Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
28 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Cho mệnh đề: “Nếu \[a + b < 2\] thì một trong hai số \[a\] hoặc \[b\] nhỏ hơn 1”. Mệnh đề có thể được phát biểu lại bằng cách nào sau đây?
“Điều kiện đủ để một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1 là \(a + b < 2\)”;
“Điều kiện đủ để \[a + b < 2\] là một trong hai số \[a\] hoặc \[b\] nhỏ hơn 1”;
“Điều kiện cần và đủ để \(a + b < 2\) là một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1”;
“Điều kiện cần và đủ để một trong hai số \[a\] hoặc \[b\] nhỏ hơn 1 là \[a + b < 2\]”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề “Nếu \[a + b < 2\] thì một trong hai số \[a\] hoặc \[b\] nhỏ hơn 1” được phát biểu dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” như sau:
Điều kiện đủ để một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1 là \(a + b < 2\).
Điều kiện cần để \(a + b < 2\) là một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1 là.
Ta có mệnh đề đảo:
Nếu một trong hai số \[a\] hoặc \[b\] nhỏ hơn 1 thì \(a + b < 2\) là chưa đúng với \[a = 0 < 1\] và \[b = 2\] thì \(a + b = 0 + 2 < 2\) là sai. Do đó ta không có mệnh đề điều kiện cần và đủ.
Cho mệnh đề P:"∀x∈ℝ:x2=x".Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\).
P¯:"∃x∈ℝ:x2=x" ;
P¯:"∃x∈ℝ:x2≠x";
P¯:"∃x∈ℕ:x2≠x" ;
P¯:"∀x∈ℚ:x2=x".
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P:"∀x∈ℝ:x2=x" là P¯:"∀x∈ℝ:x2≠x".
Cho các mệnh đề sau đây:
\[\left( I \right):\] Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(AB = AC.\)
\[\left( {II} \right):\] Nếu \(a + b\) là số chẵn thì \(a\) và \(b\) là các số chẵn.
\[\left( {III} \right):\] Nếu tam giác \(ABC\) có tổng hai góc bằng \(90^\circ \) thì tam giác \(ABC\) vuông cân.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
0.
3.
2.
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(AB = AC = BC\). Do đó \(\left( I \right)\) là mệnh đề đúng.
+) Ta có nếu \(a = 3,b = 5\) là các số lẻ vẫn thỏa mãn \(a + b = 3 + 5 = 8\) chẵn. Do đó \(\left( {II} \right)\) là mệnh đề sai.
+) Nếu tam giác \(ABC\) có tổng hai góc bằng \(90^\circ \) thì tam giác \(ABC\) vuông. Do đó \(\left( {III} \right)\) là mệnh đề sai.
Vậy có duy nhất một mệnh đề đúng.
Phát biểu nào sau đây là mệnh đề?
Dịch covid thật khủng khiếp!;
Số \(3\) là số may mắn của tôi;
Trái Đất là một hành tinh trong hệ mặt trời;
Hố đen vũ trụ thật bí ẩn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Câu “Trái Đất là một hành tinh trong hệ mặt trời” là một khẳng định đúng. Do đó đây là một mệnh đề.
Tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 \le x < 11} \right.} \right\}\] bằng tập hợp nào dưới đây?
\[A = \left[ { - 2\,;\,11} \right)\];
\[A = \left[ { - 2\,;\,10} \right]\];
\[A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\];
\[A = \left( { - 2\,;\,11} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 \le x < 11} \right.} \right\} = \left[ { - 2;\,\,11} \right)\].
Cho \(x\) là một phần tử của tập hợp \(A\). Cách viết nào sau đây là đúng?
\(x \subset A\);
\(\left\{ x \right\} \in A\);
\(x \in A\);
\(A \subset \left\{ x \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(x\) là một phần tử của tập hợp \(A\) nên ta viết \(x \in A\).
Cho hai tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{Z},\left| {x - 1} \right| - 5 \le 1} \right\}\). Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp \(M\)?
\(8\);
\(14\);
Vô số;
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \(\left| {x - 1} \right| - 5 \le 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 \ge - 6\\x - 1 \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 5\\x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 7\).
Khi đó \(M = \left\{ { - 5;\, - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\).
Vì vậy có tất cả 7 số nguyên thuộc vào tập hợp \(M\).
