Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
33 câu hỏi
Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm \(O\) có bán kính bằng
1.
2.
3.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Theo định nghĩa, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm \(O\) có bán kính bằng 1.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Chỉ có một cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\).
Đúng hai cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\).
Đúng bốn cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\).
Vô số cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm \(A,B\). Một điểm \(M\) di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ \(A\) đến \(B\) tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\). Do đó có vô số cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\).
Có bao nhiêu điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác với gốc \(A\) thoả mãn?
3.
12.
4.
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Cung tròn \(x = \alpha + \frac{{k2\pi }}{n},n \in {\mathbb{N}^*}\) thì được biểu diễn bởi \(n\) điểm trên đường tròn lượng giác, nên đối với điểm \(M\) có \(\frac{{2\pi }}{n} = \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow n = 6\), hay có 6 điểm biểu diễn điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác (như hình vẽ dưới đây).
Với \(a,b\) là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây là sai?
\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(2\cos a\cos b = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đẳng thức đúng là: \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Với góc \(a\) bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a + 1\).
\(\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = 2{\sin ^2}a - 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\). Giá trị của \(\cos 2\alpha \) là
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
\( - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
\( - \frac{1}{8}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}\).
Cho \[\tan \alpha = 2\]. Giá trị của \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
1.
\( - \frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{2 + 1.1}} = \frac{1}{3}\].
Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\) là
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left[ {0;1} \right]\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\) là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số tuần hoàn?
\(y = \cos x\).
\(y = \frac{x}{{x + 1}}\).
\(y = {x^2} + 1\).
\(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm tuần hoàn, có chu kì là \(T = 2\pi \).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(\frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\) có nghĩa khi \(\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng?
\(y = \sqrt {\sin x} \).
\(y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}\).
\(y = {\sin ^2}x\).
\(y = \frac{{\tan x}}{{\sin x}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số \(y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}\) có tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\), đây là 1 tập đối xứng.
Mặt khác, \(f\left( x \right) = \frac{{\cot x}}{{\cos x}} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \frac{{\cot \left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \cot x}}{{\cos x}} = - f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right)\) là một hàm lẻ, hay \(y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}\) có đồ thị nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.
Nghiệm của phương trình \(2\sin x = \sqrt 3 \) là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(2\sin x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho phương trình \[\cos x = m\]. Điều kiện của \(m\) để phương trình vô nghiệm là
\(m \le - 1\).
\(m \ge 1\).
\( - 1 \le m \le 1\).
\(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì \[\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\] nên phương trình \[\cos x = m\] vô nghiệm khi và chỉ khi \[m \notin \left[ { - 1;1} \right]\], hay \(m > 1\) hoặc \(m < - 1\).
Phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) có nghiệm thoả mãn \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\) là
\(x = \frac{{5\pi }}{6}\).
\(x = \frac{\pi }{6}\).
\(x = - \frac{\pi }{6}\).
\(x = \frac{\pi }{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{6}\).
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_{n - 1}}\end{array} \right.\). Giá trị của \({u_5}\) là
\({u_5} = 34\).
\({u_5} = 18\).
\({u_5} = 30\).
\({u_5} = 24\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_3} = 2{u_2} + {u_1} = 2.2 + 2 = 6\\{u_4} = 2{u_3} + {u_2} = 2.6 + 2 = 14\\{u_5} = 2{u_4} + {u_3} = 2.14 + 6 = 34\end{array}\)
Vậy \({u_5} = 34\).
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_n} - {u_{n + 1}} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(1 < \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 2\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0\).
Đối với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n} > 0 \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\).
Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là 1; 4; 9; 16; 25;… Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên?
\({u_n} = 3n - 2\).
\({u_n} = n + 3\).
\({u_n} = {n^2}\).
\({u_n} = 2{n^2} - 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy dãy số là dãy các số chính phương, hay số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {n^2}\).
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left( {{u_n}} \right):1;\,\,3;\,\,6;\,\,10;\,\,15;...\).
\(\left( {{u_n}} \right)\): \( - 1;\,\,1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1;...\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Với dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \ge 1\end{array} \right.\), ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 1,d = 2\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 9\) và công sai \(d = 2\). Giá trị của \({u_5}\) là
15.
17.
20.
12.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 9 + 2\left( {n - 1} \right)\)
\( \Rightarrow {u_5} = 9 + 2.\left( {5 - 1} \right) = 17\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = a\) và công sai \(d\). Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là
\({S_{20}} = 20\left( {2{u_1} + 19d} \right)\).
\({S_{20}} = 20a + 190d\).
\({S_{20}} = 2a + 19d\).
\({S_{20}} = 20a + 200d\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {2a + 19d} \right) = 20a + 190d\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\(1;\,\,0,2;\,\,0,04;\,\,0,008;...\).
2; 22; 222; 2222;….
\(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;...\).
\(1;\,\,5;\,\,6;\,\,12;...\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{0,2}}{1} = \frac{{0,04}}{{0,2}} = \frac{{0,008}}{{0,04}} = ... = 0,2\) nên dãy số này là cấp số nhân.
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và \(q = \frac{1}{2}\). Tổng 8 số hạng đầu tiên của dãy số là
\(\frac{{127}}{{32}}\).
\(\frac{{511}}{{128}}\).
\(\frac{{255}}{{64}}\).
\(\frac{{253}}{{64}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^8}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{255}}{{64}}\).
Xác định \(x\) để 3 số \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
\(x = \pm \frac{1}{3}\).
\(x = \pm \sqrt 3 \).
\(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Không có giá trị nào.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ba số \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì \(\frac{{2x + 1}}{x} = \frac{x}{{2x - 1}}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\).
