Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
\({\alpha _1} = 140^\circ .\)
\({\alpha _2} = 410^\circ .\)
\({\alpha _3} = 320^\circ .\)
\({\alpha _4} = 230^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một bội nguyên của \[360^\circ .\]
Mà \(410^\circ - 50^\circ = 360^\circ .\)
\(\alpha = 90^\circ .\)
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\alpha = \frac{\pi }{3} = \left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 60^\circ .\)
Chọn khẳng định đúng.
\(\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
\(\cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\).
\(\cos \left( {x + y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\).
\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
Đáp án đúng là: A
Chọn A vì đúng theo công thức cộng.
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\)nên đáp án B sai.
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \sin \frac{x}{2}.\)
\(y = \cos \frac{x}{2}.\)
\(y = - \cos \frac{x}{4}.\)
\(y = \sin \left( { - \frac{x}{2}} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta thấy:
Tại \(x = 0\) thì \(y = 0\). Do đó loại B và C.
Tại \(x = \pi \) thì \(y = - 1\). Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:
- Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
- Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.
chúng có cùng số nghiệm.
chúng có cùng tập nghiệm.
chúng cùng có nghiệm.
chúng cùng có duy nhất một nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
\(1 + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{6}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3}\].
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có nghĩa \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\].
Do \[\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\] nên
\[\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vì \[ - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\] nên \[x = \frac{\pi }{6}\].
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\].
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt \[n = 1;n = 2;n = 3\] vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Dãy số \( - \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\frac{3}{2};.....\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....\) là một cấp số cộng:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Dãy số :\[\;--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }} \ldots \;\]là cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\d = 0\end{array} \right.\).
Dãy số: \[0,1;{\rm{ }}0,01;{\rm{ }}0,001;{\rm{ }}0,0001;{\rm{ }} \ldots \]không phải là một cấp số cộng.
Đáp án đúng là: B
Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....\)không phải cấp số cộng do \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
\({u_{15}} = 34.\)
\({u_{15}} = 45.\)
\({u_{13}} = 31.\)
\({u_{10}} = 35.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có .
Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số này không phải là cấp số nhân.
Số hạng tổng quát \({u_n} = {1^n} = 1\).
Dãy số này là cấp số nhân có \({u_1} = - 1,\,q = - 1\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[1 = - 1.\left( { - 1} \right);{\rm{ }} - 1 = 1.\left( { - 1} \right)\].
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \[{u_1} = - 1;{\rm{ q = }} - {\rm{1}}\].
\[2\].
\[ - 2\].
\[ - 9\].
\[9\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân nên \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\].
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 11 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn, ta được kết quả:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {150;152} \right)\) | \(\left[ {152;154} \right)\) | \(\left[ {154;156} \right)\) | \(\left[ {156;158} \right)\) | \(\left[ {158;160} \right)\) | \(\left[ {160;162} \right)\) | \(\left[ {162;168} \right)\) |
Số học sinh | 5 | 10 | 45 | 20 | 16 | 3 | 1 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
7.
6.
5.
8.
Đáp án đúng là: A
Mẫu số liệu trên có 7 nhóm.
200.
235.
5.
35.
Đáp án đúng là: D
Độ dài của nhóm \(\left[ {200;\,235} \right)\) là 235 – 200 = 35.
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian sử dụng điện thoại (giờ) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;\,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 30 | 7 | 3 |
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Mẫu số liệu đã cho có một nhóm có số học sinh là lớn nhất nên mẫu số liệu này có 1 mốt.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu \(n\) như sau:
Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ \(p\): \(\left[ {{a_p};\,{a_{p + 1}}} \right)\), \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - {m_p}}}{{{m_1} + ... + {m_{p - 1}}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}.\]
\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}.\]
\(\sin \alpha = \frac{4}{5}.\)
\({\rm{sin}}\alpha = - \frac{4}{5}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có
\[A = - \sin 4x + \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \sin 2x + \sin 6x\].
\[A = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Đáp án đúng là: D
Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:
\[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x\]
\( = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {x + 2x} \right) - \cos \left( {x - 2x} \right)} \right)} \right]\sin 3x\)
\[ = 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x\]
\( = 2\sin 3x\cos x - 2\sin 3x\cos 3x\)
\( = 2.\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {3x + x} \right) + \sin \left( {3x - x} \right)} \right) - \sin 6x\)
\[ = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\[\frac{\pi }{2}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là hai góc nhọn \( \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\).
