Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7
28 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > - 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},x > 1 \Rightarrow {x^2} > 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \({x^2} > 1 \Rightarrow \left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\). Do đó mệnh đề A, B sai.
+) Ta có: \(x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\) là mệnh đề sai vì với \(x = - \frac{1}{2} > - 1\) nhưng \({\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} < 1\). Do đó C sai và D đúng.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “số 12 chia hết cho 4 và 3” là
“Số 12 hoặc chia hết cho 4 hoặc chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 và chia hết cho 3”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “số 12 chia hết cho 4 và 3” là “Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”.
Cho mệnh đề chứa biến P:"a+3≥2". Với giá trị nào của \(a\) ta được mệnh đề sai?
\(a = - 2\);
\(a = 7\);
\(a = - 1\);
\(a = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(a = - 2\) ta có mệnh đề là mệnh đề sai. Do đó A đúng.
Với \(a = 7\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó B sai.
Với \(a = - 1\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó C sai.
Với \(a = 1\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó D sai.
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
“Lá cây có màu xanh rất đẹp”;
“ABCD là hình bình hành”;
“Cốm làng Vòng là ngon nhất”;
“Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Trung Việt Nam”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các câu ở đáp án A, B, C là các câu khẳng định nhưng chưa xác định được tính đúng sai. Do đó các câu này không phải mệnh đề.
Câu “Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Trung Việt Nam” là câu khẳng định sai nên là mệnh đề. Do đó D đúng.
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
\(M = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 16 = 0} \right\}\);
\(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} + 2x - 5 = 0} \right\}\);
\(P = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 15 = 0} \right\}\);
\(Q = \left\{ {x \in \mathbb{Q}|{x^2} + 3x - 4 = 0} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Ta có: \({x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)
Vì \( - 4 \notin \mathbb{N}\) nên \(M = \left\{ 4 \right\} \ne \emptyset \). Do đó A sai.
+) Ta có: \({x^2} + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 6 \\x = - 1 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Cả hai giá trị \( - 1 + \sqrt 6 \) và \( - 1 - \sqrt 6 \) đều là số thực nên \(N = \left\{ { - 1 - \sqrt 6 ; - 1 + \sqrt 6 } \right\} \ne \emptyset \).
Do đó B sai.
+) Ta có: \({x^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {15} \\x = - \sqrt {15} \end{array} \right.\)
Mà \( - \sqrt {15} ;\,\,\sqrt {15} \notin \mathbb{Z}\) nên \(P = \emptyset \). Do đó C đúng.
+) Ta có: \({x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\)
Mà \( - 4;\,\,1 \in \mathbb{Q}\) nên \(Q = \left\{ { - 4;\,\,1} \right\} \ne \emptyset \). Do đó D sai.
Cho hai tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - x = 0} \right\}\) và \(N = \left\{ {0;\,\,a} \right\}\). Với giá trị nào của \(a\) thì \(M = N\)?
\(a = 2\);
\(a = 1\);
\(a = \frac{1}{2}\);
\(a = - \frac{1}{2}\) hoặc \(a = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \(2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M = \left\{ {0;\,\,\frac{1}{2}} \right\}\).
Để \(M = N\) thì \(a = \frac{1}{2}\).
Cho hai tập hợp \(E = \left[ {2;\,\,4} \right]\) và \(F = \left( {0;3} \right)\). Tập hợp \(E \cup F\) bằng
\(\left( {0;\,\,4} \right]\);
\(\left[ {3;\,\,4} \right]\);
\(\left[ {2;3} \right)\);
\(\left[ {0;\,\,3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
Khi đó: \(E \cup F = \left( {0;\,\,4} \right]\).
Cho các tập hợp sau: \(A\) = {\(x|x\) là hình bình hành}, \(B\) = {\(x|x\) là hình chữ nhật}, \(C\) = {\(x|x\) là hình thoi}, \(D\) = {\(x|x\) là hình vuông}. Mệnh đề nào sau đây sai?
\(B \cap C = D\);
\(C \cap D = D\);
\(B \cup C = D\);
\(B \cap D = D\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Ta có: \(B \cap C = \){\(x|x\) vừa là hình chữ nhật và \(x\) vừa là hình thoi} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(C \cap D = \){\(x|x\) vừa là hình thoi và \(x\) vừa là hình vuông} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(B \cup C = \){\(x|x\) là hình chữ nhật hoặc \(x\) vừa là hình thoi} \( \ne \) \(D\). Do đó C đúng.
+) Ta có: \(B \cap D = D\){\(x|x\) là hình chữ nhật và \(x\) là hình vuông} = {\(x|x\) là hình vuông} = \(D\). Do đó D sai.
