \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}a}}}}\)\( = \left( {2 - \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}} \right).{\cos ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)\( = \cos 2a\), nên đáp án B đúng. Vậy đáp án A sai.
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Các hàm số \[y = \sin x\] và \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Các hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \[\frac{\pi }{2}.\]
Đáp án đúng là: D
Các đáp án A, B, C đúng theo lý thuyết.
Các hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \[\pi .\] Vậy đáp án D sai.
Tập xác định của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) xác định khi \({\cos ^2}x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:
- Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
- Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.
Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 0\) tương đương với phương trình nào trong các phương trình dưới đây.
\({x^2} - 4 = 0\).
\(2x - 4 = 0\).
\(\frac{{3x - 6}}{{x - 2}} = 0\).
\(4x + 8 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 0\) có tập nghiệm là \({S_1} = \left\{ 2 \right\}\).
Phương trình \(2x - 4 = 0\) có tập nghiệm là \({S_2} = \left\{ 2 \right\}\).
Vì \({S_1} = {S_2}\) nên hai phương trình \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 0\) và \(2x - 4 = 0\) tương đương.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k\pi \\u = \pi - v + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k\pi \\u = - v + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết ta có \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{{2\pi }}{3}\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\[\sin x = - \frac{1}{2}\].
\[\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\tan x = \sqrt 3 \].
\[\cos x = - \frac{1}{2}\].
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) vào các phương trình đã cho, ta thấy:
\(\sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne - \frac{1}{2}\)
\(\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}\)
\(\cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(\tan \frac{{2\pi }}{3} = - \sqrt 3 \ne \sqrt 3 \)
Vậy \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) là nghiệm của phương trình \[\cos x = - \frac{1}{2}\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
5 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \( - 1;\,\frac{{ - 1}}{2};\,\frac{{ - 1}}{3};\,\frac{{ - 1}}{4};\,\frac{{ - 1}}{5}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số \(M = - 1\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số \(M = 0\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi số \(m = - 1\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n}\), do đó \({u_1} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1,{u_2} = \frac{{ - 1}}{2},{u_3} = \frac{{ - 1}}{3},{u_4} = \frac{{ - 1}}{4},{u_5} = \frac{{ - 1}}{5}\).
Vì \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số \(M = 0\).
\({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} \ge \frac{{ - 1}}{1} = - 1\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi số \(m = - 1\).
Cho dãy số có các số hạng là 8, 13, 18, 23, 28, .... Số hạng tổng quát của dãy số này là
\[{u_n} = 5n - 3\].
\[{u_n} = 5n + 2\].
\[{u_n} = 5n + 3\].
\[{u_n} = 5n - 1\].
Đáp án đúng là: C
Xét từng đáp án:
- Đáp án A ta có: \({u_1} = 5.1 - 3 = 2 \ne 8\), không thỏa mãn.
- Đáp án B ta có: \({u_1} = 5.1 + 2 = 7 \ne 8\), không thỏa mãn.
- Đáp án C ta có: \({u_1} = 5.1 + 3 = 8\), thỏa mãn.
- Đáp án D ta có: \({u_1} = 5.1 - 1 = 4 \ne 8\), không thỏa mãn.
Dãy số này dưới đây là một cấp số cộng?
1; 4; 7; 13; 16.
2; 4; 6; 8; 12.
0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.
3; 5; 7; 9; 11.
Đáp án đúng là: D
Dãy số 3; 5; 7; 9; 11 là một cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và \(d = 2.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_{13}} = 34.\)
\({u_{13}} = 45.\)
\({u_{13}} = 27.\)
\({u_{13}} = 35.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có u1=5d=2→CTTQu13=u1+13−1d=5+13−1.2=27.
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = u_n^2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {2^n}.{u_n}\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.\). Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{u_n}}}{{{u_n}}} = 3\) không đổi với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy dãy số trên là cấp số nhân.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_1} = \frac{1}{3}\] và \({u_2} = 3\). Công bội \(q\) của cấp số nhân đó là
\[2\].
\[ - 2\].
\[ - 9\].
\[9\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân nên công bội \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{\frac{1}{3}}} = 9\].
Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm | \(\left[ {50;52} \right)\) | \(\left[ {52;54} \right)\) | \(\left[ {54;56} \right)\) | \(\left[ {56;58} \right)\) | \(\left[ {58;60} \right)\) | \(\left[ {60;62} \right)\) | \(\left[ {62;68} \right)\) |
Tần số | 5 | 10 | 45 | 20 | 16 | 3 | 1 |
Mệnh đề đúng là
Giá trị 54 thuộc vào nhóm \(\left[ {52;54} \right)\).
Tần số của nhóm \(\left[ {58;60} \right)\) là 3.
Tần số của nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) là 45.
Giá trị 45 thuộc vào nhóm \(\left[ {54;56} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta có:
- Giá trị 54 không thuộc vào nhóm \(\left[ {52;54} \right)\).
- Tần số của nhóm \(\left[ {58;60} \right)\) là 16.
- Tần số của nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) là 45.
- Giá trị 45 không thuộc vào nhóm \(\left[ {54;56} \right)\).
Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của một số con gấu trúc vừa chào đời.
Cân nặng (gam) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) | \(\left[ {250;300} \right)\) | \(\left[ {350;400} \right)\) |
Tần số | 1 | 3 | 5 | 1 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
1.
3.
4.
5.
Đáp án đúng là: C
Mẫu số liệu đã cho gồm có 4 nhóm: \(\left[ {150;200} \right)\), \(\left[ {200;250} \right)\), \(\left[ {250;300} \right)\) và \(\left[ {350;400} \right)\).
Khảo sát thời gian tự học ở nhà của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian tự học ở nhà (giờ) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;\,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 30 | 7 | 3 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {1;2} \right)\).
\(\left[ {2;3} \right)\).
\(\left[ {3;4} \right)\).
\(\left[ {4;\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {2;3} \right)\).
Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu ở Câu 19 là
\(\left[ {1;2} \right)\).
\(\left[ {2;3} \right)\).
\(\left[ {3;4} \right)\).
\(\left[ {4;\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có cỡ mẫu \(n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50\).
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{50}}\) là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},\,{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {2;3} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.
Rút gọn biểu thức \(A = \sin \alpha + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \cos \alpha + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\) ta được kết quả là
\[A = 4.\]
\[A = 2.\]
\(A = 0.\)
\(A = - 1.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \) ;
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = \sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
Khi đó \(A = \sin \alpha + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \cos \alpha + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)
\( = \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha = 0\).
Nếu \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x + \cos x = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2x\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{ - 3}}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 3}}{4}\).
Thu gọn biểu thức \(P = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + \cos 2x}}\) ta được kết quả là \(a.\cos bx\), \(a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{N}\). Khi đó \(T = a - b\) có kết quả là
\(T = 0\).
\(T = 1\).
\(T = - 1\).
\[T = 3\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + \cos 2x}} = \frac{{1 + \cos x + 2{{\cos }^2}x - 1 + 4{{\cos }^3}x - 3\cos x}}{{\cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}\)
\( = \frac{{4{{\cos }^3}x + 2{{\cos }^2}x - 2\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}} = \frac{{2\cos x\left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}} = 2\cos x\).
Khi đó \(a = 2,b = 1\), vậy \(T = a - b = 2 - 1 = 1\).
Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
\[y = \tan x\].
\[y = {x^2}\tan x\].
\[y = x\sin x\].
\[y = x\cos x\].
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số \[f\left( x \right) = x\sin x\]
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\]
Với mọi\[x \in D \Rightarrow - x \in D\]
Ta có \[f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) = x\sin x = f\left( x \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = x\sin x\] là hàm số chẵn.
