Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 6

Chọn B

Vì \[{\rm{ }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\] nên \(\sin x < 0\). Ta có:

\[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \frac{3}{5}\left( n \right)\\\sin x = \frac{3}{5}\left( l \right)\end{array} \right.\]

Khi đó:  \(\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2.\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right).\frac{4}{5} =  - \frac{{24}}{{25}}\)

Chọn B

Ta có \[{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\] mà \[\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\].

Tương tự, ta có \[{\sin ^2}\beta  = 1 - {\cos ^2}\beta  = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}\] mà \[\left( {0 < \beta  < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin \beta  = \frac{5}{{13}}\].

Khi đó \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \sin \alpha .\cos \beta  = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \left( { - \frac{4}{5}} \right) \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{56}}{{65}}\]

Chọn B

Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].

Chọn B

\[y = \cos x\] là hàm số chẵn

Chọn B

Điều kiện xác định: \(\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Chọn D

Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = {\rm{cot}}x\) nghịch biến trên \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\)

Chọn C

Ta có: \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn C

Ta có: \[\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Với \(k = 1\), ta có: \[x =  - \frac{\pi }{2}\]

Chọn C

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Với \(x = k2\pi \), ta có:

\(0 \le k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0\). Suy ra, có 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), ta có:

\(0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0{\kern 1pt} \). Suy ra, có 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Vậy số nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(2\).

Chọn B

Ta có: \(1 < \frac{1}{5} < \frac{1}{{25}} < \frac{1}{{125}}\)

Suy ra, dãy số đã co là dãy số giảm.

Chọn C

Ta có: \[ - 1 \le \cos n \le 1,\forall n \in \mathbb{N}\]. Do đó, \({u_n} = \cos n\) là dãy số bị chặn.

Chọn C

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{3};{u_2} = \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}\). Suy ra, dãy số đã cho là 1 cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\).

Số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{1}{{{3^n}}}\).

Chọn B

Ta có:

\[\begin{array}{l}{u_1} = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_2} = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5\\{u_3} = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_4} = 2{u_3} + 3 = 2.13 + 3 = 29\\{u_5} = 2{u_4} + 3 = 2.29 + 3 = 61\end{array}\]

Chọn A

\[128; - 64;32; - 16;8\] là cấp số nhân có \({u_1} = 128,q = \frac{{ - 1}}{2}\).

Chọn A

Xét dãy số \[{u_n} = {5^n}\]. Ta có: \({u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} = {5^n}.5 = {u_n}.5\)

Vậy dãy số đã có là cấp số nhân có \({u_1} = 5,q = 5\)

Chọn D

\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}, \ldots \) là cấp số nhân có \({u_1} = 1,q = \frac{1}{2}\).

Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).

Chọn C

Hình chóp tứ giác có 5 mặt

Chọn B

B sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

Chọn D

Trong \(\left( {SDI} \right)\), gọi \(K = DI \cap GM\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}K \in GM\\K \in DI \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra, \(K\) là giao điểm của \(GM\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Chọn D

Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể chéo \[b\] nên A sai.

Nếu \[c\] chéo \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên B sai.

Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên C sai.

Chọn C

Cho hai đường thẳng \(a\)và \(b\)trong không gian. Nếu hông có mặt phẳng nào chứa cả \(a\)và \(b\). Khi đó ta nói đường thẳng \(a\)và \(b\)chéo nhau hay \(a\)chéo với \(b\).

Chọn C

Đáp án C

Nếu \[a\] song song với \[b\], \[b\] và \[c\] chéo nhau thì \[a\] và \[c\] chéo nhau hoặc cắt nhau. Đây là khẳng định đúng.

Thật vậy, giả sử a và c song song hoặc trùng với nhau, do \[a{\rm{//}}b\]nên \[b\] và \[c\] song song hoặc trùng nhau (vô lí, trái với giả thiết \[b\] và \[c\] chéo nhau).

Chọn A

Nếu \(d{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(d\) và \(\left( P \right)\)không có điểm chung.

Chọn D

Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Nếu mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\)chứa \(a\), cắt \(\left( \alpha  \right)\)theo giao tuyến \(d\)thì \(a\) song song với \(d\)

Chọn B

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}CD\\CD{\rm{//}}AB\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}AB\)

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\)

Suy ra, \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\)

a. Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có:

\({u_{15}} = {u_1} + \left( {15 - 1} \right)d =  - 8 + 14.3 = 34\)

b. Giả sử 492 là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng. Ta có:

\(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{289 - \left( { - 8} \right)}}{3} + 1 = 100\)

Vậy số 289 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(DN\) cắt \(AB\) tại \(P\). Vì \(P \in DN\) nên \(P \in \left( {DMN} \right)\). Do đó, \(P\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với \(AB\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có \(MP\)cắt \(SB\) tại \(E\). Vì \(E \in MP\) nên \(E \in \left( {DMN} \right)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với \(SB\). 

 Vì \(M\)và \(E\)cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\)nên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng \(ME\).

Để độ sâu của mực nước là \(15\;m\) thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow t =  - \frac{6}{\pi } + 12k(k \in \mathbb{Z})\)

Do \(0 \le t < 24{\rm{ n\^e n }}0 \le  - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)\( \Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi } \Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}\).

Mà \({\rm{ }}k \in \mathbb{Z}{\rm{ }}\) nên \(k \in \{ 1;2\} \)

Với \[k = 1\] thì \(t =  - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);

Với \[k = 2\] thì \(t =  - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

Gọi \({u_1}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ nhất, ta có \({u_1} = 150\); \({v_1}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ nhất, ta có:

\({v_1} = 150.0,6 = 90\)

\({u_2}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ hai, ta có \({u_2} = {v_1} = 0,6{u_1}\); \({v_2}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ hai, ta có:

\({v_2} = 0,6{u_2} = 0,6{v_1}\).

Như vậy, ta có hai cấp số nhân đều có công bội \(0,6\) là: \({u_1},{u_2},..,{u_{15}}\) và \({v_1},{v_2},..,{v_{15}}\) với \({u_1} = 150\) và \({v_1} = 90\).

Ta có:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = 150.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\); \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{10}} = 90.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\).

Vậy quãng đường người đó đi được sau 15 lần rơi xuống và lại được kéo lên (tính từ lúc bắt đầu nhảy) là:

   \(\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}} \right) + \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_{10}}} \right) = 240.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right) \approx 600\left( m \right).\)