Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2
24 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Trong các câu sau câu nào là mệnh đề đúng?
\[\sqrt 2 \] là số vô tỉ;
\[5 + 3 < 7\];
\[100\]tỉ là số nguyên lớn nhất;
Trời hôm nay đẹp quá!.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Câu “\[\sqrt 2 \]là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.
+) Câu “\[5 + 3 < 7\]” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.
+) Câu “\[100\] tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.
Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (kể cả đường thẳng d)?
\[2x - y \le 2\];
\[2x - 3y \le 0\];
\[2x + y < 2\];
\[2x - y > 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi phương trình đường thẳng \[d\] có dạng: \[y = ax + b\].
Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[\left( {1;\,0} \right)\] và \[\left( {0;\, - 2} \right)\] nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\0a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right.\]
Vậy \[d\]: \[y = 2x - 2\]hay \[2x--y = 2\]
Lấy điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] thuộc miền nghiệm của bất phương trình cần tìm, thay tọa độ điểm \[\left( {0;\,1} \right)\] vào biểu thức \[2x--y = 2\] ta được: \[2.0--1 = - 1 < 2\].
Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng \[d\]) là miền nghiệm của bất phương trình\[2x--y \le 2\].
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề sai?
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] cân;
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] cân và có một góc \[60^\circ \];
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \]Tam giác \[ABC\] có ba cạnh bằng nhau;
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Leftrightarrow \] Tam giác \[ABC\] có hai góc bằng \[60^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề kéo theo “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] cân” là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo “Tam giác \[ABC\] cân \[ \Rightarrow \] Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” là mệnh đề sai.
Do đó, hai mệnh đề “Tam giác \[ABC\] là tam giác đều” và “Tam giác \[ABC\] cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.
Cho hai tập hợp: \[C = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge 3} \right\}\]và\[D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x > 3} \right\}\]. Tìm mệnh đề sai?
\[C \subset \mathbb{R}\];
\[C \subset D\];
\[D \subset C\];
\[D \subset \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
+) \[C = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge 3} \right\} = \left[ {3;\, + \infty } \right) \subset \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\] hay \(C \subset \mathbb{R}\). Do đó A đúng.
+) \(D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x > 3} \right\} = \left( {3; + \infty } \right) \subset \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) hay \(D \subset \mathbb{R}\). Do đó D đúng.
+) \(\left( {3;\,\, + \infty } \right) \subset \left[ {3;\,\, + \infty } \right)\) nên \(D \subset C\). Do đó C đúng.
+) Lấy \(3 \in C\) nhưng \(3 \notin D\) nên \(C \not\subset D\). Do đó B sai.
Cho tập hợp\[B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4 = 0} \right\}\]. Tập hợp nào sau đây đúng?
\[B = \left\{ {2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 4;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ 2}}} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]
Mà \[2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}\] nên \[B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}\].
Cho mệnh đề A="∀x∈ℝ:x2<x". Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề
A?A. "∀x∈ℝ:x2≥x" ;
"∃x∈ℝ:x2≥x" ;
"∀x∈ℝ:x2>x";
"∃x∈ℝ:x2>x" .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phủ định của \[\forall \]là \[\exists \].
Phủ định của \[ < \] là \[ \ge \].
Do đó phủ định của mệnh đề A="∀x∈ℝ:x2<x" là A¯="∃x∈ℝ:x2≥x".
Cho hai tập hợp \[P = \{ 1;\,3;\,5;\,7;\,9\} \]và \[Q = \{ 0;\,2;\,4;\,5;\,6;\,8\} \]. Số phần tử của tập hợp \[P \cup Q\]là:
\[0\];
\[1\];
\[10\];
\[11\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}\].
Vậy số phần tử của tập \[P \cup Q\] là \[10\].
Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\]. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\[M\left( {0;\,1} \right)\];
\[N\left( { - 1;\,1} \right)\];
\[P\left( {1;\,3} \right)\];
\[Q\left( { - 1;\,0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \[x = 0\] và \[y = 1\] vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\[0 + 3.1--2 = 1 \ge 0\] là một mệnh đề đúng.
\[2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \[M\left( {0;\,1} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Tương tự, thay \[x = - 1\] và \[y = 1\] ta được:
\[ - 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0\]là mệnh đề đúng.
\[2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[N\left( { - 1;\,1} \right)\] là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = 1\] và \[y = 3\] ta được:
\[1 + 3.3--2 = 8 \ge 0\] là mệnh đề đúng.
\[2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0\] là mệnh đề sai.