Cho tập hợp \(X = \){\(x \in \mathbb{N}|x\)là ước của \(18\) và \(12\)}. Số tập con khác rỗng của tập \(X\) là
\(4\);
\(15\);
\(16\);
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(18 = {2.3^2},\,\,12 = {2^2}.3\). Khi đó ƯCLN\(\left( {18,12} \right) = 2.3 = 6\).
\( \Rightarrow \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ { - 6;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\).
Ta lại có \(x\) là ước của \(18\) và \(12\) nên \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\).
Số tập con khác rỗng của tập \(X\) là \({2^4} - 1 = 15\).
Lan muốn đống góp quà trung thu cho các cháu thiếu nhi bằng cách mua \(2\) loại kẹo từ số tiền tiết kiệm \(350\,\,000\)đồng của mình. Biết kẹo hương dâu giá \(32\,\,000\)đồng/ hộp, kẹo hương cam giá \(36\,\,000\)đồng/hộp. Lan đã mua \(x\) hộp kẹo hương dâu và \(y\)hộp kẹo hương cam. Bất phương trình nào sau đây mô tả điều kiện ràng buộc với \(x,y\)?
\(x + y \ge 35\);
\(32x + 36y \ge 350\);
\(32x + 36y \le 350\);
\(36x + 32y \le 350\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số tiền mà Lan bỏ ra để mua \(x\) hộp kẹo hương dâu và \(y\)hộp kẹo hương cam là:
\(32\,\,000x + 36\,\,000y\) (đồng).
Vì số tiền tiết kiệm của Lan chỉ có \(350\,\,000\)đồng nên ta có bất phương trình:
\(32\,\,000x + 36\,\,000y \le 350\,\,000\) hay \(32x + 36\,y \le 350\).
Cặp số nào sau đây không phải là một nghiệm của bất phương trình \(x - 4y \ge 23\)?
\(\left( { - 7;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( { - 5;\,\,6} \right)\);
\(\left( {30;\,\,1} \right)\);
\(\left( {25; - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \(x = - 7\) và \(y = - 8\) vào bất phương trình đã cho ta được: \( - 7 - 4.\left( { - 8} \right) \ge 23 \Leftrightarrow 25 \ge 23\) là mệnh đề đúng. Do đó \(\left( { - 7;\,\, - 8} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó A sai.
+) Thay \(x = - 5\) và \(y = 6\) vào bất phương trình đã cho ta được: \( - 5 - 4.6 \ge 23 \Leftrightarrow - 29 \ge 23\) là mệnh đề sai. Do đó \(\left( { - 5;\,\,6} \right)\) không là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó B đúng.
+) Thay \(x = 30\) và \(y = 1\) vào bất phương trình đã cho ta được: \(30 - 4.1 \ge 23 \Leftrightarrow 26 \ge 23\) là mệnh đề đúng. Do đó \(\left( {30;\,\,1} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó C sai.
+) Thay \(x = 25\) và \(y = - 1\) vào bất phương trình đã cho ta được: \(25 - 4.\left( { - 1} \right) \ge 23 \Leftrightarrow 29 \ge 23\) là mệnh đề đúng. Do đó \(\left( {25; - 1} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó D sai.
Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax + by < c\] là
tập hợp các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \[ax + by < c\];
tập hợp các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \[ax + by \le c\];
tập hợp các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \[ax + by \ge c\];
tập hợp các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \[ax + by = c\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax + by < c\] là tập hợp các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \[ax + by < c\].
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\) chứa điểm nào đưới đây?
\(\left( { - 1;4} \right)\);
\(\left( { - 11;4} \right)\);
\(\left( {0;0} \right)\);
\(\left( { - 3;4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 4\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:
\(2.\left( { - 1} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow 9 > 0\) là mệnh đề đúng;
\(5.\left( { - 1} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow - 5 < 0\) là mệnh đề đúng.
Suy ra cặp số \(\left( { - 1;4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Do đó A đúng.
+) Thay \(x = - 11\) và \(y = 4\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:
\(2.\left( { - 11} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow - 11 > 0\) là mệnh đề sai;
\(5.\left( { - 11} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow - 55 < 0\) là mệnh đề đúng.
Suy ra cặp số \(\left( { - 11;4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Do đó B sai.
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:
\(2.0 + 3.0 - 1 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0\) là mệnh đề sai;
\(5.0 - 0 + 4 < 0 \Leftrightarrow 4 < 0\) là mệnh đề sai.
Suy ra cặp số \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Do đó C sai.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + {y^2} < 10\\x - 2y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{9^2}x - \sqrt y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 7 .x - y{.3^2} > 0\\x + y \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + y > 0\\{x^2} - y \le 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 7 .x - y{.3^2} > 0\\x + y \le 0\end{array} \right.\).
