Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Cho góc lượng giác \(\left( {Oa,Ob} \right)\) có số đo là \(50^\circ .\) Hỏi số đo của góc lượng giác nào trong bốn đáp án A, B, C, D bên dưới cũng có tia đầu là \(Oa\) và tia cuối là \(Ob?\)
\({\alpha _1} = 140^\circ .\)
\({\alpha _2} = 410^\circ .\)
\({\alpha _3} = 320^\circ .\)
\({\alpha _4} = 230^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một bội nguyên của \[360^\circ .\]
Mà \(410^\circ - 50^\circ = 360^\circ .\)
Đổi số đo của góc \(\alpha = \frac{\pi }{3}\) sang độ.
\(\alpha = 90^\circ .\)
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\alpha = \frac{\pi }{3} = \left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 60^\circ .\)
Chọn khẳng định đúng.
\(\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
\(\cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\).
\(\cos \left( {x + y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\).
\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
Đáp án đúng là: A
Chọn A vì đúng theo công thức cộng.
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\)nên đáp án B sai.
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \sin \frac{x}{2}.\)
\(y = \cos \frac{x}{2}.\)
\(y = - \cos \frac{x}{4}.\)
\(y = \sin \left( { - \frac{x}{2}} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta thấy:
Tại \(x = 0\) thì \(y = 0\). Do đó loại B và C.
Tại \(x = \pi \) thì \(y = - 1\). Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:
- Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
- Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
- Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.
Hai phương trình được gọi là tương đương khi
chúng có cùng số nghiệm.
chúng có cùng tập nghiệm.
chúng cùng có nghiệm.
chúng cùng có duy nhất một nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nghiệm của phương trình: \(1 + \tan x = 0\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
\(1 + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có nghiệm thỏa mãn \[\frac{{ - \pi }}{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\] là
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{6}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3}\].
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có nghĩa \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\].
Do \[\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\] nên
\[\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vì \[ - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\] nên \[x = \frac{\pi }{6}\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (\(a\) là hằng số), \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào sau đây?
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\].
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt \[n = 1;n = 2;n = 3\] vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Dãy số \( - \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\frac{3}{2};.....\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....\) là một cấp số cộng:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Dãy số :\[\;--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }}--{\rm{ }}2;{\rm{ }} \ldots \;\]là cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\d = 0\end{array} \right.\).
Dãy số: \[0,1;{\rm{ }}0,01;{\rm{ }}0,001;{\rm{ }}0,0001;{\rm{ }} \ldots \]không phải là một cấp số cộng.
Đáp án đúng là: B
Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....\)không phải cấp số cộng do \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_{15}} = 34.\)
\({u_{15}} = 45.\)
\({u_{13}} = 31.\)
\({u_{10}} = 35.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có un+1=a.n+12n+1+1=an+12n+2.
Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số này không phải là cấp số nhân.
Số hạng tổng quát \({u_n} = {1^n} = 1\).
Dãy số này là cấp số nhân có \({u_1} = - 1,\,q = - 1\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[1 = - 1.\left( { - 1} \right);{\rm{ }} - 1 = 1.\left( { - 1} \right)\].
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \[{u_1} = - 1;{\rm{ q = }} - {\rm{1}}\].
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_1} = 3\] và \({u_2} = - 6\). Công bội \(q\) của cấp số nhân đó là
\[2\].
\[ - 2\].
\[ - 9\].
\[9\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân nên \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\].
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 11 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn, ta được kết quả:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {150;152} \right)\) | \(\left[ {152;154} \right)\) | \(\left[ {154;156} \right)\) | \(\left[ {156;158} \right)\) | \(\left[ {158;160} \right)\) | \(\left[ {160;162} \right)\) | \(\left[ {162;168} \right)\) |
Số học sinh | 5 | 10 | 45 | 20 | 16 | 3 | 1 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
7.
6.
5.
8.
Đáp án đúng là: A
Mẫu số liệu trên có 7 nhóm.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm trong đó có một nhóm là \(\left[ {200;\,235} \right)\). Độ dài của nhóm này là
200.
235.
5.
35.
Đáp án đúng là: D
Độ dài của nhóm \(\left[ {200;\,235} \right)\) là 235 – 200 = 35.
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian sử dụng điện thoại (giờ) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;\,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 30 | 7 | 3 |
Mẫu số liệu này có số mốt là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Mẫu số liệu đã cho có một nhóm có số học sinh là lớn nhất nên mẫu số liệu này có 1 mốt.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu \(n\) như sau:
Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ \(p\): \(\left[ {{a_p};\,{a_{p + 1}}} \right)\), \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - {m_p}}}{{{m_1} + ... + {m_{p - 1}}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa \({\rm{cot}}\alpha = \frac{3}{4}\) và \(0^\circ < \alpha < 90^\circ .\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}.\]
\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}.\]
\(\sin \alpha = \frac{4}{5}.\)
\({\rm{sin}}\alpha = - \frac{4}{5}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có 1sin2α=1+cot2α=1+342=25160°<α<90°⇒sinα>0→sinα=45.
