Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 4
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho \[\cos \alpha = \frac{5}{6}\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\]. Giá trị của \[sin\alpha \] bằng
\[ - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.\]
\[\frac{{\sqrt {11} }}{6}\].
\[ - \frac{1}{6}.\]
\[\frac{1}{6}.\]
Chọn B
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt {11} }}{6}\].
Vì \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\] nên \[\sin \alpha > 0\], suy ra \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\].
Rút gọn biểu thức \(P = \sin x\cos y + \sin y\cos x\) ta được
\[P = \cos \left( {x - y} \right)\].
\[P = \cos \left( {x + y} \right)\].
\[P = \sin \left( {x + y} \right)\].
\[P = \sin \left( {x - y} \right)\].
Chọn C
Ta có: \[\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \sin y\cos x\].
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M,\,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(ACD\), \(O,\,P\)lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(MN\,{\rm{//}}\,BD.\)
\(MN\) và \(AC\) cắt nhau.
\(MN{\rm{// }}OP.\)
\(MN\) và \(BC\)chéo nhau.
Chọn B
\(MN\) và \(AC\) chéo nhau.
Chú ý: Hai đường thẳng muốn cắt nhau thì phải cùng nằm trong một mặt phẳng.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos 24^\circ \) là
\(x = - 24^\circ + k360^\circ {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(x = \pm 24^\circ + k180^\circ {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(x = 24^\circ + k360^\circ {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(x = \pm 24^\circ + k360^\circ {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
Chọn D
Ta có: \(\cos x = \cos 24^\circ \Leftrightarrow x = \pm 24^\circ + k.360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho hình tứ diện \(ABCD\), các điểm \(M\) và \(N\) lần lượt nằm trong tam giác \(ABD\) và \(ACD,AM\) cắt \(BD\) tại \(P\), \(AN\) cắt \(CD\) tại \(Q\), đường thẳng \(PQ\) cắt \(BC\) tại \(E\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\left( {AMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ.\)
\(\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AE.\)
\(\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AP.\)
\(\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AE.\)
Chọn D
Ta có: \(\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABD} \right) = \left( {APQ} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AP\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\parallel CD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Trên cạnh \(SB\) lấy điểm \(M\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
\(SI.\)
\(AE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI\)).
\(DM.\)
\(DE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI\)).
Chọn B
Ta có: \(\left( {ADM} \right) \cap \left( {SAC} \right) = A\)
Ta có: \(SI \cap MD = E\)
Mà \(\left. \begin{array}{l}SI \in \left( {SAC} \right)\\MD \in \left( {AMD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {AMD} \right) = E\). Vậy \(\left( {ADM} \right) \cap \left( {SAC} \right) = AE\)(\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI\)).
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right..\) Năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\(4;16;32;64;128.\)
\(4;6;9;13;18.\)
\(4;5;6;7;8.\)
\(4;5;7;10;14.\)
Chọn D
Ta có: \({u_1} = 4\).
\({u_2} = {u_1} + 1 = 4 + 1 = 5\).
\({u_3} = {u_2} + 2 = 5 + 2 = 7\).
\({u_4} = {u_3} + 7 = 7 + 3 = 10\).
\({u_5} = {u_4} + 4 = 10 + 4 = 14\).
Cho hình chóp tứ giác \(SABCD.\) Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB,\,\,SBC.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(GG'{\rm{//}}AC.\)
\(GG'{\rm{//}}AD.\)
\(GG'{\rm{//}}BD.\)
\(GG'{\rm{//}}AB.\)
Chọn A
· Xét \(\Delta SMN\), ta có \(GG'\parallel MN\) (Theo định lý Talet trong tam giác).
· Xét \(\Delta BAC\), ta có \[MN\parallel AC\] (Theo tính chất đường trung bình trong tam giác).
Vậy \(GG'{\rm{//}}AC.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu là:\(6,11,16,21,26,31,36,....\) Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = 5n - 1.\)
\({u_n} = 5n.\)
\({u_n} = 5 + n.\)
\({u_n} = 5n + 1.\)
Chọn D
Ta có: \({u_1} = 6.\)
\({u_2} = 11 = 5.2 + 1.\)
\({u_3} = 16 = 5.3 + 1.\)
……………….
