Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P\) là: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng và có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Câu “\(x > 3\)” là câu có tính đúng sai phụ thuộc vào biến. Do đó đây là mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề. Do đó A đúng.

+) Câu “Tam giác cân có một góc bằng \(45^\circ \) là tam giác vuông cân” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó B sai.

+) Câu “Trong một tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó C sai.

+) Câu “\(135\) là một số nguyên tố” là khẳng định sai nên đây là mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bằng cách sử dụng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ta có thể phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) như sau:

“Điều kiện cần để tứ giác \(ABCD\) là hình thoi là\(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;

“Điều kiện đủ để tứ giác \(ABCD\)có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là tứ giác \(ABCD\) là hình thoi”.

Do đó B đúng; A, C, D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phần không bị gạch trên trục số biểu diễn tập hợp \(\left( { - 1;\,\,7} \right]\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các tập con của \(M\) gồm \(4\) phần tử và luôn chứa các phần tử \(1;\,\,3;\,\,a\) là:

\(\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,4} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,b} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,d} \right\}\).

Vậy có tất cả \(3\) tập hợp thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét \({x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(H = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x > 0} \right\} = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\)

\( \Rightarrow \mathbb{N}\backslash H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập \(A \cup B\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số học sinh của lớp 10A2 là:

\(21 + 24 - 15 + 11 = 41\) (học sinh).

Vậy lớp 10A2 có \(41\) học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by > c\) là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:ax + by = c\) chứa điểm \(M({x_0};\,\,{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} > c\) và kể cả đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi đường thẳng biên của miền nghiệm là \(d:y = mx + n\)

Ta thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (2; 0). Khi thay lần lượt tọa độ các điêm này vào đường thẳng \(d\) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 = m.0 + n\\0 = m.2 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{2}\\n = 0\end{array} \right.\).

Khi đó đường thẳng \(d:y = - \frac{3}{2}x + 3\) hay \(d:3x + 2y = 6\)

Lấy điểm \(O(0;\,\,0)\) ta có: \(3.0 + 2.0 = 0 < 6\), mà điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên từ đó ta có bất phương trình cần tìm là: \(3x + 2y \ge 6\).

Suy ra \(a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 6\) nên \(a\,\, - \,\,b\,\, + \,\,c = 3 - 2 + 6 = 7\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì cặp \(\left( {5;\,\, - 4} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho nên thay \(x = 5,y =  - 4\) vào bất phương trình, ta được:

\(\left( {m - 1} \right).5 - 2m.\left( { - 4} \right) \ge 9\)

\( \Leftrightarrow 5m - 5 + 8m \ge 9\)

\( \Leftrightarrow 13m \ge 14\)

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{14}}{{13}}\)

Vậy \(m \ge \frac{{14}}{{13}}\) thì cặp \(\left( {5;\,\, - 4} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền trong tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,\,5} \right),\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {4;\,\,0} \right)\).

Tính giá trị biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các điểm \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\), ta được:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\,\)ta có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1\);

Tại \(A\left( {0;\,\,5} \right)\) ta có \(F\left( {0;\,\,5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 =  - 9\);

Tại \(B\left( {2;\,\,4} \right)\) ta có \(F\left( {2;\,\,4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 =  - 1\);

Tại \(C\left( {4;\,\,0} \right)\) ta có \(F\left( {4;\,\,0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) là 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay \(x = 0\) và \(y = 3\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình \(x - y \ge  - 1\) vì \(0 - 3 \ge  - 1 \Leftrightarrow  - 3 \ge  - 1\) là mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( {0;\,\,3} \right)\) không thỏa mãn.

+) Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Do đó cặp \(\left( {1;\,\,1} \right)\) thỏa mãn.

+) Thay \(x =  - 1\) và \(y = 0\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình \(x \ge 0\) vì \( - 1 \ge 0\) là mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) không thỏa mãn.

+) Thay \(x =  - 2\) và \(y = 1\) vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn hai bất phương trình \(x \ge 0\) và \(x - y \ge 1\) vì \( - 2 \ge 0\) và \( - 2 - 1 \ge 1\) là các mệnh đề sai. Do đó cặp \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\) không thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos 120^\circ  =  - \frac{1}{2}\) và \(\sin 120^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó C sai và D đúng.

