Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 9
38 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7 điểm)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\)sao cho \(MB = 2MC\). Khi đó đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {ABC} \right).\)
\(\left( {ACD} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
\(\left( {ABD} \right).\)
Chọn B
![Gọi \[E\] là trung điểm của \(AD\). Ta (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/1-1764212651.png)
Gọi \[E\] là trung điểm của \(AD\). Ta có \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG\,{\rm{//}}\,CE\).
Mặt khác \(CE \subset \left( {ACD} \right)\). Do đó \(MG\,{\rm{//}}\,\left( {ACD} \right)\).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin x\) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right).\)
Cho\[A = \sin 5x - \sin 3x\]. Phép biến đổi tổng thành tích nào sau đây là đúng?
\[A = 2\cos 4x.\sin x\].
\[A = 2\cos 2x.\sin 8x\]
\[A = 2\sin 4x.\cos x\].
\[A = 2\cos 4x.\cos x\].
Chọn A
Ta có \[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos \frac{{5x + 3x}}{2}\sin \frac{{5x - 3x}}{2} = 2\cos 4x\sin x\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình thang cạnh đáy \(AB{\rm{//}}CD\). Gọi \(d\)là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AD\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Chọn B
![Chọn A Ta có \[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos \frac{{5x + 3x}}{2}\sin \frac{{5x - 3x}}{2} = 2\cos 4x\sin x\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/2-1764212775.png)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sd\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Cho \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Kết quả đúng là
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
Chọn C
Ta có \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] thì \[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) là điểm trên đoạn \(SD\) sao cho \(SN = \frac{3}{4}SD\)(minh hoạ hình dưới). Giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng nào sau đây?![Chọn C Ta có \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] thì \[\sin a > 0\], \[cosa < 0\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/3-1764212832.png)
\(BN\).
\(BM\).
\(MN\).
\(SD\).
Chọn C
![Chọn C Ta có \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] thì \[\sin a > 0\], \[cosa < 0\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/4-1764212856.png)
Gọi \(I = MN \cap AD\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\\I \in AD\end{array} \right\} \Rightarrow AD \cap \left( {MNP} \right) = I\).
Do đó giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng \(MN\).
Công thức nào sau đây sai?
\[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\]
\[\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Chọn A
Công thức \[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\] sai vì \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].
Cho một góc lượng giác \(\left( {Ox,Ou} \right)\) có số đo \( - 225^\circ \) và một góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \(315^\circ .\) Tính số đo các góc lượng giác \(\left( {Ox,Ov} \right).\)
sđOx,Ov=90°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=−540°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=−90°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=540°+k360°, k∈ℤ.
Chọn A
Ta có: sđOx,Ov=sđOx,Ou+sđOu,Ov+k360° =−225°+315°+k360° =90°+k360°, k∈ℤ.
Biết \(\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = x.\tan \alpha + y.\cot \alpha \,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Tính \(S = x - y\)
\[ - 1\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
Chọn A
Ta có \(\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = \frac{{\cos \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}} = \cot \alpha \).
Do đó \(x = 0\,;\,y = - 1 \Rightarrow x - y = - 1\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Điều kiện xác định của hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,,\,k \in \mathbb{Z}\).
Do đó tập xác định của hàm số \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho đồ thị hàm số \[y = \sin x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\]. Gọi S là tập hợp các giá trị của \[x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\sin x = 0\]. Số phần tử của S là
\[3\].
\[5\].
\[6\].
\[4\].
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin x\) ta thấy trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] các giá trị của \(x\) để \(\sin x = 0\) là:
\(x = - 2\pi \,;\,x = - \pi \,;\,x = 0\,;\,x = \pi \,;\,x = 2\pi \).
Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
(1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt.
(2)Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.
(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn C
Ta có:
+ Khẳng định (1) sai vì thiếu giả thiết 3 điểm không thẳng hàng.
+ Khẳng định (2) đúng theo các xác định một mặt phẳng.
+ Khẳng định (3) đúng theo tính chất thừa nhận.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\,,\,\,{u_2} = 3\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\end{array} \right.,\forall n \ge 3.\) Tính \({u_3}\).
\({u_3} = 7\).
