Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 6
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Biểu diễn các góc lượng giác α=−30° ; β=30° ; γ=390°; δ=−90°trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
\(\beta \) và \[\gamma \].
\(\alpha \), \[\beta \].
\[\gamma \], \[\delta \].
\(\alpha \),\[\delta \].
Chọn A
Ta có: γ=390°=30°+360°=β+360°
Suy ra, \(\beta \) và \[\gamma \] có điểm biểu diễn trùng nhau.
Trên đường tròn lượng giác lấy điểm \[M\] sao cho góc lượng giác OA,OM=40°. Gọi \[M'\] đối xứng với \[M\] qua gốc tọa độ. Tìm số đo của góc lượng giác \[\left( {OA,OM'} \right)\].
40°+k360°.
140°+k360°.
220°+k360°.
50°+k360°.
Chọn C
Ta có: \(\widehat {AOM} = {40^{\rm{o}}}\), \(\widehat {AOM'} = {220^0}\)
Nên số đo của góc lượng giác \[\left( {OA,OM'} \right) = {220^{\rm{o}}} + k{360^{\rm{o}}},\,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
Cho\(\sin a = - \frac{1}{2}\). Tính\(\sin (\pi - a)\).
\(\sin (\pi - a) = \frac{1}{2}.\)
\(\sin (\pi - a) = - \frac{1}{2}.\)
\(\sin (\pi - a) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\sin (\pi - a) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn B
Ta có: \(\sin (\pi - a) = \sin a = - \frac{1}{2}.\)
Cho\(\tan a = \frac{7}{8}\).Tính\[\tan ( - a)\].
\(\frac{7}{8}\).
\( - \frac{7}{8}\).
\(\frac{{15}}{{16}}\).
\( - \frac{{15}}{{16}}\).
Chọn B
Ta có: \(\tan (\pi - a) = - \tan a = - \frac{7}{8}\).
Cho \(\cos a = \frac{7}{9}.\) Tính\(\cos (\pi + a)\).
\( - \frac{7}{9}.\)
\(\frac{7}{9}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Chọn A
Ta có: \(\cos \left( {\pi + a} \right) = - \cos a = - \frac{7}{9}\).
Biết \(\tan a = 2\) và \(0 < a < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\cos a.\)
\(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
\(\cos a = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
\[\cos a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]
\(\cos a = \frac{1}{2}.\)
Chọn A
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos a > 0\). Ta có:
\[1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} \Leftrightarrow 1 + {2^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( n \right)\\\cos a = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( l \right)\end{array} \right.\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(\sin 2\alpha = \sin \alpha .\cos \alpha \).
\(\sin 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
\(\sin 2\alpha = 4\sin \alpha .\cos \alpha \).
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).
Chọn D
Ta có: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\[\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a--b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right].\]
\[\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a--b} \right)--\cos \left( {a + b} \right)} \right].\]
\[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a--b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right].\]
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right].\)
Chọn D
Ta có: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right].\).
Cho \(\cos a = - \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).Tính \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\[ - 1\].
\[2\].
\[4\].
\[1\].
Chọn A
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\sin a > 0\). Ta có:
\[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a \Leftrightarrow {\sin ^2}a = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}a = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( n \right)\\\sin a = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( l \right)\end{array} \right.\]
Khi đó: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a.\cos \frac{\pi }{3} - \sin a.\sin \frac{\pi }{3} = \left( { - \frac{1}{2}} \right).\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - 1\)
Cho \[\cos x = \frac{4}{5},{\rm{ }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\]. Tính \[\sin 2x\].
\[\frac{{24}}{{25}}\].
\[ - \frac{{24}}{{25}}\].
\[ - \frac{1}{5}\].
\[\frac{1}{5}\].
Chọn B
Vì \[{\rm{ }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\] nên \(\sin x < 0\). Ta có:
\[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \frac{3}{5}\left( n \right)\\\sin x = \frac{3}{5}\left( l \right)\end{array} \right.\]
Khi đó: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2.\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right).\frac{4}{5} = - \frac{{24}}{{25}}\)
Cho hai góc \[\alpha \] và \[\beta \] thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)\) và \(\cos \beta = \frac{{12}}{{13}}\), \(\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right)\). Giá trị của \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\)là:
\[ - \frac{{56}}{{65}}\].
\[\frac{{56}}{{65}}\].
\[\frac{{16}}{{65}}\].
\[ - \frac{{16}}{{65}}\].
Chọn B
Ta có \[{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\] mà \[\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}\].
Tương tự, ta có \[{\sin ^2}\beta = 1 - {\cos ^2}\beta = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}\] mà \[\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin \beta = \frac{5}{{13}}\].
