Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 7
16 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Đổi số đo của góc \(\alpha = 120^\circ \) sang đơn vị radian ta được
\[\alpha = \frac{{2\pi }}{3}\].
\[\alpha = \frac{\pi }{6}\].
\[\alpha = \frac{\pi }{3}\].
\[\alpha = \frac{\pi }{4}\].
Chọn A
\[\alpha = \frac{{120\pi }}{{180}} = \frac{2}{3}\pi \].
Gọi \(M\) là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha \). Biết \(M\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\), khẳng định nào sau đây đúng? ![Chọn A \[\alpha = \frac{{120\pi }}{{180}} = \frac{2}{3}\pi \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/13-1764207077.png)
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
\[\sin \alpha = \frac{3}{4}\].
\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
Chọn B
\(M\left( {\frac{3}{5};\,\frac{4}{5}} \right)\)
Theo định nghĩa hoành độ \(x\) của điểm \(M\) là \(\cos \alpha \)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
Chọn A
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a - \cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
Chọn D
Theo công thức biến đổi tổng thành tích:\(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là
\(\mathbb{R}\).
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Chọn B
Điều kiện xác định: \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \], \[k \in \mathbb{Z}\].
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên ?
\(y = \cos x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \tan x\).
\(y = x + \cos x\).
Chọn A
Theo lí thuyết hàm số\(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Cho hàm số \(y = \sin x\)có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Dựa vào đồ thị, hãy cho biết có bao nhiêu giá trị của \(x\)trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;\,3\pi } \right]\) để \(\sin x = 0\) ?
\(5\).
\(7\).
\(11\).
\(13\).
Chọn B
Quan sát đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;\,3\pi } \right]\) đồ thị cắt trục hoành tại 7 điểm phân biệt nên phương trình có 7 nghiệm phân biệt.
Cho dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu của dãy số là
\({u_1} = 1\).
\({u_1} = \frac{3}{2}\).
\({u_1} = 3\).
\({u_1} = \frac{1}{2}\).
Chọn B
Ta có: \({u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chọn A
Theo lí thuyết các đáp án B, C, D đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Chọn C
Phương án A: Hai đường thẳng phân biệt không song song có thể chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng hoặc cắt nhau nếu chúng đồng phẳng.
Phương án B: Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau nếu chúng đồng phẳng hoặc song song với nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Phương án D: Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau hoặc song song với nhau.
Nếu một hình chóp có đáy là ngũ giác thì số cạnh của hình chóp đó là
5.
6.
9.
10.
Chọn D
Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên, 1 mặt đáy, 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(AC\). Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(BCD\) . Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\)và \(\left( {BCD} \right)\) là
đường thẳng đi qua \(M\)và song song với \(AB\).
đường thẳng đi qua \(N\)và song song với \(BD\).
đường thẳng đi qua \(G\)và song song với \(CD\).
đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(BC\).
Chọn C
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\,{\rm{//}}\,CD\\MN \subset \left( {GMN} \right)\,\\\,CD \subset \left( {BCD} \right)\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {ACD} \right) = \left\{ G \right\}\,\end{array} \right. \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Gx{\rm{//}}MN\,{\rm{//}}\,CD\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a)\(\tan x = \sqrt 3 \). b) \(\sin 2x - \cos x = 0\).
2) Cho góc \(a\) thỏa mãn \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Tính \(\cos a\)và \(\tan 2a\).
1) Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \sqrt 3 \).
Ta có: \(\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
b) \(\sin 2x - \cos x = 0\).
Cách 1:
\[\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos x\].
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\], \[k \in \mathbb{Z}\].
Cách 2:
\[\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\], \[k \in \mathbb{Z}\].
2) Cho góc \(a\) thỏa mãn \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Tính \(\cos a\)và \(\tan 2a\).
Ta có: \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9}\). Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).
Anh Hùng vừa được tuyển dụng vào một công ty, được cam kết lương năm đầu sẽ là \(150\) triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 18 triệu đồng. Gọi \({T_n}\) (triệu đồng) là lương năm thứ \(n\) mà anh Hùng làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: \({T_1} = 150\), \({T_n} = {T_{n - 1}} + 18\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\).
a) Tính lương của anh Hùng vào năm thứ \(3\) làm việc cho công ty.
b) Chứng minh \(\left( {{T_n}} \right)\) là dãy số tăng.
a) Tính lương của anh Hùng vào năm thứ \(3\)làm việc cho công ty.
Lương của anh Hùng ở năm thứ 2 là \({T_2} = {T_1} + 18 = 150 + 18 = 168\) (triệu đồng).
Lương của anh Hùng ở năm thứ 3 là \({T_3} = {T_2} + 18 = 168 + 18 = 186\) (triệu đồng).
b) Chứng minh \(\left( {{T_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Vì \({T_{n + 1}} - {T_n} = 18 > 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)nên \(\left( {{T_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(CD\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh \(OM\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{SF}}{{FD}}\).
Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta được \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
Xét tam giác \(\left( {SAC} \right)\) có \(O\), \(M\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(SA\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), suy ra \(OM\parallel SC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OM\,{\rm{//}}\,\,SC\\SC \subset \left( {SCD} \right)\\OM \not\subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(BN \cap AD = E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) có \(EM \cap SD = F \Rightarrow F = SD \cap \left( {BMN} \right)\).
Tam giác \(SAE\) có \(D\) là trung điểm của \(AE\); \(M\) là trung điểm của \(SA\).
Suy ra \(F\) là trọng tâm tam giác \(SAE\), do đó \(\frac{{SF}}{{FD}} = 2\).
Nhiệt độ ngoài trời lúc 7 giờ tối là
\(h\left( {19} \right) = 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {19 - 9} \right) = 31 + 3\sin \frac{{5\pi }}{6} = 32.5\).
Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \(h\left( t \right) = 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)\), với \(h\) tính bằng độ C và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ (\(0 < t \le 24\)).
a) Tính nhiệt độ ngoài trời ở thành phố đó vào lúc \(7\) giờ tối.
b) Vào lúc mấy giờ trong ngày thì nhiệt độ ngoài trời ở thành phố đó là cao nhất?
Ta luôn có
\( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 3 \Rightarrow 28 \le 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 34\)
Do đó \(h\left( t \right) = 34 \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 15 + 24k,k \in \mathbb{Z}.\)
Vì \(0 < t \le 24\) nên \(t = 15\).
Vậy vào thời điểm \(15\) giờ thì nhiệt độ ở thành phố đó lớn nhất.
