Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 3
17 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Với \[\alpha \] là góc lượng giác bất kì. Tìm khẳng định đúng
\[ - 1 \le \sin \alpha \le 1\].
\[ - 1 < \sin \alpha < 1\].
\[0 \le \sin \alpha \le 1\]
\[ - 1 \le \sin \alpha \le 0\]
Chọn A
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
Chọn B
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào đúng?
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
Chọn C
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
\(\sin 2x = 2\sin x\).
\(\cos 2x = 2\cos x\sin x\).
\(\cos 2x = 2\cos x\).
Chọn A
Hàm số nào sau đây là một hàm số chẵn ?
\[y = \tan x\].
\[y = \cot x\].
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
Chọn D
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kỳ
\[\pi \].
\[2\pi \].
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
Chọn B
Phương trình \[\sin x = 2023\]
có duy nhất 1 nghiệm.
vô nghiệm.
có vô số nghiệm.
có đúng 2 nghiệm phân biệt
Chọn B
Vì \[ - 1 \le \sin \alpha \le 1\] nên phương trình \[\sin x = 2023\] vô nghiệm.
Phương trình \[\tan x = \tan \alpha \,\](với \[ - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\]) tương đương với phương trình nào sau đây?
\[x = \alpha \].
\[x = \alpha + k\pi \].
\[x = \alpha + k2\pi \].
\[x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\].
Chọn B
Hình chóp tam giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
3.
4.
5.
6.
Chọn D
Cho điểm \[A\] không thuộc đường thẳng \[d\]. Khi đó, qua điểm \[A\] và đường thẳng \[d\] xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
1.
2.
Vô số.
Không mặt nào.
Chọn A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong không gian, nếu 2 đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau.
Trong không gian, nếu 2 đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song.
Trong không gian, nếu 2 đường thẳng song song thì chúng không có điểm chung.
Trong không gian, nếu 2 đường thẳng nằm trên 2 mặt phẳng khác nhau thì chúng chéo nhau.
Chọn C
Cho tứ diện \[ABC{\rm{D}}\] có \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AC\]. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \[MN\]?
\[(ACD)\].
\[(ABD)\]
\[(ABC)\]
\[(BCD)\].
Chọn D
![Cho tứ diện \[ABC{\rm{D}}\] có \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AC\]. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \[MN\]? A. \[(ACD)\]. B. \[(ABD)\] C. \[(ABC)\] D. \[(BCD)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/15-1764167913.png)
\(\left\{ \begin{array}{l}MN//\,BC\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right)\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
a) Tìm \[\cos \alpha \] biết \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}\].
b) Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc \[\alpha \] biết \[\cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \].
a) Tìm \[\cos \alpha \] biết \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}\].
\[\cos \alpha = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}\]
b) Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc \[\alpha \] biết \[\cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \].
\[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\]
Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}\]
\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4}\]
\[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{4}{3}\]
Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\].
TXĐ: \[\mathbb{R}\]
\[\forall x \in \mathbb{R}\], ta có \[ - x \in \mathbb{R}\]
\[f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) = {\sin ^2}x = f\left( x \right)\]. Vậy hàm số chẵn.
Giải phương trình lượng giác:
a) \[2\cos x - 1 = 0\] b) \[\sin 3x = \cos 2x\]
a) \[2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\]
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \]
b) \[\sin 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[M,\,N\] lần lượt thuộc cạnh \[SB,\,SC\] sao cho \[SM = \frac{1}{2}SB;\,SN = \frac{1}{2}SC\].
a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\]. Tìm giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].
b) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\]. Tìm giao điểm của \[AN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\].
c) Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\]
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/16-1764168003.png)
a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\].
\[\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow MN\parallel BC\]
Tìm giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].
Xét \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] có \[S\] chung, \[AB\parallel CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)\]
Giao tuyến là đường thẳng qua \[S\] và song song với \[AB\]
b) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].
\[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
\[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
\[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]
Tìm giao điểm của \[AN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]
Gọi \[E = AN \cap SO\]thì \[E \in SO \subset \left( {SBD} \right)\]
\[E = AN \cap \left( {SBD} \right)\]
c) Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\]
Xét \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] có \[D\] chung, \[AC\] nằm trong \[\left( {ABCD} \right)\] và \[AC\parallel \left( \alpha \right)\]
nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng qua \[D\] và song song với \[AC\], cắt \[BC\] tại \[P\]
Tứ giác \[ACPD\] là hình bình hành nên \[CP = AD = BC\]
Vì \[M,P,K\] đều là điểm chung của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] nên \[M,P,K\] thẳng hàng
Tam giác \[SBP\] có 2 trung tuyến \[SC,\,MP\] nên \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\].
Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn từ vị trí M đến các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Lần đầu tiên, vận động viên bắn trúng mục tiêu A tại một góc ngắm (góc nhọn hợp bởi phương bắn và phương ngang). Nếu tăng góc ngắm đó lên hai lần thì vận động viên bắn trúng mục tiêu B ở độ cao gấp 3 lần độ cao của mục tiêu A (tham khảo hình vẽ). Coi khoảng cách từ mắt vận động viên đến mặt đất không đáng kể. Tính góc ngắm lần đầu tiên của vận động viên.
\[\widehat {AMH} = x\,\,\left( {0 < x < 90^\circ } \right) \Rightarrow \widehat {BMH} = 2x\]
\[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{BH}}{{MH}} = \frac{{3AH}}{{MH}} = 3\tan x\]
\[\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x = 30^\circ \]
(HS tính ra góc \[\frac{\pi }{6}\] rad được chấp nhận)