Khi đó \[\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta + \sin \alpha .\cos \beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \left( { - \frac{4}{5}} \right) \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{56}}{{65}}\]
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi .\]
Chọn B
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\[y = \sin x\]
\[y = \cos x\]
\[y = \tan x\]
\[y = \cot x\]
Chọn B
\[y = \cos x\] là hàm số chẵn
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\] là:
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Chọn B
Điều kiện xác định: \(\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \((\pi ;2\pi )\)?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Chọn D
Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = {\rm{cot}}x\) nghịch biến trên \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\)
Phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\) có nghiệm là:
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Ta có: \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Phương trình \[\sin x = - 1\]có một nghiệm là giá trị nào sau đây?
\[x = - \frac{\pi }{4}\].
\[x = - \frac{\pi }{6}\].
\[x = - \frac{\pi }{2}\].
\[x = - \frac{\pi }{3}\].
Chọn C
Ta có: \[\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Với \(k = 1\), ta có: \[x = - \frac{\pi }{2}\]
Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:
4.
1.
2.
3.
Chọn C
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Với \(x = k2\pi \), ta có:
\(0 \le k2\pi \le \pi \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0\). Suy ra, có 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
Với \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), ta có:
\(0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0{\kern 1pt} \). Suy ra, có 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
Vậy số nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(2\).
Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \(1;\frac{1}{5};\frac{1}{{25}};\frac{1}{{125}};.....\)
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số vừa tăng, vừa giảm.
Chọn B
Ta có: \(1 < \frac{1}{5} < \frac{1}{{25}} < \frac{1}{{125}}\)
Suy ra, dãy số đã co là dãy số giảm.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] biết \[{u_n} = \cos n\]. Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là:
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số bị chặn.
Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Chọn C
Ta có: \[ - 1 \le \cos n \le 1,\forall n \in \mathbb{N}\]. Do đó, \({u_n} = \cos n\) là dãy số bị chặn.
Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}};\)….Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = \frac{1}{3}\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\).
Chọn C
Ta có: \({u_1} = \frac{1}{3};{u_2} = \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}\). Suy ra, dãy số đã cho là 1 cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\).
Số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{1}{{{3^n}}}\).
Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).Viết năm số hạng đầu của dãy.
1;5;13;28;61.
1;5;13;29;61.
1;5;17;29;61.
1;5;14;29;61.
Chọn B
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_1} = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_2} = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5\\{u_3} = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_4} = 2{u_3} + 3 = 2.13 + 3 = 29\\{u_5} = 2{u_4} + 3 = 2.29 + 3 = 61\end{array}\]
Cho \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = - 2\], \[{u_{19}} = 52\]. Tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:
\[1060.\]
\[ - 570.\]
\[530.\]
\[ - 530.\]
Chọn C
Ta có:\({u_{19}} = 52 \Leftrightarrow {u_1} + 18d = 52 \Leftrightarrow - 2 + 18d = 52 \Leftrightarrow d = 3\)
⇒S20=202u1+20−1d2=202.−2+20−132=530
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\[128; - 64;32; - 16;8.\]
\[\sqrt 2 ;2;2\sqrt 2 ;4;8.\]
\[5;6;7;8;9.\]
\[15;5;1;\frac{1}{5};\frac{1}{{25}}\].
Chọn A
\[128; - 64;32; - 16;8\] là cấp số nhân có \({u_1} = 128,q = \frac{{ - 1}}{2}\).
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\[{u_n} = {5^n}.\]
\[{u_n} = 1 + 5n.\]
\[{u_n} = {5^n} + 1.\]
\[{u_n} = 5 + {n^2}.\]
Chọn A
Xét dãy số \[{u_n} = {5^n}\]. Ta có: \({u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} = {5^n}.5 = {u_n}.5\)
Vậy dãy số đã có là cấp số nhân có \({u_1} = 5,q = 5\)
Cho dãy số \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}, \ldots \). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{2n}}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Chọn D
\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}, \ldots \) là cấp số nhân có \({u_1} = 1,q = \frac{1}{2}\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt?
4.
6.
5.
7.
Chọn C
Hình chóp tứ giác có 5 mặt
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Trên mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chọn B
B sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \[M,N,I\]lần lượt là trung điểm \[SD\], \[SA\], \[AB\]. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\), \(K\) là giao điểm của \(GM\) với \(\left( {ABCD} \right)\). Điểm \(K\) là giao điểm của \(GM\) với đường thẳng nào sau đây?
\(AB\).
\(NI\).
\(BC\).
\(DI\).
Chọn D
Trong \(\left( {SDI} \right)\), gọi \(K = DI \cap GM\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}K \in GM\\K \in DI \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra, \(K\) là giao điểm của \(GM\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
Trong không gian cho hai đường thẳng song song \[a\] và \[b\]. Kết luận nào sau đây đúng?
Nếu đường thẳng \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] cắt \[b\].
Nếu đường thẳng \[c\] chéo \[a\] thì \[c\] chéo \[b\].
Nếu đường thẳng \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] chéo \[b\].
Nếu đường thẳng \[c\] song song với \[a\] thì \[c\] song song hoặc trùng \[b\].
Chọn D
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể chéo \[b\] nên A sai.
Nếu \[c\] chéo \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên B sai.
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên C sai.