Tập giá trị của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + 1\] là
\[\left[ { - 1\,;1} \right]\].
\[\left[ {0\,;1} \right]\].
\[\left[ { - 1\,;0} \right]\].
\[\left[ {1\,;2} \right]\].
Đáp án đúng là: D
Vì \[0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}2x + 1 \le 2 \Rightarrow 1 \le f\left( x \right) \le 2\]
Vậy tập giá trị của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + 1\]là \[\left[ {1;2} \right]\].
Tất cả nghiệm của phương trình \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8}\) là
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{8} + k2\pi \) và \(x = - \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) và \(x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Tại các giá trị nào của \(x\) thì đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \sin x\) giao nhau?
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos x = \sin x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
\(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \cos \left( {n\pi } \right)\).
\(\left( {{b_n}} \right):1,2,3,4,5,6,7\).
\(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = n\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[2 \le {a_n} \le 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[ - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[1 \le {b_n} \le 7,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lấy số tự nhiên \[N\] bất kỳ, tồn tại \(n = N + 1\) sao cho \({v_n} = {v_{N + 1}} = N + 1 \ge N\). Suy ra dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không là dãy số bị chặn trên nên nó không bị chặn.
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = \frac{{n + a}}{n}\), \(a\) là số thực. Tìm một giá trị của \(a\) để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
\(a = \frac{1}{2}\).
\(a = 1\).
\(a = 0\).
\(a = - 1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + a}}{{n + 1}} - \frac{{n + a}}{n} = \frac{{ - a}}{{n\left( {n + 1} \right)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Nếu \(a > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Nếu \(a < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Nếu \(a = 0\) thì \({u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy số giảm cũng không là dãy số tăng.
Vậy để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng ta chọn một số \(a\) sao cho \(a < 0\).
Một cấp số cộng có \(6\) số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng đã cho.
\(d = 2.\)
\(d = 3.\)
\(d = 4.\)
\(d = 5.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 17\\{u_2} + {u_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 5d = 17\\2{u_1} + 4d = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80 000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5 000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50 m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
\(5.250.000\)đồng.
\(10.125.000\) đồng.
\(4.000.000\) đồng.
\(4.245.000\) đồng.
Đáp án đúng là: B
Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,000,\,\,d = 5\,000.\) Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là:
\({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50.49}}{2}d = 10\,.125\,.000\).
Tổng 7 số hạng đầu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_1} = 3\] và công bội \[q = \frac{1}{2}\] là
\(\frac{{381}}{{64}}\).
\[\frac{{189}}{{32}}\].
\[\frac{{63}}{{32}}\].
\[\frac{{889}}{{64}}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({S_7} = \frac{{3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^7}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{381}}{{64}}\).
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]có \[{u_4} = \frac{1}{{32}}\] và \[{u_5} = \frac{1}{{128}}.\] Khi đó, số hạng đầu \[{u_1}\] và công bội \[q\]là bao nhiêu ?
\[{u_1} = 3,q = - 5\].
\[{u_1} = - 2,q = \frac{{ - 1}}{4}\].
\[{u_1} = - 2,q = \frac{1}{2}\].
\[{u_1} = 2,q = \frac{1}{4}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_4} = {u_1}.{\rm{ }}{q^3}\)và \({u_5} = {u_1}.{\rm{ }}{q^4}\). Chia vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được
\[\frac{{{u_4}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_1}.{\rm{ }}{q^3}}}{{{u_1}.{\rm{ }}{q^4}}} = \frac{1}{q} \Leftrightarrow \frac{{128}}{{32}} = \frac{1}{q} \Rightarrow q = \frac{1}{4}.\]
Khi đó, \({u_4} = {u_1}.{\rm{ }}{q^3} \Leftrightarrow \frac{1}{{32}} = {u_1}.{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \Rightarrow {u_1} = 2.\)
Vậy cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]có số hạng đầu \({u_1} = 2\)và \[q = \frac{1}{4}.\]
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 cây mít giống như sau:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = 13,5\).
\({Q_1} = 13,9\).