Cho biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x - 2y + 1\) với \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {x;\,y} \right)\)có giá trị là
\(\left( {0;\,\,5} \right)\);
\(\left( {0;\,\,0} \right)\);
\(\left( {2;\,\,4} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,5} \right)\), \(B\left( {2;\,\,4} \right)\), \(C\left( {4;\,\,0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các điểm \(O,\,A,\,B,\,C\) là:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\): \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 0 - 2.0 + 1 = 1\);
Tại \(A\left( {0;\,\,5} \right)\): \(F\left( {0;\,\,5} \right) = 0 - 2.5 + 1 = - 9\);
Tại \(B\left( {2;\,\,4} \right)\): \(F\left( {2;\,\,4} \right) = 2 - 2.4 + 1 = - 5\);
Tại \(C\left( {4;\,\,0} \right)\): \(F\left( {4;\,\,0} \right) = 4 - 2.0 + 1 = 5\).
Vậy Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {0;\,\,5} \right)\).
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc bù nhau, đẳng thức nào sau đây sai?
\(\cos \alpha = \cos \beta \);
\(\sin \alpha = \sin \beta \);
\(\alpha + \beta = 180^\circ \);
\(\tan \alpha = - \tan \beta \left( {\alpha ,\beta \ne 90^\circ } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc bù nhau. Khi đó:
\(\alpha + \beta = 180^\circ \). Do đó C là khẳng định đúng.
\(\cos \alpha = - \cos \beta \). Do đó A là khẳng định sai.
\(\sin \alpha = \sin \beta \). Do đó B là khẳng định đúng.
\(\tan \alpha = - \tan \beta \left( {\alpha ,\beta \ne 90^\circ } \right)\). Do đó D là khẳng định đúng.
Giá trị của biểu thức \(M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ \) bằng
\(M = 1\);
\(M = 2\);
\(M = - 1\);
\(M = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ \)
\( = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ \)
\( = \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ } \right) + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ \)
\( = 1 + 1\)
\( = 2\)
Giá trị \(\cot 87^\circ 6'\)gần với kết quả nào nhất sau đây?
\(19,7\);
\( - 0,05\);
\(0,1\);
\( - 19,7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được: \(\cot 87^\circ 6' \approx 0,1\).
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\sin x + {\rm{cos}}x = 1\);
\(1 + {\sin ^2}x = \frac{1}{{{{\cot }^2}x}}\);
\({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);
\[\tan x = \frac{{{\rm{cos}}\,x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\({\sin ^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1\). Do đó A sai.
\(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\). Do đó B sai.
\({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Do đó C đúng.
\[\tan x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}{{{\rm{cos}}\,x}}\]. Do đó D sai.
Cho biết \(\tan \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Giá trị của \(P = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = \sqrt 3 \);
\(P = \sqrt 3 - 1\);
\(P = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}\);
\(P = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Với \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) và \[{\rm{cos}}\alpha \ne {\rm{0}}\] ta có \(\tan \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \[{\rm{cos}}\alpha \] ta được:
\(P = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{1 + 3\tan \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} - 1}}{{1 + 3.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}\).
Cho \[\sin x + {\rm{cos}}x = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\]. Tính giá trị của biểu thức \(M = \sin x\,.\,{\rm{cos}}x\).
\(M = \frac{{{m^2} + 1}}{2}\);
\(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\);
\({m^2} - 1\);
\({m^2} + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\sin x + {\rm{cos}}x = m\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^2} = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.{\rm{cos}}x = {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin x.{\rm{cos}}x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].
Vậy \(M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 9\,\,cm,\,BC = 15\,\,cm,\,\,AC = 12\,\,cm\). Khi đó đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) có độ dài là
\(10\,\,cm\);
\(9\,\,cm\);
\(7,5\,\,cm\);
\(8\,\,cm\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là:
\(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{{12}^2} + {9^2}}}{2} - \frac{{{{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}\)
\( \Rightarrow {m_a} = \frac{{15}}{2} = 7,5\).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\)là trung điểm cạnh \(BC\) và \(F\) là trung điểm cạnh \(AE\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DF\).
\(DF = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\);
\(DF = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\);
\(DF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);
\(DF = \frac{{3a}}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:
\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)
\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)
\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)
Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).
Xét tam giác \(ADF\), có:
\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)
\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)
\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)
Công thức heron tính diện tích tam giác \(ABC\) là
\(S = pr\);
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \);
\(S = \frac{1}{2}.a.b.\sin C = \frac{1}{2}.b.c.\sin A\);
\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Công thức heron tính diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2cm,\widehat {ABC} = 30^\circ ,\widehat {BAC} = 85^\circ \). Độ dài cạnh \(BC\) nằm trong khoảng nào dưới đây?