\(T = \left[ { - 1;1} \right].\)
\(T = \left[ { - 3;3} \right].\)
\(T = \left[ {2;8} \right].\)
\(T = \left[ {5;8} \right].\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3\)
\( \Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + 2k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 1\end{array} \right.\].
\[m \ge - 1\]
\[m \ge 1\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: A
Dễ thấy với \(m = 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne 0\), ta có: \(m.\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{m}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow \)\[\left| {\frac{1}{m}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện \(m \ne 0\)).
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
Vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[3\cot x - \sqrt 3 = 0\] có nghĩa \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Ta có \[3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
\(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {3^n}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {n\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( {{b_n}} \right):2,4,6,8,10\).
\(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[0 \le {v_n} \le \frac{1}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[ - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[2 \le {b_n} \le 10,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lấy số tự nhiên \[N\] bất kỳ, tồn tại \(n = N + 1\) sao cho \({a_n} = {a_{N + 1}} = {3^{N + 1}} \ge N\). Suy ra dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\] không là dãy số bị chặn trên.
\({a_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({b_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).
\({c_n} = - \frac{1}{2}n + \frac{3}{2}\).
\({d_n} = \frac{1}{8}{n^2} - \frac{7}{8}n + \frac{7}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({a_1} = \frac{1}{2}\). Loại A.
\({c_3} = 0\). Loại C.
\({d_4} = \frac{1}{4}\). Loại D.
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)\].
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}n - 1\].
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\].
\[{u_n} = n\left( { - 3 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} \right)} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Sử dụng công thức SHTQ \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 2} \right).\]
Ta có: \[{u_n} = - 3 + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2}\].
\(1635.\)
\(1792\).
\(2055\).
\(3125\).
Đáp án đúng là: C
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai \(d = 3\) và \({u_1} = 25.\)
Tổng số ghế là \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055\).
\(n = 9\).
\(n = 10\).
\(n = 11\).
\(n = 12\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1533 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = - 3 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}}\)\( = - 3\left( {{2^n} - 1} \right)\)
\( \Rightarrow {2^n} = 512 = {2^9} \Leftrightarrow n = 9\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 2\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 5\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 9.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}.\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} - 1} \right)\left( {q + 1} \right)}}{{\left( {q - 1} \right)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
Tìm hiểu thời gian chạy cự li 1000 m (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_o} = 131,02\).
\({M_o} = 130,23\).
\({M_o} = 129,02\).
\({M_o} = 132,04\).
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {129;131} \right)\).
Ta có:
\(j = 3\), \({a_3} = 129\), \({m_3} = 15\), \({m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10\), \(h = 2\). Do đó:
\({M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.2 \approx 130,23\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gram) của \(30\) củ khoai từ như sau:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = 85,5\).
\({Q_1} = 87,5\).
\({Q_1} = 86,5\).
\({Q_1} = 86,75\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:
\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\).
b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\).
Lời giải:
a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\)
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,\) khi đó phương trình trở thành \(1 = 6\) (vô nghiệm).
TH2: \(\cos x \ne 0.\) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), ta được:
\({\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0\)
\( \Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos x} \right) - \sin 2x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sin 2x\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow - \sin 2x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
(1 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \(h\left( t \right) = 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)\)với \(h\) tính bằng độ \({\rm{C}}\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \({\rm{C}}\) và vào lúc mấy giờ?
Lời giải
\({\rm{V\`i \;}} - 1 \le {\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1{\rm{\;n\^e n\; }}29 + 3.\left( { - 1} \right) \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 29 + 3.1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 32\\ \Leftrightarrow 26 \le h\left( t \right) \le 32\end{array}\)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(26^\circ {\rm{C}}\) khi:
Vì vậy vào thời điểm \(3\) giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là \(26^\circ {\rm{C}}\).
(1 điểm)Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị \({m_1},\,{m_2},\,{m_3}\) của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3\).
Lời giải:
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: \( - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3\) là nghiệm của phương trình.
Suy ra \({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow \) \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)
Với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15\).
Do vậy, với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình
\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\).
Ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng.
Vậy \(m = - 1,m = 2,m = 3\) là các giá trị cần tìm.
Do đó \({\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\).