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất và \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;\,y} \right) = 4x - 3y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 3\\x - y \le 5\\y \le 5\end{array} \right.\) được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Giá trị \(M - m\) bằng
\(2\);
\(4\);
\(48\);
\(25\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\), \(B\left( {10;\,\,5} \right)\), \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\).
Ta có:
Tại \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\) có \(F\left( { - 2;\,5} \right) = 4.\left( { - 2} \right) - 3.5 = - 23\);
Tại \(B\left( {10;\,\,5} \right)\) có \(F\left( {10;\,5} \right) = 4.10 - 3.5 = 25\);
Tại \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\) có \(F\left( {4;\, - 1} \right) = 4.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 19\).
Suy ra \(M = 25,m = - 23\).
Vì vậy \(M - m = 25 - \left( { - 23} \right) = 48\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai tập hợp khác rỗng. Phát biểu nào dưới đây là sai?
\(\left( {A \cap B} \right) \subset B\);
\(\left( {A\backslash B} \right) \subset B\);
\(B \subset \left( {A \cup B} \right)\)
\(\left( {B\backslash A} \right) \subset B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Ta có:
Khi đó \(\left( {A \cap B} \right) \subset B\). Do đó A đúng.
+) Ta có:
Khi đó \(\left( {A\backslash B} \right) \subset A\). Do đó B sai.
+) Ta có:
Khi đó \(B \subset \left( {A \cup B} \right)\). Do đó C đúng.
+) Ta có:
Khi đó: \(\left( {B\backslash A} \right) \subset B\). Do đó D đúng.
Bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - {12^2}y > 7\);
\(3x + 4{y^2} \le 7\);
\(\frac{2}{x} - 7y > 90\)
\(xy \ge - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7\) có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các hình dưới đây, hình nào biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{2}x - 3y \ge - 3\)?
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vẽ đường thẳng \(d:\frac{1}{2}x - 3y = - 3\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 6;\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,1} \right)\)
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right) \notin d\) có: \(\frac{1}{2}.0 - 3.0 = 0 > - 3\) nên điểm \(O\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) và chứa điểm \(O\) (kể cả đường thẳng \(d\)) được biểu diễn như hình vẽ sau:
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(3mx - y < m + 1\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thỏa mãn cặp \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(m = \frac{5}{4}\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = 2\frac{1}{4}\);
\(m = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 0\) và \(y = - 2\) vào bất phương trình \(3mx - y < m + 1\), ta được:
\(3m.0 - \left( { - 2} \right) < m + 1\)
\( \Leftrightarrow m + 1 < 2\)
\( \Leftrightarrow m < 1\)
Vậy với \(m = - \frac{1}{2} < 1\) thì cặp \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho tập hợp \(A = \left( { - m + 2;\,\,3} \right]\) và \(B = \left[ {m;m + 5} \right]\). Giá trị của \(m\) để \(A \cap B = \emptyset \) là
\(m \ge 3\);
\(\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m \le - \frac{3}{2}\end{array} \right.\);
\(\left[ \begin{array}{l}m < 3\\m \ge - \frac{3}{2}\end{array} \right.\);
\(m < - \frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để \(A \cap B = \emptyset \) thì \(\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m + 5 \le - m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m \le - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 1\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm được biểu diễn như hình vẽ:
Câu nào mô tả đúng nhất miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ không kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ kể đường thẳng \({d_1}\) và không kể đường thẳng \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
Trong các cặp số: \(\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {4;\,\,1} \right)\) có bao nhiêu cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\\2x - y > - 2\end{array} \right.\)?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là C
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y > - 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 - 2.0 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {0;\,0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 1 > - 2 \Leftrightarrow - 3 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 1;\,1} \right)\)không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2 - 2.3 \le 1 \Leftrightarrow - 8 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) - 3 > - 2 \Leftrightarrow - 7 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,3} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 4\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow 2 \le 1\) (vô lí);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.4 - 1 > - 2 \Leftrightarrow 7 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {4;\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cho biết \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = 0\);
\(P = \frac{1}{4}\);
\(P = - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{2}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\) nên \({\rm{sin}}\alpha \ne 0\)
Chia cả tử và mẫu của \(\sin \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - 2\cot \alpha }}{{2\cot \alpha + 3}} = \frac{{2 - 2.\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 3}} = \frac{1}{4}\].
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 0\\y \ge 0\\x \ge - 1\end{array} \right.\). Điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Khi đó biểu thức nào dưới đây là đúng?