\({u_3} = 5\).
\({u_3} = 4\).
\({u_3} = 8\).
Chọn A
Từ \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\) thay \(n = 3\) ta có \({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.2 = 7\).
Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,\,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,ABD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(MN{\rm{//}}BD\).
\(MN{\rm{//}}CD\).
\(MN{\rm{//}}BC\).
\(MN{\rm{//}}AD\).
Chọn B
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm \(BC,BD\). Ta có:
\(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,EF\).
Mặt khác \(EF\,{\rm{//}}\,CD\) (theo tính chất đường trung bình).
Do đó \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\), biết góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) có số đo bằng \(430^\circ \), điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ mấy?
(II).
(III)
(IV).
(I).
Chọn D
Ta có \(430^\circ = 360^\circ + 70^\circ \). Do đó điểm biểu diễn góc \(430^\circ \) trùng với điểm biểu diễn góc \(70^\circ \). Suy ra điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ \(\left( I \right)\).
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
\(y = \sin 3x.\)
\(y = \cot 3x.\)
\(y = \tan 3x.\)
\(y = \cos 3x.\)
Chọn D
+ Các hàm số \(y = \sin 3x,\,\,y = \cot 3x,\,\,y = \tan 3x\) là hàm số lẻ.
+ Hàm số \(y = \cos 3x\) là hàm số chẵn.
Với \(k \in \mathbb{Z}\), khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \).
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Chọn D
Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) sai vì \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
Tập giá trị của hàm số \[y = \cos 2x\] là
\[\,\left[ { - 1;1} \right]\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\mathbb{R}\].
\[\left[ { - 2;2} \right]\].
Chọn A
Do \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2x\) là \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\).
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)trên đường tròn lượng giác là
\(3\).
\(6\).
\(4\).
\(2\).
Chọn C
Ta có \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\).
Để tìm số điểm biểu diễn của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trên đường tròn lượng giác, ta đi tìm số nghiệm của của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trong nửa khoảng \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right)\).
Ta có \(0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2} < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \le k < \frac{{19}}{6}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\).
Vậy số điểm biểu diễn của họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,;\,k \in \mathbb{Z}\) trên đường tròn lượng giác là 4.
Cho \(\widehat {MON} = 45^\circ \). Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,ON} \right)\)được biểu diễn trong hình vẽ sau
\( - 315^\circ \).
\(315^\circ \).
\(45^\circ \).
\( - 45^\circ \).
Chọn A
Dựa vào hình biểu diễn ta có \({\rm{s\~n }}\left( {OM\,,\,ON} \right) = - 135^\circ \).
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(6\).
Chọn A
Ta có \(x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0\,;\,4\pi } \right]\).
Dựa trên đường tròn lượng giác, ta thấy số nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là 4.
Cho \[\sin \alpha \,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{1}{3}\]. Tính \[{\rm{cos}}2\alpha \].
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{3}\].
\[\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{2}{3}\].
Chọn C
Ta có \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành\(ABCD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là
\(SD\).
\(AC\).
\(SI\).
\(SB\).
Chọn C
Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI\).
Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
\({u_n} = 3 - n\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}}\).
Chọn D
+ \({u_n} = 3 - n\) bị chặn trên bởi 3 và không bị chặn dưới.
+ \({u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{n} = n + \frac{2}{n}\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
+ \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\) không bị chặn dưới và không bị chặn trên.
+ \({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{5\left( {n + 1} \right) - 6}}{{n + 1}} = 5 - \frac{6}{{n + 1}} < 5\) nên bị chặn trên bởi 5.
Do \(n \ge 1 \Rightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow \frac{6}{{n + 1}} \le 3 \Rightarrow - \frac{6}{{n + 1}} \ge - 3 \Rightarrow 5 - \frac{6}{{n + 1}} \ge 2\), dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Vậy \({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}}\) bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_n} = \frac{1}{n} + 2,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số vừa tăng vừa giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm
Chọn A
Ta có \({u_n} = \frac{1}{n} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} + 2\).
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\,,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm .
Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để phương trình \(\cos x - 1 = m\)có nghiệm
\[ - 1 \le m \le 1\].
\[ - 2 \le m \le 0\].
\[m \in \left( { - 1;1} \right)\].
\[m \le 0\].