Vậy \(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) thoả mãn đề bài.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Mặt bàn là mặt phẳng trong hình học không gian.
Mặt bàn là một phần mặt phẳng trong hình học không gian.
Mặt bàn là một hình ảnh của mặt phẳng trong hình học không gian.
Mặt bàn là hình ảnh của một phần mặt phẳng trong hình học không gian.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Mặt bàn là hình ảnh của một phần mặt phẳng trong hình học không gian.
Chọn câu đúng. Trong hình học không gian, ta có:
Hình biểu diễn của một hình tròn phải là một hình tròn.
Hình biểu diễn của một hình chữ nhật phải là một hình chữ nhật.
Hình biểu diễn của một hình tam giác phải là một hình tam giác.
Hình biểu diễn của một góc phải là một góc bằng nó.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Trong hình học không gian, hình biểu diễn của một hình tam giác phải là một hình tam giác.
Cho \(ABCD\) và \(AMCN\) là hai hình bình hành có chung đường chéo \(AC\). Khi đó có thể kết luận gì về bốn điểm \(B,M,D,N\)?
\(B,M,D,N\) tạo thành một tứ diện.
\(B,M,D,N\) tạo thành một tứ giác.
\(B,M,D,N\) tạo thành một đường thẳng.
Không có kết luận gì.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\). Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), hay \(O\) là trung điểm \(BD\) (1).
Tương tự, \(O\) là trung điểm \(MN\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(O\) nằm trên mặt phẳng chứa 2 đường thẳng \(MD\) và \(BN\), suy ra \(B,M,D,N\) tạo thành một tứ giác.
Hình chóp \(n\) giác thì có
\(n + 1\) mặt.
\(2n\) cạnh.
\(n + 1\) đỉnh.
Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đa giác đáy có \(n\) đỉnh, và 1 đỉnh của hình chóp nên có \(n + 1\) đỉnh tất cả.
Đa giác đáy có \(n\) cạnh, cứ 2 đỉnh của 1 cạnh kết hợp với đỉnh hình chóp tạo thành 1 mặt phẳng, do đó sẽ có \(n\) mặt bên \( \Rightarrow \) có tất cả \(n + 1\) mặt.
Đa giác đáy có \(n\) đỉnh, cứ mỗi đỉnh của đa giác đáy tạo với đỉnh hình chóp 1 cạnh bên\( \Rightarrow \) có \(n\) cạnh bên\( \Rightarrow \) có \(2n\) cạnh.
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng
Không có điểm chung.
Không đồng phẳng.
Nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung.
Nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau tại ít nhất 2 điểm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng.
Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
Đồng quy.
Tạo thành tam giác.
Trùng nhau.
Không tồn tại 3 đường thẳng như này.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Nếu ba giao điểm đó tạo thành một tam giác thì ba đường thẳng này cùng nằm mặt phẳng chứa tam giác này. Điều này là mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó ba giao điểm này phải trùng nhau, do đó 3 đường thẳng đồng quy.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) là trung điểm \(SB,SD\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?
\(MNDB\) là một tứ giác.
\(NMBO\) là một tứ giác.
\(AOMN\) là một tứ diện.
\(COMN\) là một tứ giác.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Tam giác \(SBD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SB,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình tam giác \(SBD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\), khi đó \(MN,BD\) cùng nằm trên một mặt phẳng (mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\))\( \Rightarrow NMBO\) là một tứ giác, \(MNDB\) là tứ giác.
Vì \(M \notin \left( {ABCD} \right)\) và \(N \notin \left( {ABCD} \right)\) nên \(MN\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow MN\) và \(AC\) chéo nhau \( \Rightarrow \)\(AOMN\) là một tứ diện, \(COMN\) là một tứ diện.
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \({\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0\); b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\);
c) \(\tan x + \cot x = 2\).
Hướng dẫn giải:
a) \({\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0\) (1)
Đặt \(\sin 3x = t\), vì \( - 1 \le \sin 3x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).
Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) \(\tan x + \cot x = 2\)(2)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 \Rightarrow {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (t/m điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD\), điểm \(P \in SC\) và không là trung điểm của \(SC\).
a) Tìm giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
b) Tìm giao điểm \(Q\) của \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
c) Gọi \(F,G,H\) lần lượt là giao điểm của \(QM\) và \(AB\), \(QP\) và \(AC\), \(QN\) và \(AD\).
Chứng minh ba điểm \(F,G,H\) thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
a) Vì \(MN,SO\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), nên gọi \(I\) là giao điểm giữa \(MN\) và \(SO\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
b) Vì \(IP,SA\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), nên gọi \(Q\) là giao điểm giữa \(IP\) và \(SA\) thì \(Q\) là giao điểm \(Q\) của \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
c) Vì \(F\) là giao điểm giữa \(QM\) và \(AB\) nên \(F\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (1).
Tương tự, \(G\) là giao điểm giữa \(QP\) và \(AC\) nên \(G\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (2).
\(H\) là giao điểm giữa \(QN\) và \(AD\) nên \(H\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (3).
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right) \Rightarrow F,G,H\) nằm trên giao tuyến giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) hay \(F,G,H\) thẳng hàng. (đpcm)
Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Khi \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng, ta có:
\[2\tan \frac{B}{2} = \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{B}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]}}\]
\( \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left( {\sin \frac{B}{2} + \cos \frac{{A - C}}{2}} \right) = {\cos ^2}\frac{B}{2}\]
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{{A - C}}{2} = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{B + A - C}}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{B - A + C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2} - {\sin ^2}\frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {90^\circ - C} \right) + \sin \left( {90^\circ - A} \right)} \right] = \cos B\)
\( \Leftrightarrow \cos C + \cos A = 2\cos B \Rightarrow \)\(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.