\({u_7} = 36 = 5.7 + 1.\)
……………….
\( \Rightarrow {u_n} = = 5.n + 1.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng thứ 5 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{2}{3}\).
\( - 1\).
\(\frac{5}{6}\).
Chọn B
Ta có: \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_5} = \frac{{5 - 1}}{{5 + 1}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?
\(1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1; \cdots \)
\(1;{\rm{ }} - \frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }} - \frac{1}{8};{\rm{ }}\frac{1}{{16}}; \cdots \)
\(1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7;{\rm{ }}9; \cdots \)
\(1;{\rm{ }}\frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }}\frac{1}{8};{\rm{ }}\frac{1}{{16}}; \cdots \)
Chọn D
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
A. Dãy số \(1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1; \cdots \) là dãy số hằng.
B. Dãy số \(1;{\rm{ }} - \frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }} - \frac{1}{8};{\rm{ }}\frac{1}{{16}}; \cdots \)dãy đan dấu.
C. Dãy số \(1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7;{\rm{ }}9; \cdots \) là dãy số tăng.
D. Dãy số \(1;{\rm{ }}\frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }}\frac{1}{8};{\rm{ }}\frac{1}{{16}}; \cdots \)là dãy số giảm.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (như hình vẽ). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Khi đó điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SAD} \right).\)
\(\left( {SAB} \right).\)
\(\left( {SBC} \right).\)
\(\left( {ABCD} \right).\)
Chọn B
Cho \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)thỏa mãn \(\cos x = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng
\[ - 7\].
\[\frac{1}{7}\].
\[ - \frac{1}{7}\].
\[7\].
Chọn A
Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}} - 1} = \pm \frac{4}{3}\).
Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \tan \alpha = \frac{4}{3}\).
Ta có: \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 - \frac{4}{3}}} = - 7\).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì bằng
\(2\pi \).
\(3\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\pi \).
Chọn A
Chú ý: * Hàm số \(y = \sin kx\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| k \right|}}\).
* Hàm số \(y = \cos kx\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| k \right|}}\).
* Hàm số \(y = \tan kx\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{{\left| k \right|}}\).
* Hàm số \(y = \cot kx\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{{\left| k \right|}}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cot \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn D
Ta có \(y = \cot \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xác định khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}\).
Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó
có vô số điểm chung.
có một điểm chung.
không có điểm chung.
cùng nằm trong một mặt phẳng.
Chọn C
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \[m\] để phương trình \(\sin x = m - 1\) có nghiệm là:
\[\left[ { - 2;0} \right].\]
\(\left[ {0;1} \right].\)
\[{\rm{[0;2}}].\]
\[\left[ { - 1;1} \right].\]
Chọn C
Phương trình \(\sin x = m - 1\) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).
Số nghiệm của phương trình \[\cos x = \frac{2}{5}\] trên khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right)\] là
\[2\].
\[1\].
\[4\].
\[3\].
Chọn D
Chú ý:Bài này Chương trình 2018 không biện luận để tìm hệ số k được. Chỉ bấm máy tính cầm tay để dò nghiệm của phương trìnhtrên khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right)\].
Quy trình đối với máy tính 580-VNX: Sử dụng chức năng Table
Quy trình | Kết quả |
Quy trình bấm máy tính · Bấm Mode chọn số 8 để chọn chức năng Table · Nhập \[f\left( x \right) = \cos x - \frac{2}{5}\] · Bấm dấu = để lưu · Bấm dấu = Bỏ qua \[g\left( x \right)\]
· Bắt đầu: Nhập \[ - \frac{\pi }{2}\] · Bấm dấu = để lưu · Kết thúc: Nhập \[2\pi \] · Bấm dấu = để lưu · Bước: Nhập \[0.5\] · Bấm dấu = để lưu
· Tại \[f\left( x \right) = 0\] hoặc \[f\left( x \right)\]đổi dấu thì phương trình nhận \[1\] nghiệm · Trong bài này \[f\left( x \right)\] đổi dấu \[3\] lần nên phương trình có \[3\] nghiệm thuộc khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right)\]. | 
|
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \[AD\parallel BC\] và \(AD = 2BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) và \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(BG\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{HB}}{{HG}}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(1\).
