Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
28 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán”?
“Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A đều không thích môn Toán”;
“Có một học sinh của lớp 10A thích học môn Toán”;
“Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”;
“Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán” là “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”.
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi
\(P\) sai và \(Q\) đúng;
\(P\) sai và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi và chỉ khi \(P\) đúng và \(Q\) sai.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
"∃x∈ℝ,x2+3=0" ;
"∀x∈ℕ,2x+12−1chia hết cho 4;
"∀x∈ℤ,x5>x2" ;
"∃x∈ℝ,x4+3x2+2=0".’
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Xét phương trình \({x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 3\) (vô lí). Do đó A là mệnh đề sai.
+) Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} - 1 = 4{x^2} + 4x + 1 - 1 = 4{x^2} + 4x = 4x(x + 1)\)
Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x\left( {x + 1} \right) \in \mathbb{N}\)suy ra \(4x(x + 1)\) chia hết cho 4 . Do đó B là mệnh đề đúng.
+) Với \(x = - 1 \in \mathbb{Z}\) thì \({x^5} = {\left( { - 1} \right)^5} = - 1\) và \({x^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) khi đó \( - 1 < 1\) hay \({\left( { - 1} \right)^5} < {\left( { - 1} \right)^2}\). Do đó C là mệnh đề sai.
+) Xét phương trình \({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = - 2\end{array} \right.\) (vô lí).
Suy ra phương trình vô nghiệm. Do đó D là mệnh đề sai.
Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu \(\forall \) hoặc \(\exists \): “Cho hai số thực khác nhau bất kì luôn tồn tại một số hữu tỉ nằm giữa hai số thực đã cho”.
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\)
\(\exists a,b \in \mathbb{R},\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đã cho được viết dưới dạng kí hiệu là: \(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|{x^3} - 8{x^2} + 15x = 0} \right\}\). Số phần tử của tập \(A\) là
\(2\);
\(3\);
\(0\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình:
\({x^3} - 8{x^2} + 15x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 8x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 8x + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(A = \left\{ {3;\,\,5} \right\}\).
Vì vậy tập \(A\) có hai phần tử.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\left( {0;\,\,3} \right] \subset \left( { - 1;\,3} \right)\);
\(\left( { - 1;2} \right) \subset \mathbb{Q}\);
\(\left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right] \subset \mathbb{Z}\);
\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \(3 \in \left( {0;\,\,3} \right]\) nhưng \(3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)\)nên \(\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\) nên \(\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]\) mà \(\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}\). Do đó C sai.
+) Ta có: \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\) nên \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\). Do đó D đúng.
Cho hai tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{Z},\left| {x - 1} \right| \le 1} \right\}\) và \(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 3 \le x < 12} \right\}\). Tập hợp \(\left( {M \cup N} \right)\backslash \left( {M \cap N} \right)\) là
\(\left[ { - 3;0} \right) \cup \left( {2;\,\,12} \right)\);
\(\left[ { - 3;\,\,12} \right)\backslash \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\);
\(\left[ { - 3;\,\,12} \right)\);
\(\left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Xét phương trình \(\left| {x - 1} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 \ge - 1\\x - 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\).
Khi đó \(M = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\)
+) Ta có: \(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 3 \le x < 12} \right\} = \left[ { - 3;\,\,12} \right)\)
\( \Rightarrow M \cup N = \left[ { - 3;\,\,12} \right)\) và \(M \cap N = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\)
\( \Rightarrow \left( {M \cup N} \right)\backslash \left( {M \cap N} \right) = \left[ { - 3;\,\,12} \right)\backslash \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\).
Cho \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba tập hợp bất kì khác rỗng, được biểu diễn bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ biểu diễn tập hợp nào sau đây?
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(\left( {A \cup B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cap C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cup C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\).
Lớp \(10A\) có \(26\)em thích bóng đá, \(30\) em thích bóng chuyền, \(15\) em thích cả bóng đá và bóng chuyền. Hỏi lớp \(10A\) có bao nhiêu học sinh (biết các học sinh của lớp đều thích ít nhất một trong hai môn trên)?
\(56\);
\(71\);
\(41\);
\(45\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta có:
\(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow P \) cùng phương và \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow P \) ngược hướng. Do đó A và B đúng.
Độ lớn của lực \(\overrightarrow F \) lớn hơn độ lớn của lực \(\overrightarrow P \). Do đó C đúng và D sai.
Anh Trung có kế hoạch đầu tư \(400\) triệu đồng vào hai khoản \(X\) và \(Y\). Để đạt được lợi nhuận thì số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất là \(100\) triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản \(X\). Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả về hai khoản đầu tư đó.
