Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
24 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM (7 Điểm)
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
hai vectơ đó cùng hướng và cùng độ dài;
hai vectơ đó cùng phương;
hai vectơ đó cùng độ dài;
hai vectơ đó cùng phương và cùng độ dài.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo SGK bộ Kết nối tri thức với cuộc sống trang 48 hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\(\left\{ \begin{array}{l}3x > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y < 1\\x - 3y + 2 \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 \ge 0\\3x - 4y > - 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y < 0\\4x - 3y \ge 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(3.0 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) là một mệnh đề sai.
\(2.0 - 0 > 1 \Leftrightarrow 0 > 1\) là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(2.0 + 4.0 < 1 \Leftrightarrow 0 < 1\) là một mệnh đề đúng.
\(0 - 3.0 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0\) là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(0 - 2.0 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.
\(3.0 - 4.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) là một mệnh đề đúng.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(2.0 + 0 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) là một mệnh đề sai.
\(4.0 - 3.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - 3y + 4 = 0\);
\({x^2} - y < 5\);
\(x + 2y - 3 > 0\);
\(x - 3{y^3} + 4 \le 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đáp án A là đáp án sai vì \(x - 3y + 4 = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án B là đáp án sai vì \({x^2} - y < 5\) có chứa \({x^2}\).
Đáp án C là đáp án đúng \(x + 2y - 3 > 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án D là đáp án sai vì \(x - 3{y^3} + 4 \le 0\) có chứa \({y^3}\).
Biểu diễn tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},2 \le x \le 5} \right\}\) trên trục số ta được
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},2 \le x \le 5} \right\} = \left[ {2;\,\,5} \right]\)
Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \);
\[\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \];
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \)..
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\) ta có:
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \). Do đó C đúng.
\[\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \]. Do đó B sai.
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \). Do đó D đúng.
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \). Do đó A đúng.
Cho hình bình hành \(ABCD\) trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét đáp án A ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm) nên \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} \) là mệnh đề sai.
Xét đáp án B ta có: \(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \) (theo quy tắc hình bình hành) là mệnh đề đúng.
Xét đáp án C ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \) (theo quy tắc ba điểm). Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \) là một mệnh đề đúng.
Xét đáp án D ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành) là một mệnh đề đúng.
Cho góc \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)\) kết luận nào sau đây đúng?
\(\sin \alpha > 0\);
\(\tan \alpha < 0\);
\(\cot \alpha < 0\);
\[\cos \alpha < 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)\) ta có \(\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha > 0,\,\tan \alpha \, > 0,\,\cot \alpha > 0\).
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh \(AB = c\), \(BC = a\), \(AC = b\), \(R\) là bán kính đường kính đường tròn ngoại tếp tam giác, \(S\)là diện tích tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}\);
\(S = \frac{{abc}}{{2R}}\);
\[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\];
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét đáp án A ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Leftrightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}\) (theo định lí sin) là mệnh đề đúng.
Xét đáp án B ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\) nên \(S = \frac{{abc}}{{2R}}\) là mệnh đề sai.
Xét đáp án C ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Leftrightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) (theo định lí côsin) là mệnh đề đúng.
Xét đáp án D ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA\) (theo định lí côsin) là mệnh đề đúng.
Cho tập hợp \(A = \left\{ { - 2;\,\,1;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}\) và\(B = \left\{ {3;\,\,5;\,\,7;\,\,8} \right\}\)phần tử thuộc tập \(A \cap B\) là
\(6\);
\(7\);
\(3\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tập hợp \(A = \left\{ { - 2;\,1;\,3;\,5;\,6} \right\}\) và \(B = \left\{ {3;\,5;\,7;\,8} \right\}\) vậy \(A \cap B = \left\{ {3;\,5} \right\}\)
Suy ra:
\(6 \notin A \cap B;\,\,7 \notin A \cap B;\,\,1 \notin A \cap B\) và \(3 \in A \cap B\).
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
Hà Nội là thủ đô của Việt Nam;
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau;
2 là số nguyên tố;
Hôm nay là thứ mấy?.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Câu “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là khẳng định đúng. Do đó “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề.
Câu “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là khẳng định sai. Do đó “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề.
Câu “2 là số nguyên tố” là khẳng định đúng. Do đó “2 là số nguyên tố” là mệnh đề.
Câu “Hôm nay là thứ mấy?” là câu hỏi nên không là mệnh đề.
Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một đường thẳng. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi và chỉ khi
Điểm \(B\)thuộc đoạn thẳng \(AC\);
Điểm \(A\) nằm ngoài đoạn thẳng \(BC\);
Điểm \(A\) thuộc đoạn thẳng \(BC\);
Điểm \(C\) thuộc đoạn thẳng \(AB\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét đáp án A: \(B\) thuộc đoạn thẳng \(AC\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng
Vậy đáp án A đúng.
Xét đáp án B: Điểm \(A\) nằm ngoài đoạn thẳng \(BC\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng
Vậy đáp án B sai.
Xét đáp án C: Điểm \(A\) thuộc đoạn thẳng \(BC\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng
Vậy đáp án C sai.
Xét đáp án D: Điểm \(C\) thuộc đoạn thẳng \(AB\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng
Vậy đáp án D sai.
Cho mệnh đề A: “\[\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 7 < 0\]”. Mệnh đề phủ định của A là:
A¯:"∃x∈ℝ, x2−x+7<0";
A¯:"∀x∈ℝ,x2−x+7>0";
A¯:"∀x∈ℝ,x2−x+7>0";
A¯:"∃ x∈ℝ,x2− x+7≥0".
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \);
Phủ định của \( < \) là \( \ge \).
Khi đó phủ định của mệnh đề \(A\) là: A¯:"∃x∈ℝ,x2−x+7≥0".
Phần không bị gạch (kể cả biên) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \ge 1\\x + 2y \le 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 1\\2x + y \le 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 1\\x + 2y \ge 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 1\\2x + y \ge 4\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giả sử đường thẳng a có phương trình: \(y = ax + b\)
Ta có đường thẳng a đi qua điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,4} \right)\) ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.2 + b\\4 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.\]
Suy ra đường thẳng a có phương trình: \(y = - 2x + 4 \Leftrightarrow 2x + y = 4\).
Xét điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) ta có \(2.0 + 0 < 4\) mà điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng a). Do đó bất phương trình có dạng \(2x + y \le 4\).
Giả sử đường thẳng b có phương trình: \(y = a'x + b'\)
Ta có đường thẳng b đi qua điểm \(\left( {1;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\frac{1}{2}} \right)\) ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}0 = a'.1 + b'\\\frac{1}{2} = a'.0 + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = - \frac{1}{2}\\b' = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
Vậy đường thẳng a có phương trình: \(y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y = 1\)
Xét điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) ta có \(0 + 2.0 < 1\) mà điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng b). Do đó bất phương trình có dạng \(x + 2y \ge 1\).
Vậy phần không bị gạch trong hình biểu diễn miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 1\\2x + y \le 4\end{array} \right.\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ;
Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn;
Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn;
Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.
B là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.
C là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.
D là mệnh đề đúng: Ví dụ: 1.3 = 3 là số lẻ và 1, 3 đều là số lẻ.
Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 4 < 0\) là phần không bị gạch trong hình vẽ nào dưới đây
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vẽ đường thẳng \(d:x - 2y + 4 = 0\).
Đường thẳng \(d\) là đường thẳng đi qua \(A(0;\,2)\) và \(B( - 4;\,0)\).
Xét điểm \(O(0;\,0)\) ta có \(0 - 2.0 + 4 > 0\) vì vậy điểm \(O(0;\,0)\) không là nghiệm của bất phương trình.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng \(x - 2y + 4 = 0\) và không chứa điểm \(O\) và không kể đường thẳng \(d\).
Vì vậy hình vẽ ở đáp án D biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 4 < 0\)
Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;\,\,5} \right)\) và \(B = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\). Tập hợp nào là tập con của tập \(A \cap B\)?
\(\left[ { - 1;\,\,4} \right]\);
\(\left[ {5;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,\, - 1} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,5} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left( { - \infty ;\,5} \right)\) và \(B = \left[ { - 1;\, + \infty } \right)\)
Suy ra \(A \cap B = \left[ { - 1;\,5} \right)\)
Vì vậy \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) là tập con của tập \(A \cap B\).
Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\), giá trị của biểu thức\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\)bằng
\(13\);
\(\frac{{15}}{{13}}\);
\( - \frac{{15}}{{13}}\);
\( - 13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\sin \alpha .\cot \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\sin \alpha .\cot \alpha }}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{\sin \alpha \left( {3 + 4\cot \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {2 - 5\cot \alpha } \right)}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {a;\,\,b;\,\,c} \right\}\) số tập con có hai phần tử của tập \(A\) là
\(4\);
\(3\);
\(1\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có tập con có \(2\) phần tử của tập \(A\)là: \(\left\{ {a;\,b} \right\},\,\left\{ {a;\,c} \right\},\,\left\{ {b;\,c} \right\}\).