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi:
Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung.
Hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.
Hai đường thẳng cùng chéo nhau với đường thẳng thứ ba.
Chọn C
Cho hai đường thẳng \(a\)và \(b\)trong không gian. Nếu hông có mặt phẳng nào chứa cả \(a\)và \(b\). Khi đó ta nói đường thẳng \(a\)và \(b\)chéo nhau hay \(a\)chéo với \(b\).
Cho ba đường thẳng \[a,b,c\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu \[a\] và \[b\] cùng song song với \[c\] thì \[a\] song song với \[b\].
Nếu \[a\] và \[b\] cùng chéo nhau với \[c\] thì \[a\] và \[b\] chéo nhau.
Nếu \[a\] song song với \[b\], \[b\] và \[c\] chéo nhau thì \[a\] và \[c\] chéo nhau hoặc cắt nhau.
Nếu \[a\] và \[b\] cắt nhau, \[b\] và \[c\] cắt nhau thì \[a\] và \[c\] cắt nhau.
Chọn C
Đáp án C
Nếu \[a\] song song với \[b\], \[b\] và \[c\] chéo nhau thì \[a\] và \[c\] chéo nhau hoặc cắt nhau. Đây là khẳng định đúng.
Thật vậy, giả sử a và c song song hoặc trùng với nhau, do \[a{\rm{//}}b\]nên \[b\] và \[c\] song song hoặc trùng nhau (vô lí, trái với giả thiết \[b\] và \[c\] chéo nhau).
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Chọn A
Nếu \(d{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(d\) và \(\left( P \right)\)không có điểm chung.
Cho đường thẳng \[a\] song song mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] chứa \[a\] và cắt mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] theo giao tuyến \[d\]. Kết luận nào sau đây đúng?
\[a\] và \[d\] cắt nhau.
\[a\] và \[d\] trùng nhau.
\[a\] và \[d\] chéo nhau.
\[a\] và \[d\] song song.
Chọn D
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\)chứa \(a\), cắt \(\left( \alpha \right)\)theo giao tuyến \(d\)thì \(a\) song song với \(d\)
Cho hình chóp \[SABCD\] có đáy là hình bình hành. \[M,N\]lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
\[MN//\left( {SBD} \right)\].
\[MN//\left( {SAB} \right)\].
\[MN//\left( {SAC} \right)\].
\[MN//\left( {SCD} \right)\].
Chọn B
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}CD\\CD{\rm{//}}AB\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}AB\)
Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\)
Suy ra, \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 8\), công sai \(d = 3\).
a. Tính \({u_{15}}\)?
b. Số \[289\] là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
a. Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có:
\({u_{15}} = {u_1} + \left( {15 - 1} \right)d = - 8 + 14.3 = 34\)
b. Giả sử 492 là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng. Ta có:
\(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{289 - \left( { - 8} \right)}}{3} + 1 = 100\)
Vậy số 289 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\)lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,\,BC\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(DN\) cắt \(AB\) tại \(P\). Vì \(P \in DN\) nên \(P \in \left( {DMN} \right)\). Do đó, \(P\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với \(AB\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có \(MP\)cắt \(SB\) tại \(E\). Vì \(E \in MP\) nên \(E \in \left( {DMN} \right)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với \(SB\).
Vì \(M\)và \(E\)cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\)nên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng \(ME\).
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu \(h(\;m)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \le t < 24\)) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm \(t\) để độ sâu của mực nước là \(15\;m\).
Để độ sâu của mực nước là \(15\;m\) thì:
\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi } + 12k(k \in \mathbb{Z})\)
Do \(0 \le t < 24{\rm{ n\^e n }}0 \le - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)\( \Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi } \Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}\).
Mà \({\rm{ }}k \in \mathbb{Z}{\rm{ }}\) nên \(k \in \{ 1;2\} \)
Với \[k = 1\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);
Với \[k = 2\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).
Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(150{\rm{\;m}}\). Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(60\% \) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ).
Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 15 lần kéo lên và lại rơi xuống.
Gọi \({u_1}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ nhất, ta có \({u_1} = 150\); \({v_1}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ nhất, ta có:
\({v_1} = 150.0,6 = 90\)
\({u_2}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ hai, ta có \({u_2} = {v_1} = 0,6{u_1}\); \({v_2}\left( m \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ hai, ta có:
\({v_2} = 0,6{u_2} = 0,6{v_1}\).
Như vậy, ta có hai cấp số nhân đều có công bội \(0,6\) là: \({u_1},{u_2},..,{u_{15}}\) và \({v_1},{v_2},..,{v_{15}}\) với \({u_1} = 150\) và \({v_1} = 90\).
Ta có:
\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = 150.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\); \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{10}} = 90.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\).
Vậy quãng đường người đó đi được sau 15 lần rơi xuống và lại được kéo lên (tính từ lúc bắt đầu nhảy) là:
\(\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}} \right) + \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_{10}}} \right) = 240.\left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right) \approx 600\left( m \right).\)