\({x_0} + {y_0} \ge 0\);
\({x_0} < 0\);
\({y_0} \ge - 1\);
\({x_0} - {y_0} > - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:
\({x_0} + {y_0} < 0\). Do đó A sai.
\({x_0} \ge - 1\). Do đó B sai.
\({y_0} \ge 0 > - 1\) nên \({y_0} \ge - 1\) là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
\({x_0} - {y_0} > - 1\) là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó D sai.
Cho \(0^\circ \le \alpha ,\beta \le 180^\circ \) thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ \). Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\tan \alpha = {\rm{cos}}\beta \);
\[{\rm{cos}}\alpha = - {\rm{sin}}\beta \];
\(\sin \alpha = - \sin \beta \);
\(\cot \alpha = \tan \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Nếu \(\alpha + \beta = 90^\circ \) thì:
\[{\rm{cos}}\alpha = \sin \beta \]. Do đó B sai.
\(\sin \alpha = {\rm{cos}}\beta \). Do đó C sai.
\(\tan \alpha = {\rm{cot}}\beta \). Do đó A sai.
\(\cot \alpha = \tan \beta \). Do đó D đúng.
Giá trị của biểu thức \(M = \tan \left( { - 10^\circ } \right).\tan 20^\circ ...\tan \left( { - 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \) bằng
\(M = - 1\);
\(M = 1\);
\(M = 0\);
\(M = - 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(M = \tan \left( { - 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\tan \left( { - 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\tan \left( { - 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\tan \left( { - 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \)
\( = \left( { - \tan 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\left( { - \tan 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\left( { - \tan 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\left( { - \tan 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \)
\( = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .\tan 80^\circ \)
\( = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ \tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ \)
\[ = \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)\]
\[ = 1.1.1.1 = 1\].
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) thỏa mãn đẳng thức \[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \]. Giá trị của \(\tan \alpha + \cot \alpha \) là
\(1\);
\( - 2\);
\(0\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + 2.\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 2\]
\[ \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{1}{2}\]
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có: \[\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }}\]
\[ \Rightarrow \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2cm,\widehat {ABC} = 110^\circ ,\widehat {BAC} = 35^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) nằm trong khoảng nào sau đây?
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\,\,5} \right)\);
\(\left( {5;\,\,7} \right)\);
\(\left( {7;\,\,9} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(\widehat C = 180^\circ - 110^\circ - 35^\circ = 35^\circ \)
\( \Rightarrow ABC\) là tam giác cân
\( \Rightarrow AB = AC = 4\,\,cm\)
Áp dụng định lí cos trong tam giác \(ABC\), ta được:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat A\]
\[ = {4^2} + {4^2} - 2.4.4.{\rm{cos110}}^\circ \]
\[ = 42,9\]
\( \Leftrightarrow BC \approx 6,6\,\,\left( {cm} \right)\)
Vì vậy \(6,6 \in \left( {5;\,\,7} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Nhận xét nào dưới đây là sai?
\(\sin \left( {B + C} \right) = \sin A\);
\(\sin B = {\rm{cos}}C\);
\(\tan B = \cot C\);
\(\sin \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \sin \left( {B + C} \right) = \sin A\). Do đó A đúng.
Ta lại có: \(\frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \sin \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) = {\rm{cos}}\frac{A}{2}\). Do đó D sai.
Tại có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)(hai góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \sin B = {\rm{cos}}C\)
\( \Rightarrow \tan B = \cot C\)
Do đó B và C đúng.
Tam giác \[ABC\] có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng
\(2S\);
\(3S\);
\(4S\);
\(6S\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác \[ABC\] ban đầu là: \(S = \frac{1}{2}.CA.BC.\sin C\).
Tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì diện tích tam giác \[ABC\] mới là:
\(S' = \frac{1}{2}.3CA.2BC.\sin C = 6.\frac{1}{2}CA.BC.\sin C = 6S\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,\,BC = 7,\,\,AC = 8\). Chiều cao xuất phát từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) có độ dài là
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\);
\(10\sqrt 3 \);
\(\frac{{20\sqrt 3 }}{7}\);
\(\frac{{10\sqrt 3 }}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Kẻ \(AH \bot BC\)
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \) (đvdt).