\(\frac{1}{3}\).
Chọn B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chọn mặt phẳng \(\left( {SBM} \right) \supset BG\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = BM \cap AC\) . Khi đó, \(\left( {SBM} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\), \(H = BG \cap SI\).
Ta có: \(H \in SI\) mà \(SI \in \left( {SAC} \right)\) suy ra \(H \in \left( {SAC} \right)\)
\(H \in BG\)
Vậy \(H \in BG \cap \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD\), suy ra \(MN\) là đường trung bình trong \(\Delta ACD\), suy ra \(MN\parallel AC\)
Ta có \(BC\parallel AN,BC = AN\) nên tứ giác \(ABCN\) là hình bình hành
Gọi \(J = AC \cap BN\), suy ra \(J\) là trung điểm của \(BN\).
Trong \(\Delta BMN\), ta có \(MN\parallel IJ\) và \(J\) là trung điểm của \(BM\) nên \(IB = IM\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\), kẻ \(GK\parallel SI\) với \(K \in BM\)
Xét \(\Delta SMI\), ta có \(GK\parallel SI\) nên \(\frac{{IM}}{{IK}} = \frac{{SM}}{{SG}} = \frac{3}{2}\)
Xét \(\Delta BGK\), ta có \(GK\parallel IH\) nên \(\frac{{HB}}{{HG}} = \frac{{BI}}{{IK}} = \frac{{IM}}{{IK}} = \frac{3}{2}\) (do \(IM = IK\)).
Đổi góc lượng giác có số đo \(60^\circ \) sang radian ta được
\(6\pi \).
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
Chọn B
Công thức đổi đơn vị giữa độ và rad:\(\frac{\alpha }{{180^\circ }} = \frac{a}{\pi }\), Với \(\alpha \)tính theo đơn vị độ và \(a\) tính theo đơn vị rad.
Ta có: \(\frac{{60^\circ }}{{180^\circ }} = \frac{a}{\pi } \Rightarrow a = \frac{{60^\circ .\pi }}{{180^\circ }} = \frac{\pi }{3}\).
Cho ba mặt phẳng phân biệt \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right),\left( \gamma \right)\) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\); \(\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\); \(\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
\({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) đôi một cắt nhau.
\({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) đôi một song song.
\({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) đồng quy.
\({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\)đôi một song song hoặc đồng quy.
Chọn D
Theo “định lý về ba đường giao tuyến” (Trang 81-Sách KNTT-CS).
Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{11\pi }}{2}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào dưới đây?
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
Chọn C
Ta có: \(\frac{{11\pi }}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + 4\pi \) nên trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{11\pi }}{2}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác \(\frac{{3\pi }}{2}\).
Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \tan x\)
\(y = \sin x\)
\(y = \cot x\)
\(y = \cos x\)
Chọn D
Vì \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\) nên \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
\[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha .\]
\[\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .\]
\[\sin 2\alpha = \sin \alpha \cos \alpha .\]
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1.\]
Chọn C
Ta có: \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\]
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\). Tính \(P = 2\tan \left( {\alpha + 5\pi } \right) + \cot \left( {3\pi - \alpha } \right).\)
\(P = \frac{1}{2}.\)
\(P = \frac{1}{4}.\)
\(P = \frac{1}{6}.\)
\(P = \frac{1}{8}.\)
Chọn C
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\( \Rightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \frac{3}{5}\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{4},\cot \alpha = \frac{4}{3}\).
Ta có: \(P = 2\tan \left( {\alpha + 5\pi } \right) + \cot \left( {3\pi - \alpha } \right) = 2\tan \alpha - \cot \alpha = 2.\frac{3}{4} - \frac{4}{3} = \frac{1}{6}\).
Rút gọn biểu thức \[A = \frac{{\sin 2x + \sin 5x - \sin 3x}}{{1 + \cos x - 2{{\sin }^2}2x}}\] ta được kết quả \[A = a\sin bx.\]Khi đó \[a.b\] bằng
\[0\].
\[2\].
\(4\).
\(3\).