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - y \le 10\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 100\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 10\\y \ge 100\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi số tiền anh Trung đầu tư cho khoản \(X\)là \(x\) (triệu đồng), số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) là \(y\) (triệu đồng) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).
Vì số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất là \(100\) triệu đồng nên ta có bất phương trình: \(x \ge 100\).
Số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản \(X\) nên \(y \ge x\) hay \(x - y \le 0\).
Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
Bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - {12^2}y > 7\);
\(3x + 4{y^2} \le 7\);
\(\frac{2}{x} - 7y > 90\)
\(xy \ge - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7\) có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền không gạch chéo (không kể biên) là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(\left( {3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {0;\,\, - 2} \right)\);
\((0;\,\,0)\);
\(\left( {5;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy chỉ có điểm \(\left( {5;0} \right)\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để cặp \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
\(m \ge \frac{1}{4}\);
\(m < - \frac{1}{2}\);
\(m < \frac{1}{4}\);
\(m > - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 1\) và \(y = - 1\) vào bất phương trình \(\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2\), ta được:
\(\left( {3m + 2} \right).1 - \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) < 2\)
\( \Leftrightarrow 3m + 2 + m - 1 < 2\)
\( \Leftrightarrow 4m < 1\)
\( \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\)
Vậy với \(m < \frac{1}{4}\) thì cặp \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hình vẽ sau:
Miền không bị gạch chéo kể cả đường thẳng \({d_2}\) và không kể đường thẳng \({d_1}\) biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 2\\x + 5y \ge 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge 2\\x + 5y < 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge - 2\\x - 5y < 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y < - 2\\x + 5y \ge 10\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Gọi đường thẳng \({d_1}\) có dạng \(y = ax + b\left( 1 \right)\)
Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\)
Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 1 \right)\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\left( { - 2} \right) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_1}:y = x + 2\) hay \({d_1}:x - y = - 2\)
Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 - 0 = 0 > - 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm không kể đường thẳng \[{d_1}\] nên ta có bất phương trình \(x - y < - 2\).
+) Gọi đường thẳng \({d_2}\) có dạng \(y = a'x + b'\left( 2 \right)\)
Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( {10;\,\,0} \right)\)
Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 2 \right)\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.10 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{5}\\b = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_2}:y = - \frac{1}{5}x + 2\) hay \({d_2}:x + 5y = 10\)
Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 + 5.0 = 0 < 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm kể cả đường thẳng \[{d_2}\] nên ta có bất phương trình \(x + 5y \ge 10\).
Cho các hệ sau:
(I). \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\); (II). \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\);
(III). \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + {y^2} \le 0\end{array} \right.\); (IV). \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}y > 0\\\sqrt 2 x - y \le 0\end{array} \right.\).
Số hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
\(0\);
\(1\);
\(2\);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: (I), (II), (III).
Cặp số không phải nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\\2x - 3y > - 2\end{array} \right.\) là
\(\left( {0;\,\,0} \right)\);
\(\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là C
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\left( 1 \right)\\2x - 3y > - 2\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 + 0 \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 3.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {0;\,0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + 1 \le 2 \Leftrightarrow 2 \le 2\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.1 - 3.1 > - 2 \Leftrightarrow - 1 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {1;\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 + 1 \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 3.1 > - 2 \Leftrightarrow - 5 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 1;\,1} \right)\)không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = - 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 + \left( { - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le 2\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) > - 2 \Leftrightarrow 1 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( { - 1;\, - 1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = 0\);
\(P = \frac{1}{4}\);
\(P = - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{2}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha \ne 0\)
Chia cả tử và mẫu của \(\cos \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\].
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y < 0\\x \ge 0\\x - y \ge - 1\end{array} \right.\). Điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Khi đó biểu thức nào dưới đây là đúng?
\(2{x_0} - 4{y_0} \ge 0\);
\({x_0} < 0\);
\({x_0} = {y_0}\);
\({x_0} - {y_0} > - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:
\(2{x_0} - 4{y_0} < 0\). Do đó A sai.
\({x_0} \ge 0\). Do đó B sai.
\({x_0} - {y_0} \ge - 1\) nên \({x_0} - {y_0} > - 1\) là mệnh đề đúng. Do đó D đúng.
\({x_0} = {y_0}\) là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó C sai.
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) thỏa mãn \(0^\circ \le \alpha ,\beta \le 180^\circ \). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Nếu \(\alpha > \beta \) thì \(\tan \alpha > \tan \beta \);
Nếu \(\alpha = - \beta \) thì \[{\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta \];
Nếu \(\alpha > \beta \) thì \(\sin \alpha = - \sin \beta \);
Nếu \(\alpha = - \beta \) thì \(\cot \alpha = \cot \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\alpha = - \beta \) thì \[{\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta \]. Do đó B đúng.
