Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 9

Chọn B

Gọi \[E\] là trung điểm của \(AD\). Ta có \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG\,{\rm{//}}\,CE\).

Mặt khác \(CE \subset \left( {ACD} \right)\). Do đó \(MG\,{\rm{//}}\,\left( {ACD} \right)\).

Chọn A

Ta có \[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos \frac{{5x + 3x}}{2}\sin \frac{{5x - 3x}}{2} = 2\cos 4x\sin x\].

Chọn B

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sd\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Chọn C

Ta có \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] thì \[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].

Chọn C

Gọi \(I = MN \cap AD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\\I \in AD\end{array} \right\} \Rightarrow AD \cap \left( {MNP} \right) = I\).

Do đó giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng \(MN\).

Chọn A

Công thức \[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\] sai vì \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].

Chọn A

Ta có: $\begin{array}{l}\text{sđ}\left(Ox,Ov\right)=\text{sđ}\left(Ox,Ou\right)+\text{sđ}\left(Ou,Ov\right)+k360°\\ =-225°+315°+k360°\\ =90°+k360°,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

Chọn A

Ta có \(\frac{{\cos \alpha  + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha  - \cos 2\alpha }} = \frac{{\cos \alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}} = \cot \alpha \).

Do đó \(x = 0\,;\,y =  - 1 \Rightarrow x - y =  - 1\).

Chọn A

Điều kiện xác định của hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,,\,k \in \mathbb{Z}\).

Do đó tập xác định của hàm số \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin x\) ta thấy trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] các giá trị của \(x\) để \(\sin x = 0\) là:

\(x =  - 2\pi \,;\,x =  - \pi \,;\,x = 0\,;\,x = \pi \,;\,x = 2\pi \).

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C

Ta có:

+ Khẳng định (1) sai vì thiếu giả thiết 3 điểm không thẳng hàng.

+ Khẳng định (2) đúng theo các xác định một mặt phẳng.

+ Khẳng định (3) đúng theo tính chất thừa nhận.

Chọn A

Từ \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\) thay \(n = 3\) ta có \({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.2 = 7\).

Chọn B

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm \(BC,BD\). Ta có:

\(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,EF\).

Mặt khác \(EF\,{\rm{//}}\,CD\) (theo tính chất đường trung bình).

Do đó \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).

Chọn D

 Ta có \(430^\circ  = 360^\circ  + 70^\circ \). Do đó điểm biểu diễn góc \(430^\circ \) trùng với điểm biểu diễn góc \(70^\circ \). Suy ra điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ \(\left( I \right)\).

Chọn D

+ Các hàm số \(y = \sin 3x,\,\,y = \cot 3x,\,\,y = \tan 3x\) là hàm số lẻ.

+ Hàm số \(y = \cos 3x\) là hàm số chẵn.

Chọn D

Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) sai vì \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn A

Do \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2x\) là \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\).

Chọn C

Ta có \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\).

Để tìm số điểm biểu diễn của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trên đường tròn lượng giác, ta đi tìm số nghiệm của của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trong nửa khoảng \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right)\).

Ta có \(0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2} < 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{5}{6} \le k < \frac{{19}}{6}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\).

Vậy số điểm biểu diễn của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trên đường tròn lượng giác là 4.

Chọn A

Dựa vào hình biểu diễn ta có \({\rm{s\~n }}\left( {OM\,,\,ON} \right) =  - 135^\circ \).

Chọn A

Ta có \(x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0\,;\,4\pi } \right]\).

Dựa trên đường tròn lượng giác, ta thấy số nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là 4.

Chọn C

Ta có \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).

Chọn C

Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI\).

Chọn D

+ \({u_n} = 3 - n\) bị chặn trên bởi 3 và không bị chặn dưới.

+ \({u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{n} = n + \frac{2}{n}\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.

+ \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\) không bị chặn dưới và không bị chặn trên.

+ \({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{5\left( {n + 1} \right) - 6}}{{n + 1}} = 5 - \frac{6}{{n + 1}} < 5\) nên bị chặn trên bởi 5.

Do \(n \ge 1 \Rightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow \frac{6}{{n + 1}} \le 3 \Rightarrow  - \frac{6}{{n + 1}} \ge  - 3 \Rightarrow 5 - \frac{6}{{n + 1}} \ge 2\), dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Vậy \({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}}\) bị chặn.

Chọn A

Ta có \({u_n} = \frac{1}{n} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} + 2\).

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\,,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm                           .

Chọn B

Ta có \(\cos x - 1 = m \Leftrightarrow \cos x = m + 1\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 0\).

Chọn A

Ta có \(\sin a.\sin b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] =  - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{12}}\).

Chọn C

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = Mx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Gọi \(N = Mx \cap SA\). Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) là tứ giác \(MNDC\).

Mặt khác do \(Mx\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,CD\). Do đó \(MNDC\) là hình thang.

Chọn A

Ta có \({u_5} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\).

Chọn B

Ta có \(\tan x =  - 1 \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn D

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \tan x\) là \(\pi \).

Chọn B

Ta có \(\cos \left( {2025\pi  + \alpha } \right) = \cos \left( {\alpha  + \pi  + 2024\pi } \right) = \cos \left( {\alpha  + \pi } \right) =  - \cos \alpha \).

Chọn D

Ta có \(AC\) và \(BD\) chéo nhau.

Chọn D

Hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có 5 mặt là \(\left( {SAB} \right)\,,\,\left( {SBC} \right)\,,\,\left( {SCD} \right)\,,\,\left( {SDA} \right)\,,\,\left( {ABCD} \right)\).

Chọn A

Ta có:

\( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - \sin x - \cos x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

a) Ta có

 \(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(CN \cap AB \equiv E\)

\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME\)

Hay \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)\)

b) Ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\)

c) Ta có trong \(\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L\)\( \Rightarrow L\) là trung điểm của \(AP\)

Trong \(\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K\)

\( \Rightarrow K\)là trọng tâm tam giác \(SAP\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\tan \widehat {BCN} = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{25}}{8}\)

\(\tan \widehat {ACN} = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{25}}{{26}}\)

\(\widehat {BCA} = \widehat {BCN} - \widehat {ACM} \Rightarrow \tan \widehat {BCA} = \frac{{\tan \widehat {BCN} - \tan \widehat {ACM}}}{{1 + \tan \widehat {BCN}.\tan \widehat {ACM}}} = \frac{{\frac{{25}}{8} - \frac{{25}}{{26}}}}{{1 + \frac{{25}}{8}.\frac{{25}}{{26}}}} = \frac{{450}}{{833}}\)

\( \Rightarrow \widehat {BCA} \approx 28,4^\circ \)