Chọn B
Ta có:
\[A = \frac{{\sin 2x + \sin 5x - \sin 3x}}{{1 + \cos x - 2{{\sin }^2}2x}} = \frac{{2\sin x\cos x + 2\cos 4x\sin x}}{{\cos x + \cos 4x}} = \frac{{2\sin x\left( {\cos x + \cos 4x} \right)}}{{\cos x + \cos 4x}} = 2\sin x\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\]. Vậy: \[a.b = 2.1 = 2\].
Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác?
Hình 2.
Hình 1.
Hình 4.
Hình 3.
Chọn A
Chú ý: Tên gọi của hình chóp là gọi theo đa giác đáy của hình chóp.
Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình: \(x\left( t \right) = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\), \(t\) tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) và \(x\) tính bằng centimet. Hỏi trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây, vật đi qua vị trí cân bằng (vị trí mà \(x = 0\)) bao nhiêu lần?
\[9\].
\[3\].
\[4\].
\(8\).
Chọn A
Vị trí cân bằng của vật dao động điều hoà là vị trí vật đứng yên, khi đó \(x = 0\)
Ta có \(2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\end{array}\]
Trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây, tức là \(0 \le t \le 6\) hay \[0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{{15}} \le k\frac{\pi }{5} \le 6 - \frac{{2\pi }}{{15}}\\ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\end{array}\]
Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\]. Vậy vật đi qua vị trí cân bằng \[9\] lần.
Trên đường tròn lượng giác, nghiệm của phương trình \(2\sin x - 1 = 0\) được biểu diễn bởi những điểm nào trong hình dưới đây?
Điểm \[E\], điểm \[F\].
Điểm \[C\], điểm \[F\].
Điểm \[D\], điểm \[C\].
Điểm \[E\], điểm \[D\].
Chọn C
Ta có: \(2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\)và \(J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\)và \(AC,\,\,G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\)và \((BCD)\) là đường thẳng
qua \(G\)và song song với \(BC.\)
qua \(J\) và song song với \(BD.\)
qua \(I\) và song song với \(AB.\)
qua \(G\)và song song với \(CD.\)
Chọn D
Ta có \(IJ\parallel BC\) (Theo tính chất đường trung bình trong tam giác)
Và \(\left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = G\) nên giao tuyến của \(\left( {GIJ} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(St\) đi qua \(G\)và song song với \(CD.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
\(SO{\rm{ }}(O\) là giao điểm của \(AC\) và\(BD\)).
\(SG{\rm{ }}(G\) là trung điểm \(AB).\)
\(SF{\rm{ }}(F\) là trung điểm \(CD).\)
\(SD.\)
Chọn A
Ta có: \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = S\)
Ta có: \(BD \cap AC \cap MN = O\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AC \in \left( {SAC} \right)\\MN \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right) = O\).
Vậy \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\) (\(O\) là giao điểm của \(AC\) và\(BD\)).
Cho tứ diện \(ABCD\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\), \(I\) là điểm trên đoạn thẳng \(AG\), \(BI\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(J\). Khẳng định nào sau đây sai?
\[AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right)\].
\[A\], \[J\], \[M\] thẳng hàng.
\[J\] là trung điểm \[AM\].
\[DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right)\].
Chọn C
Vì \(I\) là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng \(AG\) nên \[J\] là không phải trung điểm \[AM\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình bình hành có \[AC \cap BD = O\]. Gọi \[M,N,P\] là ba điểm trên các cạnh \[AD,CD,SO\]. Mặt phẳng \[(MNP)\]cắt các mặt của hình chóp theo các đoạn giao tuyến phân biệt. Đa giác được tạo thành từ các đoạn giao tuyến ấy là hình gì?
Ngũ giác.
Tứ giác.
Hình thang.
Hình bình hành.
Chọn A
![Vậy thiết diện là ngũ giác \[MNGHK\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/4-1764170086.png)
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[E,F\] lần lượt là giao điểm của \[MN\] với \[AC\] và \[AB\]
Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi \[G,K\] lần lượt là giao điểm của \[EP\] với \[SC\] và \[SA\], khi đó ta có \[\left( {PMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = GK\].