Chọn B
Ta có \(\cos x - 1 = m \Leftrightarrow \cos x = m + 1\).
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).
Biết \(\cos \left( {a + b} \right) = \frac{1}{3},\,\,\,\,\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của \(\sin a.\sin b\) bằng
\(\frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{{ - 5}}{{12}}.\)
\( - \frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{5}{{12}}.\)
Chọn A
Ta có \(\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{12}}\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và \[M\] là trung điểm cạnh \[SB\]. Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] là
Hình bình hành.
Hình ngũ giác.
Hình thang.
Hình tam giác.
Chọn C
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = Mx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Gọi \(N = Mx \cap SA\). Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) là tứ giác \(MNDC\).
Mặt khác do \(Mx\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,CD\). Do đó \(MNDC\) là hình thang.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{n - 1}}{2},n \in {\mathbb{N}^*}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_5} = 2.\)
\({u_5} = 4.\)
\({u_5} = 3.\)
\({u_5} = 8.\)
Chọn A
Ta có \({u_5} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\).
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x = - 1\) là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
Ta có \(\tan x = - 1 \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \tan x\) là
\(\frac{\pi }{2}\).
\(k\pi \)\((k \in \mathbb{Z})\).
\(2\pi \).
\(\pi \).
Chọn D
Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \tan x\) là \(\pi \).
Với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\) thì \(\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right)\) bằng
\[ - \sin \alpha .\]
\[ - \cos \alpha .\]
\[\cos \alpha .\]
\(\sin \alpha .\)
Chọn B
Ta có \(\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\alpha + \pi + 2024\pi } \right) = \cos \left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha \).
Cho hình tứ diện\[ABCD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tồn tại một mặt phẳng chứa\[AC\]và \(BD\).
\[AC\]và \(BD\) cắt nhau.
\[AC\]và \(BD\)song song.
\[AC\]và \(BD\)chéo nhau.
Chọn D
Ta có \(AC\) và \(BD\) chéo nhau.
Hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có số mặt là
\(4\).
\(6\).
\(3\).
\(5\).
Chọn D
Hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có 5 mặt là \(\left( {SAB} \right)\,,\,\left( {SBC} \right)\,,\,\left( {SCD} \right)\,,\,\left( {SDA} \right)\,,\,\left( {ABCD} \right)\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Giả sử \(a{\rm{//}}\left( \alpha \right),\,\,b \subset \left( \alpha \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(a\) và \(b\) song song hoặc chéo nhau.
\(a,\,\,b\) chéo nhau.
\(a\) và\(b\) cắt nhau.
\(a{\rm{//}}b\).
Chọn A
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm) Giải phương trình: \(\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
Ta có:
\( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA,\,AD,\,BC\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).
b) Chứng minh đường thẳng\(MN\)song song với mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\).
c) Xác định \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{MK}}{{KP}}\).
a) Ta có
\(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(CN \cap AB \equiv E\)
\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME\)
Hay \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\)
c) Ta có trong \(\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L\)\( \Rightarrow L\) là trung điểm của \(AP\)
Trong \(\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K\)
\( \Rightarrow K\)là trọng tâm tam giác \(SAP\)
\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}\)
(0,5 điểm) Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(HK = 25\,m\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí \(C\). Gọi \(A,B\)lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số đo góc \(\widehat {ACB}\) (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(CK = 32\,m,\,\,AH = 6\,m\), \(BH = 24\,m\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\tan \widehat {BCN} = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{25}}{8}\)
\(\tan \widehat {ACN} = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{25}}{{26}}\)
\(\widehat {BCA} = \widehat {BCN} - \widehat {ACM} \Rightarrow \tan \widehat {BCA} = \frac{{\tan \widehat {BCN} - \tan \widehat {ACM}}}{{1 + \tan \widehat {BCN}.\tan \widehat {ACM}}} = \frac{{\frac{{25}}{8} - \frac{{25}}{{26}}}}{{1 + \frac{{25}}{8}.\frac{{25}}{{26}}}} = \frac{{450}}{{833}}\)
\( \Rightarrow \widehat {BCA} \approx 28,4^\circ \)
