Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 5
25 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM( 4 điểm : 20 câu, mỗi câu 0,2 điểm)
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = 5 - 2n\]. Tìm công sai của cấp số cộng.
\[d = 2\].
\[d = 1\].
\[d = - 2\].
\[d = 3\].
Chọn C
\(\)\(d = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {5 - 2\left( {n + 1} \right)} \right] - \left[ {5 - 2n} \right] = - 2\)
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\).
\(1;3;6;9;12\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Chọn B
Công sai \(d = - 4\)
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 2\cos 2x\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = \frac{1}{2}\cos 2x\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = - 2\cos 2x\).
Chọn C
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x - \frac{\pi }{4} - x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x + \frac{\pi }{4} + x} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\cos 2x\).
6.
3.
4.
5.
Chọn A
Các mặt \(\left( {SAB} \right);\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right);\left( {SDC} \right);\left( {SAC} \right);\left( {SBD} \right)\)
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{4}{5}\).
\( - 1\).
\(\frac{5}{6}\).
Chọn A
Thay \(n = 5\)
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {CMN} \right)\) .
\(\left( {BCD} \right)\).
Chọn A
\[2\pi .\]
\[4\pi .\]
\[\pi .\]
\[\frac{\pi }{2}.\]
Chọn B
Áp dụng công thức \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \)
Qua hai đường thẳng song song ta xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng ta xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Chọn C
An tiết kiệm theo hình thức như sau: Ngày đầu tiên bỏ ống heo \(1000\) đồng. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước \(1000\) đồng. Hỏi ngày thứ 89, An có bao nhiêu tiền tiết kiệm?
\(89000\) đồng.
\(3960000\) đồng.
\(4095000\) đồng.
\(4005000\) đồng.
Chọn D
Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\)
Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là \({S_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)
Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2019 (tính đến ngày thứ 89 - tháng 2 gồm 28 ngày; tháng 3 gồm 31 ngày và tháng 4 gồm 30 ngày) tổng số tiền bỏ heo là:
\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right)1000} \right]}}{2} = 4005000\)
\(0 < m < 2\).
\( - 1 < m < 1\).
\(0 \le m \le 2\).
\( - 1 \le m \le 1\).
Chọn C
\( - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\)
\(\sin x\).
\(2\sin x\).
\(\cos x\).
\(2\cos x\).
Chọn C
\(A = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}} + \sin x = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} + \sin x = \cos x\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn C
\(\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)
Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?
\(y = \sin 2x\).
\(y = - \cos x\).
\(y = {x^2}\cos x\).
\(y = \sin x - \cos x\).
Chọn A
\[{u_n} = {2^n}.\]
\[{u_n} = \frac{3}{n}.\]
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}.\]
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\]
Chọn A
\[74\,\left( {mmHg} \right)\]
\[86\,\left( {mmHg} \right)\]
\[80\,\left( {mmHg} \right)\]
\[87\,\left( {mmHg} \right)\]
Chọn A
Thay giá trị t=8h vào B(t)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Chọn D
Vì chúng có thể song song
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{7}{9}\).
\( - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\( - \frac{7}{9}\).
Chọn B
Sủ dụng công thức \(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow \cos x\\\cos 2x = {\cos ^2}x - \sin {}^2x\end{array}\)
\(l = 2\pi \).
\(l = 8\pi \).
\(l = 6\pi \).
\(l = 4\pi \).
Chọn D
\(l = R.\alpha = 6.\frac{{2\pi }}{3} = 4\pi \)
\(S = \frac{{5{a^2}\sqrt {147} }}{4}\).
\(S = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{4}\).
\(S = \frac{{5{a^2}\sqrt {147} }}{2}\).
\(S = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{2}\).
Chọn B
\(AJ,BI\,\) song song .
\(AJ,BI\,\) trùng nhau.
\(AJ,BI\,\)chéo nhau
\(AJ,BI\,\) cắt nhau
Chọn C
II.PHẦN TỰ LUẬN: (6,0 điểm)
a) Cho \(\sin a = - \frac{1}{3}\) với \(a \in \left( {\pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Tính giá trị của \(\cos a\,\,,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
b)Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin 7x + \sin 4x + \sin x}}{{\cos 7x + \cos 4x + \cos x}}\) .
c) Giải phương trình \[2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \].
a) Ta có \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Do \(a \in \left( {\pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên nhận \(\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{3} + \cos a\sin \frac{\pi }{3}\).