Mặt khác, ta có:
\(S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.7.AH = \frac{7}{2}AH = 10\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow AH = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
Vậy độ dài chiều cao xuất phát từ đỉnh \(A\) là: \(\frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\(\frac{{a + b + c}}{S} = r\);
\(\frac{S}{{a + b + c}} = r\);
\[\frac{S}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = r\];
\(\frac{{2S}}{{a + b + c}} = r\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[S = pr\]
Mà \[p\] là nửa chu vi của tam giác \(ABC\) nên \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
Khi đó: \[S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\].
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Cho hai tập hợp \(M = \left( { - \infty ;2} \right)\) và \(N = \left[ { - 3;5} \right)\). Tìm \(M \cap N\).
b) Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường đối với hai môn Văn và Lịch sử, lớp 10 xã hội của trường THPT Núi Thành có 20 em tham gia thi (một học sinh có thể tham gia thi hai môn). Kết quả của cuộc thi là 9 em đoạt giải môn Văn, 8 em đoạt giải môn Sử và 7 em không đoạt giải môn nào. Tìm số học sinh đoạt giải cả hai môn thi đó.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vì vậy \(M \cap N = \left[ { - 3;2} \right)\).
b) Số học sinh đoạt giải ít nhất một trong hai môn thi đó là: 20 – 7 = 13 (học sinh).
Số học sinh đoạt giải cả hai môn thi đó là: 9 + 8 – 13 = 4 học sinh.
Vậy có 4 học sinh đạt giải cả hai môn thi đó.
(1,0 điểm)
Một tháp viễn thông cao \(42\,\,m\) được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(34^\circ \) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp \(33\,\,m\) (như hình vẽ). Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.
Hướng dẫn giải
Ta có hình vẽ sau:
Khi đó: \(\widehat {MHN} = 34^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {PMN} = 90^\circ - \widehat {MHN} = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MNP\), có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP.{\rm{cos}}\widehat {NMP}\)
\( = {33^2} + {42^2} - 2.33.42.{\rm{cos56}}^\circ \)
\( \approx 1302,9\)
\( \Leftrightarrow NP \approx 36,1\).
Vậy chiều dài của sợi dây cáp khoảng \(36,1\,\,m\).
(1,0 điểm) Một công ty cần thuê xe để chở \(120\) người và \(6,5\) tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó loại xe \(A\) có \(9\) chiếc và loại xe \(B\) có \(8\) chiếc. Một chiếc xe loại \(A\) cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại \(B\) cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại \(A\) có thể chở tối đa \(20\) người và \(0,5\) tấn hàng; mỗi chiếc xe loại \(B\) có thể chở tối đa \(10\) người và \(2\) tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là thấp nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi số xe loại \(A\) cần thuê là \(x\) (xe) \(\left( {0 \le x \le 9} \right)\).
Số xe loại \(B\) cần thuê là \(y\) (xe) \(\left( {0 \le y \le 8} \right)\).
Xe loại \(A\) có thể chở tối đa \(20\) người và xe loại \(B\) có thể chở tối đa \(10\) người, cần chở \(120\) người nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là 120. Do đó ta có:
\(20x + 10y \ge 120\) hay \(2x + y \ge 12\).
Xe loại \(A\) có thể chở tối đa \(0,5\) tấn hàng và xe loại \(B\) có thể chở tối đa \(2\) tấn hàng, cần chở \(6,5\) tấn hàng nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là \(6,5\). Do đó ta có:
\(0,5x + 2y \ge 6,5\) hay \(x + 4y \ge 13\).
Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác \(ABCD\) với \(A\left( {2;8} \right)\), \(B\left( {9;8} \right)\), \(C\left( {9;1} \right)\), \(D\left( {5;\,2} \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Chi phí thuê xe là: \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng).
Ta có:
Tại \(A\left( {2;8} \right)\) có \(F\left( {2;8} \right) = 4.2 + 3.8 = 32\);
Tại \(B\left( {9;8} \right)\) có \(F\left( {9;8} \right) = 4.9 + 3.8 = 60\);
Tại \(C\left( {9;1} \right)\)có \(F\left( {9;1} \right) = 4.9 + 3.1 = 39\);
Tại \(D\left( {5;\,2} \right)\) có \(F\left( {5;2} \right) = 4.5 + 3.2 = 26\)
Để chi phí bỏ ra là thấp nhất thì cần thuê 5 loại xe \(A\) và 2 loại xe \(B\).
