Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 1

Chọn A

Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]

Vì \(x \in \left[ {\pi ;5\pi } \right]\) nên \[x = \frac{{13\pi }}{6}\], \[x = \frac{{25\pi }}{6}\].

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\).

Chọn D

Xét hàm \[y = f\left( x \right) = {\sin ^4}2x\].

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

Với mọi \[x \in \mathbb{R}\], ta có: \[ - x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( { - x} \right) = {\left( {\sin \left( {2( - x)} \right)} \right)^4} = {\left( { - \sin 2x} \right)^4} = {\sin ^4}2x = f\left( x \right)\] nên \[y = \cos 3x\] là hàm số chẵn trên \[\mathbb{R}\].

Chọn C

 Phương trình \(\cos 2x = m - 1\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)

Chọn B

Hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy: Tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ {k\pi \,|k \in Z} \right\}.\)

Chọn D

w Dãy số \(2\;,\; - 6\;,\;18\;,\; - 54\) có công bội \(q = - 3.\)

Chọn B

 \[A\] là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {ABG} \right)\).

 \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \[I\] là trung điểm \[CD\], suy ra \[I \in BG\] nên \[I\] là điểm chung thứ hai của \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {ABG} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {ABG} \right)\) là \[AI\].

Chọn C

Ta có \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\]

Suy ra \( - 3072 =  - {3.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 1024 = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11.\)

Vây: Số \( - 3072\) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đã cho.

Chọn B

Số hạng thứ sáu của dãy số đã cho là \[{u_6} = 3.6 - 2 = 16.\]

Chọn C

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\]

\(\forall x \in \mathbb{R}\), ta có\[ - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2 \Leftrightarrow  - 7 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 5 \le  - 3\].

Do đó \[M =  - 3;\,n =  - 7\]. Suy ra : \(T = M - m =  - 3 - \left( { - 7} \right) = 4.\)

Chọn A

Ta có : \(P = \frac{{\left( {\sin 3x + \sin x} \right) + \sin 2x}}{{\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \cos 2x}} = \frac{{2\sin 2x.\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos x + \cos 2x}} = \frac{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \tan 2x.\)

Chọn C

w Ta có \[\cot x = 0 \Leftrightarrow \cot x = \cot 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]

a) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {\frac{\pi }{5} - 2x} \right)\)

Điều kiện xác định:\(\cos \left( {\frac{\pi }{5} - 2x} \right) \ne 0\)

                      \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;,\;k \in Z\\ \Leftrightarrow x \ne  - \frac{{3\pi }}{{20}} - \frac{{k\pi }}{2}\;,\;k \in Z\end{array}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{3\pi }}{{20}} - \frac{{k\pi }}{2}\;\;|k \in Z} \right\}\).

b) Cho \(\cos \alpha  =  - \frac{3}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính \(\sin 2\alpha \) và \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right)\)

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) ta có:

\[\sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\]

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \[\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\]

+) \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha  = 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right).\frac{{\sqrt 7 }}{4} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\)

+) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{6}\)\( =  - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} =  - \frac{{3\sqrt 3  + \sqrt 7 }}{8}\)

a) \(2\sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) = \sin {30^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} - {15^0} = {30^0} + k{360^0}\\\frac{x}{2} - {15^0} = {180^0} - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {90^0} + k{720^0}\\x = {330^0} + k{720^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}x = {90^0} + k{720^0}\\x = {330^0} + k{720^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(2{\cos ^2}x - \sin 3x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = \sin 3x\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 3x\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

a) Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng

\(\left\{ \begin{array}{l}2{u_3} + {u_5} =  - 18\\{u_6} - 3{u_4} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 8d =  - 18\\ - 2{u_1} - 4d = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  - 3\end{array} \right.\).

b) Ta có: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}.\left[ {2.2 + \left( {15 - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right]\)\( =  - 285\).

Gọi \({u_n}\)là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau \(n\) năm

Ta có: \({u_1} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.0,04 = {u_{n - 1}}.1,04\)

Ta có dãy số: \(\left( {{u_n}} \right)\)lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 40 + 40.0,04 = 41,6\) (triệu đồng) và công bội \(q = 1,04\)

Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:

     \({u_4} = {u_1}.{q^3} = 41,6.1,{04^3} = 46,8\) (triệu đồng).

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: \(\left( {SAC} \right)\) và  \(\left( {SBD} \right)\) ; \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\)và \(BD\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}O \in BD\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\)

Mà: \(S \in \left( {SAC} \right)\) và \(S \in \left( {SBD} \right)\)

Vậy: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\)

+) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kéo dài \(AB\)và \(CD\) cắt nhau tại \(I\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in AB\\AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in CD\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right)\)

Mà: \(S \in \left( {SAB} \right)\) và \(S \in \left( {SCD} \right)\)

Vậy: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MG\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(N\)là trung điểm của \(CD\)

Trong \(\Delta SAN\)có: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\;\;;\;\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}\; \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} \ne \frac{{SG}}{{SN}}\)

\( \Rightarrow \)\(MG\) không song song với \(AI\)

Trong \(\left( {SAI} \right)\), kéo dài \(MG\) và \(AI\) cắt nhau tại \(K\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}K \in AI\\AI \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABCD} \right)\)

Vậy: \(K\) là giao điểm của \(MG\) và \(\left( {ABCD} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x - m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - \frac{1}{2}\\\sin 2x = m - 1\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \(\cos x =  - \frac{1}{2}\) có một nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Đặt \(t = 2x\;,\;x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2\pi } \right]\),

Phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(\sin t = m - 1\;\;\left( 3 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\)phải có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{3}\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \sin t\) với \(t \in \left[ {0;2\pi } \right]\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) và khác nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{3}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m - 1 < 1\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 0\\m - 1 \ne  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m \ne 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\).