\(\tan 120^\circ  =  - \sqrt 3 \) và \(\cot 120^\circ  =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Do đó A và B sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(M = \sin 45^\circ .\cos 135^\circ  + \cos 60^\circ .\sin 150^\circ  - \cos 30^\circ .\sin 120^\circ \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4}\)

\( =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = \frac{3}{4}\]

\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{5}{{16}}\]

\[ \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\] (vì \(0^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên  \(\sin \alpha  > 0\)).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\)

\( = \sin A.\sin \left[ {180^\circ  - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ  - \left( {B + C} \right)} \right]\)

\( = \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)\)

\( = {\sin ^2}A + {\cos ^2}A\)

\( = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \alpha  = 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của \(\cos \alpha \) ta được:

\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha  - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(67^\circ  + 113^\circ  = 180^\circ \)

Khi đó: \[{\rm{cos67}}^\circ  =  - {\rm{cos}}113^\circ \]. Do đó A và B sai.

Ta lại có: \(67^\circ  + 23^\circ  = 90^\circ \)

Khi đó: \[{\rm{cos67}}^\circ  = \sin 23^\circ \]. Do đó C đúng và D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có: 

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.{\rm{cos}}\widehat C\)

\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.{\rm{cos175}}^\circ \)

\( \approx 168,7\)

\( \Leftrightarrow c \approx 13\).

Chu vi của tam giác ABC là: \(K \approx 5 + 8 + 13 = 26\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)}  = 10\sqrt 3 \) (đvdt).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

\(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{5.7.8}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác \(ABC\), có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Leftrightarrow \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\), có: \[\widehat {ACB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ  - \left( {60^\circ  + 75^\circ } \right) = 45^\circ \]

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 75^\circ }} = \frac{2}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ  \approx 2,37\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 6 < 2x \le 8} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 3 < x \le 4} \right\} = \left( { - 3;\,\,4} \right]\).

\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Xét \(\left| {x + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 1\)

\( \Rightarrow B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| {x + 1} \right| \le 2} \right\} = \left[ { - 3;\,\,1} \right]\).

\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}B = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

Vì vậy \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash \left( {{C_\mathbb{R}}B} \right) = \left\{ { - 3} \right\}\).

b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ {1;8} \right]\).

Xét phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\)

TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]\).

Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) =  - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m =  - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có \(\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với \(m = 1\) ta có \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với \(m = 0\) và \(m = \frac{1}{2}\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\)

\( = {100^2} + {150^2} - 2.100.150.{\rm{cos110}}^\circ \)

\( \approx 42\,\,760,6\)

\( \Rightarrow AC \approx 206,8\,\,\left( {km} \right)\).

Thời gian đi tàu thủy từ \(A\) đến \(C\) là: \(206,8:30 \approx 7\left( h \right)\).

Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: \(100 + 150 = 250\,\,\,\left( {km} \right)\).

Thời gian đi theo cách 2 là: \(250:50 = 5\left( h \right)\).

Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số ly thức ăn loại \(A\), \(y\) là số ly thức ăn loại \(B\) \(\left( {x;\,y \ge 0} \right)\).

Số protein trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 10y\,\,\left( g \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(50g\) protein nên ta có bất phương trình: \(20x + 10y\, \ge 50\).

Số canxi trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 50y\,\,\left( {mg} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(130mg\) canxi nên ta có bất phương trình: \(20x + 50y\, \ge 130\).

Số calo trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(100x + 150y\,\,\left( {calo} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa không quá \(550\,calo\) canxi nên ta có bất phương trình: \(100x + 150y\, \le 550\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y\, \ge 50\\20x + 50y \ge 130\\100x + 150y \le 550\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y\, \ge 5\\2x + 5y \ge 13\\2x + 3y \le 11\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\]

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Vì vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(MNP\) với \(M\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right)\), \(N\left( {1;\,\,3} \right)\), \(P\left( {4;\,\,1} \right)\).                                    

Giá tiền cho \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) nên ta có hàm \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 110x + 60y\) (nghìn đồng).

Ta có:

\(F\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right) = 110.\frac{3}{2} + 60.2 = 285\);

\(F\left( {1;\,\,3} \right) = 110.1 + 60.3 = 290\);

\(F\left( {4;\,\,1} \right) = 110.4 + 60.1 = 500\).

Vậy người ăn kiêng phải sử dụng bao \(1\) ly thức ăn loại \(A\) và \(3\) ly thức ăn loại \(B\) để số tiền bỏ ra là ít nhất.