Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 10
36 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng.
\(2;4;6;8;10\).
\(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
\(11;9;7;5;3\).
\(1;1;1;1;1;1.\)
Chọn A
Cho \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \], trong các phát biểu sau phát biểu đúng ?
\[\sin \alpha > 0.\]
\[\cot \alpha > 0.\]
\[\cos \alpha > 0.\]
\[\tan \alpha > 0.\]
Chọn A
Với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \], khi đó góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ II, suy ra : \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha < 0\\\tan \alpha < 0\\\cot \alpha < 0\end{array} \right.\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \(A\),\(B\),\(C\),\(D\). Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = \sin x\].
\[y = 1 - \sin x\].
\[y = 1 + \sin x\].
\[y = \cos x\].
Chọn D
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {\pi ; - 1} \right)\), thay điểm \(\left( {\pi ; - 1} \right)\) vào đáp án D được : \[ - 1 = \cos \left( \pi \right)\] (đúng)
Vậy đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số \[y = \cos x\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\], có đáy \[ABCD\]là hình thang đáy lớn \(AB\). Khi đó giao điểm của \(BC\)và \(\left( {SAD} \right)\)là
giao điểm của \(BC\) với \(SD\).
giao điểm của \(BC\) với \(AD\).
giao điểm của \(AC\) với \(BD\).
giao điểm của \(BC\)với \(SA\).
Chọn B
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(BC \cap AD = E\)
Suy ra: \(BC \cap \left( {SAD} \right) = E\).
Giá trị của \(\cos \frac{\pi }{4}\) bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\[1\].
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn A
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AC\) (Hình vẽ sau).
Khẳng định nào sau đây đúng?
\[EF\parallel (BCD)\].
\(EF\parallel (ABD)\).
\(EF\parallel (ABC)\).
\(EF\) cắt \((BCD)\).
Chọn A
Ta có: \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow EF\parallel BC\) mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\).
Suy ra:\[EF\parallel (BCD)\]
Cho cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 2\), công sai là \(d = 3\). Số hạng thứ hai của cấp số cộng là
\({u_2} = 5.\)
\({u_2} = 6.\)
\({u_2} = 3.\)
\({u_2} = 4.\)
Chọn A
Ta có : \({u_2} = {u_1} + d = 2 + 3 = 5\)
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(G,H\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta SAB\), \(M\) là trung điểm của \(AB.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(GH//\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {SMC} \right).\)
\(GH//\left( {SAC} \right)\)và \(\left( {SMC} \right).\)
\(GH//\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right).\)
\(GH//\left( {SAC} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)
Chọn D
*) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) (1)
*) \(H\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) \( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MS}} = \frac{1}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{{MG}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{MS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HG{\rm{ // }}SC\) mà \(SC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(SC \subset \left( {SBC} \right)\)
Suy ra : \(GH//\left( {SAC} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)
Cho đường tròn lượng giác gốc như hình vẽ. Biết \(\widehat {AOC} = \frac{\pi }{6}\); \(\widehat {AOD} = \frac{{5\pi }}{6}\). Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \); \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)là\[\] 
điểm \(E,\,D\).
điểm \(B,\,B'\).
điểm \(C,\,F\).
điểm \(D,\,F\).
Chọn D
Với \(k = 0\), góc \(\alpha = - \frac{\pi }{6}\), điểm biểu diễn góc \(\alpha \) là điểm \(F\)
Với \(k = 1\), góc \(\alpha = \frac{{5\pi }}{6}\), điểm biểu diễn góc \(\alpha \) là điểm \(D\)
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác của góc \(\alpha \) là hai điểm \(D\) và \(F\).
Cho hình chóp \(S.ABC\), gọi \(E,F\)lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(EF//SC\).
\(EF//BC\).
\(EF//SB\).
\(EF//AC\).
Chọn B
Ta có : \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow EF//BC\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\)
Chọn C
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \(({u_n})\) là
\({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},(q \ne 1)\)
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\)
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
\({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\)
Chọn B
Phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{6}\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
\[\cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Chọn phát biểu đúng:
Các hàm số \[y = \sin x\], \[y = \cos x\], \[y = \cot x\] đều là hàm số lẻ.
Các hàm số \[y = \sin x\], \[y = \cot x\], \[y = \tan x\] đều là hàm số lẻ.
Các hàm số \[y = \sin x\], \[y = \cot x\], \[y = \tan x\] đều là hàm số chẵn
Các hàm số \[y = \sin x\], \[y = \cos x\], \[y = \cot x\] đều là hàm số chẵn.