Vậy có \(3\) tập con có hai phần tử của tập hợp \(A\).
Cho hình bình hành \(ABCD\), tâm \(O\). Vectơ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} \) bằng
\(\overrightarrow {BC} \);
\(2\overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {BD} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \)
Mà \(\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
Vậy \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
Khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được điểm \(C\) mà từ đó có thể nhìn được \(A\) và \(B\) dưới một góc \({60^o}\). Biết \(CA = 200m\), \(CB = 180m\). Tính khoảng cách \(AB\).
\(36\,\,400m\);
\(228m\);
\(20\sqrt {91} m\);
\(25\sqrt {91} m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\). Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.cosC\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {200^2} + {180^2} - 2.200.180.cos{60^o}\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = 36400\)
\( \Leftrightarrow AB = 20\sqrt {91} \).
Vậy \(AB = 20\sqrt {91} \,\,\left( m \right)\).
Lớp \(10A\) có \(45\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh được xếp loại học lực giỏi, \(20\) học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, \(10\) em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?
\(45\);
\(35\);
\(25\);
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(A\) là tập hợp học sinh lớp 10A; \(B\) là tập học sinh được xếp loại học lực giỏi; \(C\) là tập học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó tập hợp cần tìm là tập \[B \cup C\]. Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:
Khi đó \(\left| {B \cup C} \right| = \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {B \cap C} \right| = 15 + 20 - 10 = 25\)
Vậy có 25 học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.
II. TỰ LUẬN (3 Điểm)
(1,0 điểm) Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;m + 1} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\).
a) Xác định tập \(A \cap B\) với \(m = 2\).
b) Xác định \(m\) để \(A \cap B = \emptyset \).
Hướng dẫn giải
Tập hợp \(A = \left( { - \infty ;\,m + 1} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
a) Với \(m = 2\) ta có \(A = \left( { - \infty ;\,3} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
Ta có:
Vậy tập \(A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]\).
b) Để \(A \cap B = \emptyset \) thì \(m + 1 \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 3\)
Vậy \(m \le - 3\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
(1,0 điểm) Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh để gói bánh trưng và bánh ống. Để gói một cái bánh trưng cần \(0,4kg\), gạo nếp, \(0,05kg\) thịt ba chỉ và \(0,1kg\) đậu xanh. Để gói một cái bánh ống cần \(0,6kg\) gạo nếp, \(0,075kg\) thịt ba chỉ và \(0,15kg\) đậu xanh. Mỗi cái bánh trưng được \(5\) điểm thưởng, mỗi cái bánh ống được \(6\) điểm thưởng. Vậy cần phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi số bánh trưng được gói là \(x\) (bánh), số bánh ống được gói là \(y\) (bánh) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).
Khi đó số điểm thưởng là \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y\).
Số \(kg\) gạo nếp cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\,\left( {kg} \right)\).
Số \(kg\)thịt ba chỉ cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\,\,\left( {kg} \right)\).
Số \(kg\) đậu xanh cần dúng là: \(0,1x + 0,15y\,\left( {kg} \right)\).
Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)\) như hình vẽ sau:
Biểu thức \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \(\left( {x;\,y} \right)\) là toạ độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)\).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0\);
Tại \(A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)\) có \(f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160\);
Tại \(B\left( {40;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200\).
Suy ra \(f\left( {x;\,y} \right)\) lớn nhất bằng \(200\) khi \(x = 40\) và \(y = 0\).
Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói \(40\) cái bánh trưng và \(0\) cái bánh ống.
(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\), \(AC = 10\) và đường trung tuyến \(AM = 6\). Tính độ dài cạnh \(BC\) và diện tích tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(A{M^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - A{M^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{{{10}^2} + {4^2}}}{2} - {6^2}} \right) = 88\)
\( \Rightarrow BC = 2\sqrt {22} \).
Ta có nửa chu vi \(P = \frac{{10 + 4 + 2\sqrt {22} }}{2} = 7 + \sqrt {22} \)
Theo công thức Heron ta có:
\(S = \sqrt {\left( {7 + \sqrt {22} } \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 4} \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 10} \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 2\sqrt {22} } \right)} = 3\sqrt {39} \).