\(\left( {3;6} \right)\);
\(\left( {10;12} \right)\);
\(\left( {7;\,\,10} \right)\,\,\);
\(\left( {1;\,\,4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 85^\circ } \right) = 55^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 55^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 85^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 85^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 2,4 \in \left( {1;\,\,4} \right)\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Kí hiệu \(H\) là tập hợp học sinh lớp 10A1, \(T\) là tập hợp các học sinh nam và \(G\) là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A1. Hãy các định các tập hợp \(T \cup G,\,\,T \cap G\) và \(H\backslash T\).
b) Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0} \right\}\) và
\(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0} \right\}\). Tìm điều kiện của tham số m để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(T \cup G\) là tập hợp số học sinh của lớp 10A1 hay \(T \cup G = H\).
\(T \cap G = \emptyset \).
\(H\backslash T\) là tập hợp học sinh của lớp 10A1 không chứa học sinh nam nên \(H\backslash T = G\).
b) Xét phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) mà \(\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}\).
Khi đó tập hợp \(A\) có \(2\) phần tử vậy để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử thì một phần tử nữa phải lấy từ tập hợp \(B\) và giả sử đó là phần tử \(b\left( {b \ne - 2;b \ne 1} \right)\).
Theo đầu bài ta có: \({\left[ {b + \left( { - 2} \right) + 1} \right]^2} = 9\)
\( \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 9\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 1 = 3\\b - 1 = - 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(b = 4\) là thỏa mãn yêu cầu.
Vì \(b = 4 \in B\) nên ta có \({4^2} - \left( {2m + 1} \right)4 + 2m = 0\)
\( \Leftrightarrow 16 - 8m - 4 + 2m = 0\)
\( \Leftrightarrow 12 - 6m = 0\)
\( \Leftrightarrow m = 2\).
Vậy với \(m = 2\) thì\(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.
(1,0 điểm) Sắp đến Tết, một hộ nông dân dự định trồng hoa Thược dược và hoa Cúc để bán trên diện tích 12 ha. Nếu trồng Thược dược thì cần 10 công và thu được 11 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng Cúc thì cần 15 công và thu 14 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu về số tiền lớn nhất, biết rằng tổng số công không quá 150.
Hướng dẫn giải
Gọi diện tích trồng Thược dược là \(x\) (ha), diện tích trồng Cúc là \(y\) (ha), \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).
Khi đó ta có:
Tổng diện tích trồng Thược dược và trồng cúc trên diện tích 12 ha nên \(x + y \le 12\)(1).
Số công trồng hai loại cây trên là \(10x + 15y\) (công)
Mà tổng số công không quá 150 nên ta có \(10x + 15y \le 150\) hay \(2x + 3y \le 30\)(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 12\\2x + 3y \le 30\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,10} \right)\), \(B\left( {6;\,\,6} \right)\), \(C\left( {12;\,\,0} \right)\).
Số tiền thu bác nông dân thu được khi trồng \(x\) (ha) Thược dược và \(y\) (ha) Cúc là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 11x + 14y\) (triệu đồng).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 11.0 + 14.0 = 0\);
Tại \(A\left( {0;\,\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,\,10} \right) = 11.0 + 14.10 = 140\);
Tại \(B\left( {6;\,\,6} \right)\), \(F\left( {6;\,\,6} \right) = 11.6 + 14.6 = 150\);
Tại \(C\left( {12;\,\,0} \right)\), \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 11.12 + 14.0 = 132\).
Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất thì hộ nông dân cần trồng 6 ha Thược dược và 6 ha trồng Cúc.
(1,0 điểm) Khi khai quật một ngôi mộ cổ người ta tìm được một mảnh của một chiếc đĩa phẳng hình tròn bị vỡ. Dựa vào các tài liệu đã có, các nhà khảo cổ đã biết hình vẽ phần còn lại của chiếc đĩa. Họ muốn làm chiếc đĩa mới phỏng theo chiếc đĩa này. Em hãy giúp họ tìm bán kính chiếc đĩa biết \(AB = 4,3\,cm;\,\,AC = 7,5\,\,cm;\,\,BC = 3,7cm\).
Hướng dẫn giải
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{4,3 + 7,5 + 3,7}}{2} = 7,75\,\left( {cm} \right)\).
Khi đó diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {7,75\left( {7,75 - 4,3} \right)\left( {7,75 - 7,5} \right)\left( {7,75 - 3,7} \right)} \)
\( \approx 5,2\,\,\left( {cm} \right)\).
Vành ngoài chiếc đĩa chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên bán kính chiếc đĩa chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và bằng:
\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{abc}}}} \approx \frac{{4,3.7,5.3,7}}{{4.5,2}} \approx 5,7\,\left( {cm} \right)\).
Vì vậy bán kính chiếc đĩa khoảng \(5,7\,\,cm\).