Chọn B
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{sin\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}\) là:
![Các hàm số \[y = \sin x\], (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/22-1764216560.png)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
![Các hàm số \[y = \sin x\], (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/23-1764216571.png)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)
Chọn B
Điều kiện: \(sin\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
Chọn A
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {2^n}.\) Tìm số hạng \({u_{n - 1}}.\)
\({u_{n - 1}} = \frac{1}{2}{.2^n}.\)
\({u_{n - 1}} = {2^n} - 1.\)
\({u_{n - 1}} = {2^n}.2.\)
\({u_{n - 1}} = 2\left( {n - 1} \right).\)
Chọn A
Ta có: \({u_{n - 1}} = {2^{n - 1}} = \frac{{{2^n}}}{2} = \frac{1}{2}{.2^n}\)
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Hàm số \[y = \sin 2x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Chọn A
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(AC\). Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\)và \(\left( {BCD} \right)\)là đường thẳng:
qua\(G\) và song song với \(BC\).
qua \(G\) và song song với \(CD\).
qua \(M\)và song song với \(AB\).
Qua \(N\)và song song với \(BD\).
Chọn B
![Chọn A Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/24-1764216715.png)
\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) \( \Rightarrow MN//CD\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = G\\MN//CD\\MN \subset \left( {GMN} \right),CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) qua \(G\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với CD
Suy ra : \(\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = d\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_5}.\)
\({u_5} = \frac{2}{3}.\)
\({u_5} = \frac{{14}}{{27}}.\)
\({u_5} = \frac{5}{9}.\)
\({u_5} = 1.\)
Chọn B
Ta có :
\({u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\)
\({u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}\)
\[{u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\]
\[{u_5} = \frac{1}{3}\left( {{u_4} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{9} + 1} \right) = \frac{{14}}{{27}}\]
Cho \(\tan \alpha = \sqrt 5 \), với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó \(\cos \alpha \) bằng:
\(\sqrt 6 \).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
\( - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
\(\frac{1}{6}\).
Chọn C
Với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), suy ra \(\cos \alpha < 0\)
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + 5 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{6} \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm \[\Delta ABD\] và M là điểm trên cạnh BC, sao cho \[BM = 2MC.\] Đường thẳng MG song song với
\[\left( {ABD} \right).\]
\[\left( {BCD} \right).\]
\[\left( {ABC} \right).\]
\[\left( {ACD} \right).\]
Chọn D
Gọi \(N\) là trung điểm \(AD\).
\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABD\) \( \Rightarrow \frac{{BG}}{{BN}} = \frac{2}{3}\) (1)
Theo giả thiết : \[BM = 2MC \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG//CN\) mà \(CN \subset \left( {ACD} \right)\) nên \(MG//\left( {ACD} \right)\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD,SA\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là
Đường thẳng qua \(PM\).
Đường thẳng qua \(P\) và song song với \(AB\).
Đường thẳng qua \(M\) và song song với \(SC\).
Đường thẳng qua \(S\)và song song với \(AB\).
Chọn B
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) \( \Rightarrow MN//AB\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = P\\MN//AB\\MN \subset \left( {MNP} \right),AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) qua \(P\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với AB
Suy ra : \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = d\)
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Ba điểm phân biệt.
Bốn điểm phân biệt.
Chọn B
Đơn giản biểu thức \[A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( {\alpha - \pi } \right)\], ta có
A=sinα–cosα.
\[A = 0\].
\[A = \cos \alpha + \sin \alpha \].
\[A = 2\sin \alpha \].
Chọn D
\[\begin{array}{l}A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( {\alpha - \pi } \right) = \cos \left( { - \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right) - \sin \left( { - \left( {\pi - \alpha } \right)} \right)\\{\rm{ }} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi - \alpha } \right)\\{\rm{ }} = \sin \alpha + \sin \alpha \\{\rm{ }} = 2\sin \alpha \end{array}\]
Công thức nghiệm của phương trình \[\sin x = \sin \alpha \] là:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{N})\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{N})\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
Chọn D
Ta có: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AB//\left( {SBC} \right)\).\(\)
\(BC//\left( {SCD} \right)\).
\(BC//\left( {SAD} \right)\).
\(AC//\left( {SBD} \right)\).
Chọn C
Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow BC//AD\)
Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), suy ra \(BC//\left( {SAD} \right)\)
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\).
\(T = \frac{{10\pi }}{3}\).
\(T = \frac{{5\pi }}{3}\).
\(T = \frac{{16\pi }}{5}\).
\(T = 3\pi \).
Chọn D
\(\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Do \(x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right] \Rightarrow x = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right\} \Rightarrow T = \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{2} = 3\pi \)
Cho tam thức bậc hai \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Trên đoạn \[\left[ { - \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\], phương trình \[f\left( {sinx} \right) = 0\] có bao nhiêu nghiệm?
\[4.\]
\[3\,.\]
\[2\,.\]
\[1.\]
Chọn C
Đặt \(\sin x = t\), \[x \in \left[ { - \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Phương trình trở thành: \[f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\]
Người ta trồng \(3160\) cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, … Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
77.