\( = \left( { - \frac{1}{3}} \right).\frac{1}{2} + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{1 + 2\sqrt 6 }}{6}\).
b)Ta có \[A = \frac{{\left( {\sin 7x + \sin x} \right) + \sin 4x}}{{\left( {\cos 7x + \cos x} \right) + \cos 4x}} = \frac{{2\sin 4x.\cos 3x + \sin 4x}}{{2\cos 4x.\cos 3x + \cos 4x}}\]
\[ = \frac{{\sin 4x.\left( {2\cos 3x + 1} \right)}}{{\cos 4x.\left( {2\cos 3x + 1} \right)}} = \tan 4x\]
c) Ta có \[2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \] \[ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_4} = - 20\) và \({u_{19}} = 55\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = - 20}\\{{u_{19}} = 55}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 3d = - 20}\\{{u_1} + 18d = 55}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = - 35}\\{d = 5.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy \({u_1} = - 35,d = 5\).
Nhiệt độ ngoài trời ờ một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức
\(h(t) = 29 + 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}(t - 9)} \right]\)
với tính bằng độ \({\rm{C}}\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \({\rm{C}}\) và vào lúc mấy giờ?
Với mọi\[t\], ta có: \[sin\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)} \right] \ge - 1\;\;\]
Suy ra: \(h(t) = 29 + 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}(t - 9)} \right] \ge 26\)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \[{26^0}\]
Xảy ra khi \[{\rm{sin}}\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right)} \right] = - 1\;\;\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
\[ \Leftrightarrow t = 3 + 24k,k \in \mathbb{Z}\].
Do \[t\] là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên \[0 \le t \le 24\]. Suy ra: \[t = 3\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[ABCD\] là hình bình hành .Gọi \[M,\,N,P\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC,\,CD,\,SD\].
a) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\]; \[\left( {SAD} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\].
b) Tìm giao điểm \[I\] của đường thẳng \[SA\] và \[\left( {MNP} \right)\].
c) Tính tỷ số \[\frac{{IS}}{{IA}}\].
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[ABCD\] là hình (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/7-1764172221.png)
a) Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
Ta có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
Suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)}\\{AD\parallel BC}\\{AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right)\,}\end{array}} \right.\]
Suy ra \[Sx = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] với \[Sx\parallel AD\parallel BC\]
b) Ta thấy \[SA \subset \left( {SAD} \right)\]
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[E = AD \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]
Lại có \[P \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]
Suy ra \[PE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]
Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \[I = SA \cap PE\]
Mà \[PE \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow I = SA \cap \left( {MNP} \right)\]
c) Xét tam giác SAD có : \[I,\,P,E\] thẳng hàng và lần lượt thuộc SA,SD,AD
Theo định lý Menelaus ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.\frac{{PD}}{{PS}}.\frac{{EA}}{{ED}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IA}}.1.\frac{{EA}}{{ED}} = 1\]
Lại có DE song song BC, suy ra \[\frac{{DE}}{{MC}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1 \Rightarrow DE = MC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}DA \Rightarrow \frac{{EA}}{{ED}} = 3\]
Khi đó ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.1.3 = 1 \Rightarrow \frac{{IS}}{{IA}} = \frac{1}{3}\].
Ta có \(2{\sin ^3}2x - \left( {2m - 1} \right){\sin ^2}2x + \left( {3m - 5} \right)\sin 2x - m + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin 2x - 1} \right)\left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {\sin 2x + 2 - m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = \frac{1}{2}}\\{\sin 2x = 1}\\{\sin 2x = m - 2}\end{array}} \right.\).
Do \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin 2x\)
![Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình \(2{\sin ^3}2x - \left( {2m - 1} \right){\sin ^2}2x + \left( {3m - 5} \right)\sin 2x - m + 2 = 0\) có đúng 10 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/8-1764172253.png)
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy
+ Phương trình \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
+ Phương trình \(\sin x = 1\) có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
+ Để phương trình có 10 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le m - 2 < 1}\\{m - 2 \ne \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \le m < 3}\\{m \ne \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) .