Trong \[\left( {SAB} \right)\] gọi \[H = KF \cap SA\], khi đó ta có
\[\left( {PMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = KH\]
\[\left( {PMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = HG\]
\[\left( {PMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = GN\]
\[\left( {PMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\]
\[\left( {PMN} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MK\]
Vậy thiết diện là ngũ giác \[MNGHK\] (Thiết diện là hình được tô màu trên hình vẽ).
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (Tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm \(t\) được tính bởi công thức: \(B\left( t \right) = 80 + 7\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\), trong đó \(t\) là số giờ tính từ lúc nửa đêm \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) và \(B\left( t \right)\) tính bằng mmHg. Huyết áp tâm trương của người này (được làm tròn đến hàng đơn vị) vào lúc \(3\) giờ chiều là:
\[80\,\,mmHg\].
\[75\,\,mmHg\].
\[74\,\,mmHg\].
\[86\,\,mmHg\].
Chọn B
Huyết áp tâm trương của người này vào lúc \(3\) giờ chiều (tức là lúc 15 giờ) là:
\(B\left( {15} \right) = 80 + 7\sin \frac{{15\pi }}{{12}} = \frac{{160 - 7\sqrt 2 }}{2} \approx 75\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) được xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right..\) Số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số đã cho là
\({u_n} = {n^{n - 1}}.\)
\({u_n} = {3.2^{n - 1}}.\)
\({u_n} = {2.3^{n - 1}}.\)
\({u_n} = 2.\)
Chọn C
Ta có: \({u_1} = 2\)
\({u_2} = 3.{u_1} = 3.2 = 6\)
\({u_3} = 3.{u_2} = 3.6 = 18\)
Suy ra dãy số là một cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 3\end{array} \right.\).
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {2.3^{n - 1}}.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Ta có : \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 \Leftrightarrow - 2 + 3 \le 3 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 + 3\).
Suy ra \(1 \le y \le 5\). Vậy GTLN của hàm số \(\max y = 5 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
(0,5 điểm)Giải phương trình \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\)
ĐK: \(x \in \mathbb{R}\).
Ta có: \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\,\,\,,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\,\,,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(SC\).
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
c. Gọi \(K\) là giao điểm của \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AGM} \right)\). Chứng minh rằng \(GK//SB\)
a. Ta có:\(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{O \in AC \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)}\\{O \in BD \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). Vậy: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
b. Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in \left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB\parallel CD}\\{AB \subset \left( {ABM} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{\left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = {M_t}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {M_t}\parallel AB\parallel CD\)
Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ đường thẳng đi qua M, song song với \(CD\) và cắt \(SD\)tại \(N\).
Vậy: \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\).
c. Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = AM \cap SO\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(GI\) cắt \(SD\) tại \(K\)\( \Rightarrow K = SD \cap \left( {AMG} \right)\).
Tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AM\) là hai đường trung tuyến.
Suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên ta có \(\frac{{OI}}{{{\rm{O}}S}} = \frac{1}{3}\). (1)
Mặt khác, \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên có \(\frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OG}}{{OB}}\)\( \Rightarrow GI{\rm{ // }}SB\)\( \Rightarrow GK{\rm{ // }}SB\).
(0,5 điểm)Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mỹ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình vẽ: điểm \(M\) mô tả cho con tàu, đường thẳng \(\Delta \) mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách \(h\) (kilômet) từ \(M\) đến \(\Delta \) được tính theo công thức \(h = \left| d \right|\), trong đó \(d = 4\,000\,\cos \left[ {\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right)} \right]\), với \(t\) (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, \(d > 0\) nếu \(M\) ở phía trên \(\Delta \), \(d < 0\) nếu \(M\) ở phía dưới \(\Delta \).
Tìm thời điểm sớm nhất sau khi còn tàu đi vào quỹ đạo để có \(d = 2\,000\).
Khi \(d = 2\,000\) thì \(2\,000 = 4\,000\cos \left[ {\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right) = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{{45}}\left( {t - 10} \right) = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 25 + 90k\\t = - 5 + 90k\end{array} \right.\)
Thời điểm sớm nhất ứng với \(t\) dương nhỏ nhất là 25 phút.
