Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 2
19 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?
\(BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
\(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(SA{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
\(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Chọn C
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}S \in SA\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) là sai.
Nếu một góc lượng giác có số đo bằng radian là \(\frac{{5\pi }}{4}\) thì số đo bằng độ của góc lượng giác đó là
\({225^{\rm{o}}}\).
\({172^{\rm{o}}}\);
\({5^{\rm{o}}}\);
\({15^{\rm{o}}}\);
Chọn A
Ta có: \(\frac{{5\pi }}{4}.\frac{{180^\circ }}{\pi } = 225^\circ \)
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a\)và \(b\). Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\)?
\(4\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Chọn A
Trong không gian, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có các vị trí tương đối:
- Song song
- Trùng nhau
- Cắt nhau
- Chéo nhau
Trên khoảng \(\left( { - \pi \,;\,\pi } \right)\) đồ thị hàm số \(y = \sin x\) được cho như hình vẽ:
Hỏi hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \frac{\pi }{2}\,;\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( { - \pi \,;\,0} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2}\,;\,\pi } \right)\).
\(\left( {0\,;\,\pi } \right)\).
Chọn C
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ;
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ;
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số lẻ;
Chọn D
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi .\]
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Hàm số \[y = \cos x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi .\]
Chọn C
Các yếu tố nào sau đây luôn xác định một mặt phẳng duy nhất?
Bốn điểm
Hai đường thẳng cắt nhau
Một điểm và một đường thẳng
Ba điểm
Chọn B
Bốn điểm có thể tạo thành tứ diện
Một điểm và một đường thẳng chưa đủ tạo một mặt phẳng (trường hợp điểm nằm trên đường thẳng)
Ba điểm chưa đủ tạo một mặt phẳng (trường hợp ba điểm thẳng hàng).
Tập giá trị \(T\) của hàm số \[y = 5 - 3\sin x\] là
\(T = \left[ {5;8} \right]\).
\(T = \left[ { - 1;1} \right]\);
\(T = \left[ { - 3;3} \right]\);
\(T = \left[ {2;8} \right]\);
Chọn D
Ta có: \[ - 1 \le \sin x \le 1\]
\[3 \ge - 3\sin x \ge - 3\]
\[8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2\]
Vậy \[8 \ge y \ge 2 \Leftrightarrow y \in \left[ {2;88} \right]\]
Trong các mệnh để sau, mệnh đề nào đúng ?
\(\sin 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
\(\sin 2\alpha = \sin \alpha .\cos \alpha \).
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).
\(\sin 2\alpha = 4\sin \alpha .\cos \alpha \).
Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.
Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là \( - 90^\circ \)?
\(\left( {OA,OB'} \right)\);
\(\left( {OA,OA'} \right)\);
\(\left( {OA,OB} \right)\);
\(\left( {OA,OA} \right)\).
Chọn A
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\(AC\).
\(BD\).
\(AD\).
\(DC\).
Chọn C
Ta có \(AD\parallel BC\) nên \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) \equiv Sx\parallel AD\parallel BC\).
Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) có các nghiệm là
\(x = \alpha + k\pi ,{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi ,{\rm{ }}x = - \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k2\pi ,{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k2\pi ,{\rm{ }}x = - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P).\) Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Chọn A
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\) Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
\[\tan ( - \alpha ) = \tan \alpha \].
\[\sin ( - \alpha ) = \sin \alpha \].
\[\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \].
\[\cot ( - \alpha ) = \cot \alpha \].
Chọn C
Phương trình \[\sin x = 1\] có một nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{2}\].
\[x = \pi \].
\[x = \frac{\pi }{3}\].
\[x = - \frac{\pi }{2}\].
Chọn A
Ta có: \[\sin x = 1\]\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
(2,0 điểm)
a) (0,75 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \frac{{\tan x + 1}}{{\sin x}} + \cos (x + \frac{\pi }{3})\)
b) (0,75điểm) Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\] biết \[\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \].
c) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)
a) (0,75 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \frac{{\tan x + 1}}{{\sin x}} + \cos (x + \frac{\pi }{3})\)
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]
Vậy TXĐ: \[D = \left\{ {x \in \mathbb{R};x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
b) (0,75điểm) Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\] biết \[\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \].
Ta có:
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{25}}{{169}}\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\\\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\end{array} \right.\]
Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \cos \alpha > 0\] nên \[\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\].
Lại có\[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha \]
\[ = \frac{5}{{13}}\cos \frac{\pi }{3} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\sin \frac{\pi }{3}\]
\[ = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\]
c) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)
Ta có \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)
\( = \frac{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos x + \cos {\rm{2}}x}}\)
\( = \frac{{\sin 2x(2\cos x + 1)}}{{\cos 2x(2\cos x + 1)}}\)
\( = \tan 2x\)
(1,5 điểm)Giải các phương trình lượng giác:
a) \(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
b) \(\sin x = \cos 3x\).
a) \(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy tập nghiệm \[T = \left\{ {x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi ;x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
b) \(\sin x = \cos 3x\).
\( \Leftrightarrow \sin x = \sin (\frac{\pi }{2} - 3x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm \[T = \left\{ {x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2};x = - \frac{\pi }{4} - k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
(3,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\).
a) (1,0 điểm) Chứng minh \[MN//\left( {ABCD} \right).\]
b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]
c) (1,0 điểm) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).
a) (1,0 điểm) Chứng minh \[MN//\left( {ABCD} \right).\]
Ta có \[MN\] là đường trung bình tam giác \[SAC\].
Suy ra \[MN//AC\].
Do đó: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN \not\subset \left( {ABCD} \right);AC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).\]
b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]
Ta có B là điểm chung của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]
Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AC \subset \left( {ABCD} \right);MN \subset (BMN).\end{array} \right. \Rightarrow (BMN) \cap \left( {ABCD} \right) = Bx,Bx\,//MN//AC.\]
c) (1,0 điểm) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).
Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\].
\(Q\) là giao điểm của \[PI\] và \[SD\].
Ta có \[Q \in PI,PI \subset (MNP) \Rightarrow Q \in (MNP).\]
Mà \[Q \in SD\]. Suy ra \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
Vì \[I\]là trung điểm \[SO\] nên \[PI\] là đường trung bình tam giác \[SBO\]. Suy ra \[PI//SB\] hay \[PQ//SB\].
Xét tam giác SBD có: \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).
(0,5 điểm) Một vòng quay Mặt Trời quay quanh trục mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách \[h\left( m \right)\] từ một cabin \(M\) trên vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức \[h(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + b\]. Với \[t\] là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút (\[t \ge 0\]). Biết rằng khi lên đến vị trí cao nhất cabin \(M\) cách mặt đất \(114,5\) m và khi xuống đến vị trí thấp nhất cabin \(M\) cách mặt đất \(0,5\) m. Tìm \[a,{\rm{ }}b\] và thời điểm cabin \(M\) đạt được chiều cao \(86\) m trong vòng quay đầu tiên tính từ thời điểm \[t = 0\] (phút).
Ta có \[ - a + b \le h(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + b \le a + b,\forall t\].
Theo bài ra: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 114,5\\ - a + b = 0,5\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 57\\b = 57,5\end{array} \right.\]
Suy ra \[h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57,5\]
Do đó \[h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57,5 = 86\]
\[ \Leftrightarrow \sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5 + 15k\\t = 10 + 15k\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}).\]
Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin \(M\) đạt được chiều cao \(86\) m tại thời điểm \(t = 5\) phút hoặc \(t = 10\) phút.