\({Q_1} = 15,75\).
\({Q_1} = 13,75\).
Đáp án đúng là: D
Cỡ mẫu : \(n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do \({x_6},\,\,{x_7}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {10;20} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 10\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 4\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:
\({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.10 = 13,75\).
Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ruồi giấm cho kết quả như sau:
Tuổi thọ (ngày) | \(\left[ {40;\,42} \right)\) | \(\left[ {42;\,44} \right)\) | \(\left[ {44;\,46} \right)\) | \(\left[ {46;\,48} \right)\) | \(\left[ {48;\,50} \right)\) |
Số lượng | 5 | 12 | 23 | 31 | 29 |
Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
\(46,64\).
\(46,34\).
\(43,64\).
\(43,46\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100\).
Ta có bảng sau:
Giá trị đại diện tuổi thọ (ngày) | 41 | 43 | 45 | 47 | 49 |
Số lượng | 5 | 12 | 23 | 31 | 29 |
Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
\(\overline x = \frac{{5.41 + 12.43 + 23.45 + 31.47 + 29.49}}{{100}} = 46,34\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1 điểm) Giải các phương trình:
a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\];
b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\].
Lời giải:
a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\]
\[ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 2x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = k\frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\]
Điều kiện \[\sin x \ne 0\] và \[\cos x \ne 0\]\[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Phương trình được biến đổi \[\sin x + \cos x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = \frac{{10}}{3}\].
Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\], \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]. Thì \[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\].
Và phương trình trở thành: \[3{t^3} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}\\t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, chọn \[t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha \]
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \] hoặc \[x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\[ \Leftrightarrow x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] hoặc x=3π4−α+k2π \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình: \[x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \[x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
(1 điểm) Tìm tất cả các số thực \[x\] sao cho \[\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right),\tan \frac{\pi }{{12}},\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)\] tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự nào đó.
Lời giải:
Đặt \[a = \tan \frac{\pi }{{12}}\] và \[y = \tan x\]. Xét ba trường hợp của 3 thứ tự:
Trường hợp 1: \[\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\frac{\pi }{{12}}:\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{{1 + ay}}.\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - {y^2} = {a^2}\left( {1 - {a^2}{y^2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{a^4} - 1} \right){y^2} = 0\] . Vì \[a \ne \pm 1\] ta có \[y = 0\]
Do đó \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.
Trường hợp 2: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow a\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {\left( {\frac{{a - y}}{{1 + ay}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)y\left[ {a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a} \right] = 0\]
Ta có: \[y = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Khi \[a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a = 0\] vì \[a = \tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2 - \sqrt 3 \]
nên \[{y^2} - 2\sqrt 3 y + 3 = 0\], suy ra \[{y_1} = {y_2} = \sqrt 3 .\]
Do đó \[\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.
Trường hợp 3: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)\]
Thay \[x\] bởi \[ - x\], dựa vào kết qyả trên thì nghiệm bài toán là: \[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Vậy các số cần tìm là \[x = k\pi \] và \[x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
(1 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc đèn tích điện mới, chị Nga thống kê thời gian sử dụng đèn của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Thời gian sử dụng (giờ) | \(\left[ {7;\,9} \right)\) | \(\left[ {9;\,11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) | \(\left[ {15;17} \right)\) |
Số lần | 2 | 5 | 7 | 6 | 3 |
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin.
b) Chị Nga cho rằng có khoảng 25% số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không?
Lời giải:
a) Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê thời gian sử dụng đèn của chị Nga từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin theo giá trị đại diện như sau:
Thời gian sử dụng (giờ) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
Số lần | 2 | 5 | 7 | 6 | 3 |
Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23\).
Thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin là:
\(\overline x = \frac{{2.8 + 5.10 + 7.12 + 6.14 + 3.16}}{{23}} \approx 12,26\) (giờ).
b) Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{23}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \({x_6} \in \left[ {9;\,11} \right)\).
Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.23}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,5\).
Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.