Biến đổi biểu thức \[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x\] thành tổng.
\[A = - \sin 4x + \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \sin 2x + \sin 6x\].
\[A = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Đáp án đúng là: D
Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:
\[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x\]
\( = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {x + 2x} \right) - \cos \left( {x - 2x} \right)} \right)} \right]\sin 3x\)
\[ = 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x\]
\( = 2\sin 3x\cos x - 2\sin 3x\cos 3x\)
\( = 2.\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {3x + x} \right) + \sin \left( {3x - x} \right)} \right) - \sin 6x\)
\[ = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Cho \(\alpha ,\,\,\beta \) là hai góc nhọn thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\), \(\tan \beta = \frac{3}{4}\). Góc \(\alpha + \,\beta \) có giá trị bằng
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\[\frac{\pi }{2}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là hai góc nhọn \( \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\).
Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \[y = 5 - 3\sin x.\]
\(T = \left[ { - 1;1} \right].\)
\(T = \left[ { - 3;3} \right].\)
\(T = \left[ {2;8} \right].\)
\(T = \left[ {5;8} \right].\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3\)
\( \Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)}}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + 2k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Phương trình \(m.\cos x - 1 = 0\) có nghiệm khi \(m\) thỏa mãn điều kiện
\[\left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 1\end{array} \right.\].
\[m \ge - 1\]
\[m \ge 1\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: A
Dễ thấy với \(m = 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne 0\), ta có: \(m.\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{m}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow \)\[\left| {\frac{1}{m}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện \(m \ne 0\)).
Phương trình \[3\cot x - \sqrt 3 = 0\] có nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \],\[k \in \mathbb{Z}\].
Vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[3\cot x - \sqrt 3 = 0\] có nghĩa \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Ta có \[3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
\(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {3^n}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {n\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( {{b_n}} \right):2,4,6,8,10\).
\(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[0 \le {v_n} \le \frac{1}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[ - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
\[2 \le {b_n} \le 10,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lấy số tự nhiên \[N\] bất kỳ, tồn tại \(n = N + 1\) sao cho \({a_n} = {a_{N + 1}} = {3^{N + 1}} \ge N\). Suy ra dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\] không là dãy số bị chặn trên.
Xét dãy số :\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{{16}}...\). Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
\({a_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({b_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).
\({c_n} = - \frac{1}{2}n + \frac{3}{2}\).
\({d_n} = \frac{1}{8}{n^2} - \frac{7}{8}n + \frac{7}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({a_1} = \frac{1}{2}\). Loại A.
\({c_3} = 0\). Loại C.
\({d_4} = \frac{1}{4}\). Loại D.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có: \[{u_1} = - 3;d = \frac{1}{2}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)\].
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}n - 1\].
\[{u_n} = - 3 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\].
\[{u_n} = n\left( { - 3 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} \right)} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Sử dụng công thức SHTQ \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 2} \right).\]
Ta có: \[{u_n} = - 3 + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2}\].
Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
\(1635.\)
\(1792\).
\(2055\).
\(3125\).
Đáp án đúng là: C
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai \(d = 3\) và \({u_1} = 25.\)
Tổng số ghế là \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) yà \(q = 2\). Tống \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng \( - 1533\). Tìm \(n.\)
\(n = 9\).
\(n = 10\).
\(n = 11\).
\(n = 12\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1533 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = - 3 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}}\)\( = - 3\left( {{2^n} - 1} \right)\)
\( \Rightarrow {2^n} = 512 = {2^9} \Leftrightarrow n = 9\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 2\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 5\).
\({u_1} = 1,{u_1} = 9.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}.\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} - 1} \right)\left( {q + 1} \right)}}{{\left( {q - 1} \right)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
Tìm hiểu thời gian chạy cự li 1000 m (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_o} = 131,02\).
\({M_o} = 130,23\).
\({M_o} = 129,02\).
\({M_o} = 132,04\).
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {129;131} \right)\).
Ta có:
\(j = 3\), \({a_3} = 129\), \({m_3} = 15\), \({m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10\), \(h = 2\). Do đó:
\({M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.2 \approx 130,23\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gram) của \(30\) củ khoai từ như sau:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = 85,5\).
\({Q_1} = 87,5\).
\({Q_1} = 86,5\).
\({Q_1} = 86,75\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:
\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
(1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\).
b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\).
Lời giải:
a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\)
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,\) khi đó phương trình trở thành \(1 = 6\) (vô nghiệm).
TH2: \(\cos x \ne 0.\) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), ta được:
\({\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0\)
\( \Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos x} \right) - \sin 2x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sin 2x\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow - \sin 2x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
(1 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \(h\left( t \right) = 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)\)với \(h\) tính bằng độ \({\rm{C}}\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \({\rm{C}}\) và vào lúc mấy giờ?
Lời giải
\({\rm{V\`i \;}} - 1 \le {\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1{\rm{\;n\^e n\; }}29 + 3.\left( { - 1} \right) \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 29 + 3.1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 32\\ \Leftrightarrow 26 \le h\left( t \right) \le 32\end{array}\)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(26^\circ {\rm{C}}\) khi:
29+3sinπ12t−9=26⇔sinπ12t−9=−1 ⇔sinπ12t−9=sin−π2 ⇔π12t−9=−π2+k2π,k∈ℤ ⇔t=3+24k,k∈ℤ
Vì vậy vào thời điểm \(3\) giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là \(26^\circ {\rm{C}}\).
(1 điểm)Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị \({m_1},\,{m_2},\,{m_3}\) của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3\).
Lời giải:
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: \( - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3\) là nghiệm của phương trình.
Suy ra \({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow \) \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)
Với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15\).
Do vậy, với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình
\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\).
Ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng.
Vậy \(m = - 1,m = 2,m = 3\) là các giá trị cần tìm.
Do đó \({\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\).