\(81\).
\(79\).
75.
Chọn C
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1\) và \(d = 1\)
Ta có : \({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Suy ra : \({S_n} = 3160 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 3160 \Leftrightarrow {n^2} + n - 6320 = 0 \Leftrightarrow n = 79\)
Vậy có 79 hàng cây.
Cho cung lượng giác có số đo \(x\) thỏa mãn \(\tan x = 2\). Giá trị của biểu thức \(M = \frac{{\sin x - 3{{\cos }^3}x}}{{5{{\sin }^3}x - 2\cos x}}\) bằng
\(\frac{7}{{31}}\).
\(\frac{7}{{32}}\).
\(\frac{7}{{30}}\).
\(\frac{7}{{33}}\).
Chọn C
\[M = \frac{{\sin x - 3{{\cos }^3}x}}{{5{{\sin }^3}x - 2\cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{{3{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}}}}{{\frac{{5{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{{2\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}}} = \frac{{\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 3}}{{5{{\tan }^3}x - 2.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\]
\[ = \frac{{\tan x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 3}}{{5{{\tan }^3}x - 2.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = \frac{{2.\left( {1 + 4} \right) - 3}}{{{{5.2}^3} - 2.\left( {1 + 4} \right)}} = \frac{7}{{30}}\]
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_2} + {u_{29}} = 96.\) Tính tổng \({S_{30}}\) của \(30\)số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
\({S_{30}} = 192.\)
\({S_{30}} = 384.\)
\({S_{30}} = 1440.\)
\({S_{30}} = 96.\)
Chọn C
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng đã cho.
Ta có : \({u_2} + {u_{29}} = 96 \Leftrightarrow {u_1} + d + {u_1} + 28d = 96 \Leftrightarrow 2{u_1} + 29d = 96\)
\({S_{30}} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = \frac{{30}}{2}.\left( {2{u_1} + 29d} \right) = 15.96 = 1440\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
a) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi ;{\rm{ }}\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\]. Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\] .
b) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình \({x_1}\left( t \right) = 2\sqrt 3 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\) và \({x_2}\left( t \right) = 2\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Chứng tỏ rằng phương trình dao động tổng hợp của vật đó \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) viết được dưới dạng \[x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\], tức là dao động tổng hợp của vật đó là dao động điều hòa. Hãy xác định biên độ \(A\), tần số góc \(\omega \) và pha ban đầu \(\varphi {\rm{ }}\left( { - \pi < \varphi < \pi } \right)\) của dao động tổng hợp.
a) Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \alpha \]\[\] nên \[\cos \alpha > 0\].
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\].
Suy ra: \[\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}\].
Vậy \[cos\left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 + 12\sqrt 3 }}{{26}}\].
b) Ta có
\[\begin{array}{l}x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right) = 2\sqrt 3 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\\{\rm{ }} = 4\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\{\rm{ }} = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\]
\[x\left( t \right) = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\] có dạng \[x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\] do đó \(A = 4,\omega = 4\pi ,\varphi = \frac{\pi }{3}\)
Giải phương trình \(\sin 3x = \cos 5x\).
\(\begin{array}{l}\sin 3x = \cos 5x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 5x\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 3x = 5x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 3x = - 5x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\end{array}\)
Số giờ có ánh mặt trời của một thành phố \(X\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\), với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Hỏi vào ngày nào trong năm thì thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
Ta có: \( - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365\)
\( \Leftrightarrow 7 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 13,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}d(t) = 7 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - 21 + k324\end{array}\).
Do \(k,t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) suy ra \(t = 303\).
Vậy vào ngày thứ \(303\), thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Tìm giao điểm của \(CD\)và \(\left( {BMN} \right)\).
a)
Ta có: \(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC,AC \subset (SAC)\\O \in BD,BD \subset (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD){\rm{ (1)}}\)
\(S \in (SAC) \cap (SBD){\rm{ (2)}}\)
Từ \((1)\)và \((2)\)ta có \(SO = (SAC) \cap (SBD)\)
b) Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi \(I = SO \cap MN\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in MN;MN \subset \left( {BMN} \right)\\I \in SO;SO \subset (SBD)\end{array} \right.\), suy ra \(I = (SDB) \cap \left( {BMN} \right)\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\). Kẻ \(BI \cap SD = E\). Suy ra \(E = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)\).
Lại có \(N = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)\)
Suy ra \(NE = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)\). Trong \((SCD)\)kẻ \(NE \cap CD = K\)
\( \Rightarrow K = CD \cap (BMN)\)
