Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Cách 1: \[P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\].

+) Cách 2: \[P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \cos 60^\circ .\cos 30^\circ = 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Đường thẳng \({d_1}\) có dạng: \(y = ax + b\)

 Đường thẳng này đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\1 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x\) hay \(x - 2y = 0\).

Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 - 2.1 = - 2 < 0\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x - 2y < 0\).

+) Đường thẳng \({d_2}\) có dạng: \(y = a'x + b'\)

 Đường thẳng này đi qua \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\, - \frac{2}{3}} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - \frac{2}{3} = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {d_1}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\) hay \(x + 3y = - 2\).

Ta lấy điểm \(N\left( {0;1} \right)\) có \(0 + 3.1 = 3 > - 2\) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: \(x + 3y > - 2\).

Vì vậy ta có hệ bất phương trình là: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để \[A = \emptyset \] thì \[\forall x:x \notin A\]

Mà \[\exists \] là phủ định của \[\forall \], \[ \in \]là phủ định của \[ \notin \] nên:

Để \[A \ne \emptyset \] thì \[\exists x,\,x \in A\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ không là một vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có các phần tử là số chẵn thuộc tập hợp \(A\) là: \(0;\,\,2;\,\,4;\,\,6\).

Các tập con có hai phần tử là số chẵn thuộc tập \[A\] là:

\[{A_1} = \left\{ {0;\,2} \right\};\,{A_2} = \left\{ {0;\,4} \right\};\,{A_3} = \left\{ {0;\,6} \right\};\,{A_4} = \left\{ {2;\,4} \right\};\,{A_5} = \left\{ {2;\,6} \right\};\,{A_6} = \left\{ {4;\,6} \right\}\].

Do đó tập \[A\] có \[6\] tập con có hai phần tử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được:

\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \]. Do đó A sai, B đúng.

Ta có: O là tâm của hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \)                

Khi đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \]. Do đó C đúng.                

\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \]. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Nếu 2 vectơ cùng hướng thì chúng cùng phương. Do đó B đúng.

+) Nếu 2 vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hoặc khác hướng. Do đó A sai.

+) Nếu 2 vectơ bằng nhau thì chúng cùng hướng và ngược lại nếu 2 vectơ đối nhau thì chúng ngược hướng. Do đó C và D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\left| k \right| \le 2\end{array} \right. \Rightarrow k \in \left\{ { - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2} \right\}\]

Do đó \[\left( {{k^2} + 1} \right) \in \left\{ {1;\,2;\,5} \right\}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Có \[M\] là trung điểm của \[AB\]

\[ \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2a = a\]

+) Xét tam giác \[ADM\] vuông tại \[A\], ta có:

Áp dụng định lý Py-ta-go:

\[\begin{array}{l}M{D^2} = M{A^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow M{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow MD = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \end{array}\]

+) \[\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = a\sqrt 2 \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_1}:x - 2y = 0\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,0} \right)\] và \[\left( {2;\,1} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_1}\] và thay vào bất phương trình ta được: \[0 - 2.1 = - 2 < 0\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_1}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_2}:x + 3y = - 2\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\] và \[\left( { - 2;\,0} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_2}\] và thay vào bất phương trình ta được \[0 + 3.1 = 3 > - 2\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_2}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_3}: - x + y = 3\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\, - 3} \right)\] và \[\left( {0;\,3} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_3}\] và thay vào bất phương trình ta được \[ - 0 + 1 = 1 < 3\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_3}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

Giao của ba miền nghiệm trên ta sẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và là miền không tô đậm trong hình vẽ và không kể đường thẳng \({d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Coi người quan sát từ điểm \[A\] cách gốc cây \[B\] một khoảng bằng \[30\]m, nhìn ngọn cây \[C\] dưới góc \[45^\circ \]. Ta có hình vẽ sau:

Khi đó \[AB = 30\,\,m,\widehat {CAH} = 45^\circ \].

Do sườn đồi có độ dốc \[12\% \], nên sườn đồi tạo với phương ngang một góc \[\widehat {BAH} \approx 7^\circ \].

Từ đó \[\widehat {BAC} = \widehat {HAC} - \widehat {HAB} \approx 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ \] và \[\widehat {BCA} = 45^\circ \].

Áp dụng định lí sin cho tam giác \[ABC\], ta được:

\[BC = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}.\sin \widehat {BAC} = \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}.\sin 45^\circ \approx 26\](m).

Vậy chiều cao của cây khoảng \(26\,\,m\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có mệnh đề kéo theo \[P \Rightarrow Q\], trong đó \[P\] là điều kiện đủ của \[Q\] và \[Q\] là điều kiện cần của \[P\].

Vậy điều kiện đủ để tổng \[a + b\] là số hữu tỉ là cả hai số \[a\] và \[b\] đều là số hữu tỉ.

Hoặc điều kiện cần để cả hai số \[a\] và \[b\] là số hữu tỉ là tổng \[a + b\] là số hữu tỉ.

Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có tập hợp \[A = \left[ { - 3;\,6} \right]\] và \(\mathbb{Z} = \left\{ {...;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}\)

Do đó \[A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].

b) \[A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 3\\2m - 4 > 6\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m > 5\end{array} \right.\]

Vậy với \(m \le - 3\) hoặc \(m > 5\) thì \[A \cap B = \emptyset \].

Hướng dẫn giải

Giả sử \[x,\,y\] lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội thi cần pha chế \[\left( {x,\,y \ge 0} \right)\].

Khi đó:

Số gam đường cần dùng là: \[30x + 10y\].

Số lít nước cần dùng là: \[x + y\].

Số gam hương liệu cần dùng là: \[x + 4y\].

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \[24\]g hương liệu, \[9\]lít nước và \[210\]g đường để pha chế nước cam và nước táo nên ta lập được hệ bất phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\].\[\left( 1 \right)\]

Miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\] là miền trong ngũ giác \[OBCDE\] với \[O\left( {0;\,0} \right)\], \[B\left( {0;\,6} \right)\], \[C\left( {4;\,5} \right)\], \[D\left( {6;\,3} \right)\], \[E\left( {7;\,0} \right)\].

Số điểm thưởng đạt được là: \[P = 60x + 80y\].

Biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN tại \[\left( {x;\,y} \right)\] là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].

Thay lần lượt tọa độ các đỉnh vào biểu thức, ta được:

\[P\left( {0;\,0} \right) = 0,\,P\left( {0;\,6} \right) = 480,\,P\left( {4;\,5} \right) = 640,\,P\left( {6;\,3} \right) = 600,\,P\left( {7;\,0} \right) = 420\].

Vậy mỗi đội nên pha chế \[4\]lít nước cam và \[5\]lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \[ABC\], ta có:

\[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ \].

Áp dụng định lý sin, ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11,4\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[B\] là \[11,4\]m.

b) Diện tích của khu vườn: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\].

Xét tam giác \[ABC\] có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11,4.22.\sin 45^\circ \approx 88,67\]

Xét tam giác \[ADC\]có: \[p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24\]

\[\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58,79\end{array}\]

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88,67 + 58,79 \approx 147,5\].

Vậy diện tích khu vườn đó là \(147,5\,\,{m^2}\).