Giá trị của biểu thức \(M = \tan 150^\circ + \cot 30^\circ \) xấp xỉ
\(M = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\);
\(M = \sqrt 3 \);
\(M = \frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(M = \tan 150^\circ + \cot 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Cho \(0^\circ \le \beta \le 180^\circ \) thỏa mãn đẳng thức \[{\rm{cos}}\left( { - 5{\rm{7}}^\circ } \right) = \sin \left( \beta \right)\]. Giá trị của \(\beta \) thỏa mãn đẳng thức trên là
\( - 57^\circ \);
\(33^\circ \);
\(327^\circ \);
\({\rm{157}}^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là B
\[{\rm{cos}}\left( { - 5{\rm{7}}^\circ } \right) = {\rm{cos}}5{\rm{7}}^\circ = {\rm{cos}}\left( {90^\circ - 33^\circ } \right) = \sin 33^\circ \]
Vậy \(\beta = 33^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\). Tính \(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\).
\(P = 1\);
\(P = - 1\);
\(P = 2\);
\(P = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\)
\( = \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]\)
\( = \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)\)
\( = {\sin ^2}A + {\cos ^2}A\)
\( = 1\).
Cho tam giác \[ABC\] với \(BC = a\sqrt 2 \), \(\widehat {BAC} = 150^\circ \). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là
\(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(R = a\sqrt 3 \).
\(R = a\sqrt 2 \).
\(R = 2a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \[ABC\]:
Áp dụng định lí sin trong tam giác \[ABC\] ta được:
\(R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 150^\circ }} = \sqrt 2 a\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,\,BC = 7,\,\,AC = 8\). Diện tích tam giác \(ABC\) là
\(10\sqrt 3 \);
\(60\sqrt {13} \);
\(280\);
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \) (đvdt).
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\(\frac{{a + b + c}}{S} = r\);
\(\frac{S}{{a + b + c}} = r\);
\[\frac{S}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = r\];
\(\frac{{2S}}{{a + b + c}} = r\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[S = pr\]
Mà \[p\] là nửa chu vi của tam giác \(ABC\) nên \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
Khi đó: \[S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\].
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 < 4} \right\}\). Tìm tập hợp \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B\).
b) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 6;0} \right]\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0} \right\}\), với \(m \in \mathbb{R}\). Tìm m để tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\)
\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,\, - 9} \right) \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\)
Xét \(x + 2 < 4 \Leftrightarrow x < 2\)
\( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Vì vậy \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B = \left[ {5;\,\, + \infty } \right)\).
b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ { - 6;0} \right]\).
Xét phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)\)
TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{7}{2} \in \left[ { - 6;0} \right]\).
Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4m\left( {7 - m} \right) = 5{m^2} - 32m + 4 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;0} \right]\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}\\m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;\,\,0} \right]\end{array} \right.\)
Với \(m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}\) ta có \(\frac{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 - \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với \(m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}\) ta có \(\frac{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 + \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy với \(m = 0\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).
(1,0 điểm)
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng \(A\), đi theo hướng \(N60^\circ E\) với vận tốc \(60km/h\) (\(N60^\circ E\) là hướng tạo với hướng bắc một góc \(60^\circ \) và tạo với hướng đông một góc \(30^\circ \)). Đi được \(90\) phút thì động cơ bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng bắc với vận tốc \(6\,\,km/h\). Sau \(3\) giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. Tính khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu.
a)
b) Ta có hình vẽ:
Quãng đường di chuyển của tàu từ \(A\) đến vị trí \(B\) (động cơ tàu bị hỏng) sau \(1,5\) giờ với vận tốc \(60km/h\) là: \(60\,.\,1,5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)\).
Quãng đường di chuyển của tàu từ \(B\) đến vị trí \(C\) (nơi neo đậu) sau \(3\) giờ với vận tốc \(6\,\,km/h\) là: \(6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)\).
Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\) (định lí cosin)
\( = {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ \)
\( = 10\,\,044\)
\( \Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31} \approx 100\,\,\left( {km} \right)\).
Vậy khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng \(100\,\,km\).
(1,0 điểm) Anh An làm nghề thợ mộc chuyên đóng bàn và ghế học sinh. Mỗi cái bàn anh bán lãi được \(150\) nghìn đồng, mỗi cái ghế bán lãi được \(100\) nghìn đồng. Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ. Anh đóng một cái bàn tốn hết \(6\) giờ và đóng một cái ghế tốn hết \(3\) giờ. Để có lãi, anh An phải làm số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần. Hỏi một tuần anh An phải đóng bao nhiêu cái bàn, bao nhiêu cái ghế để số tiền lãi thu về lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).
Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).
Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).
Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).
Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);
Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);
Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).
Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.