Điểm \[P\left( {1;\,3} \right)\] không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = - 1\] và \[y = 0\] ta được:
\[ - 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0\] là mệnh đề sai.
\[2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[Q\left( { - 1;\,0} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Trong tam giác \[ABC\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[sinA = sin\left( {B + C} \right)\];
\[cosA = cos\left( {B + C} \right)\];
\[cosA > 0\];
\[sinA \le 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ABC\] có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (định lý tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó: \[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\]
+) \(\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\). Do đó A đúng.
+) \(cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)\). Do đó B sai.
Ta lại có: \(0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ \) nên:
+) \[{\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}\] khi \(0^\circ < \widehat A < 90^\circ \);
\[{\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}\] khi \(\widehat A = 90^\circ \);
\[{\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}\] khi \(90^\circ < \widehat A < 180^\circ \). Do đó C sai.
+) \(\sin A > 0\). Do đó D sai.
Cho góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \]. Giá trị của \[\tan \alpha + \cot \alpha \]là:
\[1\];
\[ - 2\]\[;\]
\[0\]\[;\]
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}\]
\[tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\].
Miền nghiệm của bất phương trình \[x + y \le 2\] là phần tô đậm (kể cả biên) trong hình vẽ nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Chọn \[x = 0 \Rightarrow y = 2\]
Chọn\[y = 0 \Rightarrow x = 2\]
\[ \Rightarrow \]Đường thẳng \[x + y = 2\] đi qua hai điểm có tọa độ \[\left( {0;\,2} \right)\]và \[\left( {2;\,0} \right)\].
Lấy \[O\left( {0;\,0} \right)\] có: \[0 + 0 = 0 < 2\] nên điểm \[O\] không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \[x + y = 2\] không chứa điểm \[O\] và kể cả bờ.
Vì vậy hình vẽ A là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hai tập hợp \[A = \left( { - 4;\,1} \right],{\rm{ }}B = \left[ { - 3;\,m} \right)\] khác rỗng. Tìm \[m\] để \[A \cup B = A\].
\[m \le 1\];
\[m = 1\];
\[ - 3 \le m \le 1\];
\[ - 3 < m \le 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \[m > - 3\].
Để \[A \cup B = A \Leftrightarrow B \subset A\], tức là \[m \le 1\].
Kết hợp với điều kiện, ta được: \[ - 3 < m \le 1\].
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2{x^2} + 3y > 0\];
\[{x^2} + {y^2} < 2\];
\[x + {y^2} \ge 0\];
\[x + y \ge 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] là bất phương trình có một trong các dạng:
\[ax + by + c < 0,\,ax + by + c \le 0,\,ax + by + c > 0,\,ax + by + c \ge 0\] trong đó \[a,\,b,\,c\] là những số thực đã cho, \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\]; \[x\] và \[y\] là các ẩn số.
Vậy bất phương trình \[x + y \ge 0\] thỏa mãn các điều kiện.
Cho tam giác \[ABC\] có các cạnh \[AB = c;{\rm{ }}BC = a;{\rm{ }}AC = b\]. Tính góc \[\widehat {BCA}\] của tam giác \[ABC\] biết \[a \ne b\] và aa2–c2=bb2–c2?
\[\widehat {BCA} = 120^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 60^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 30^\circ \];
\[\widehat {BCA} = 135^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: aa2–c2=bb2–c2
⇔a3–b3–c2a–b=0
⇔a–ba2+ab+b2–c2a–b=0
⇔a–ba2+ab+b2–c2=0
Do a ≠ b nên a2+ab+b2–c2=0⇔a2+b2−c2=−ab
\[ \Rightarrow cos\widehat {BCA} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = - \frac{{ab}}{{2ab}} = - \frac{1}{2}\]
Do đó: \[\widehat {BCA} = 120^\circ \].
Hình bình hành \[ABCD\] là một hình chữ nhật nếu nó thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây?
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\];
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\];
\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\];
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên \[ABCD\] là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow AC = BD\] hay \[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\].
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \[A\], đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \[60^\circ \]. Tàu \[B\] chạy với tốc độ \[20\] hải lí một giờ. Tàu \[C\] chạy với tốc độ \[15\] hải lí một giờ (tham khảo hình vẽ). Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
\[61\] hải lí;
\[36\] hải lí;
\[21\] hải lí;
\[18\] hải lí.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Sau hai giờ tàu \[B\] đi được \[40\] hải lí, tàu \[C\] đi được \[30\] hải lí. Vậy tam giác \[ABC\] có \[AB = 40,\,AC = 30\] và \[\widehat A = 60^\circ \].
Áp dụng định lí côsin vào tam giác \[ABC\], ta có:
\[{a^2} = {b^2} + {c^2}--2bc.cosA = {30^2} + {40^2}--2.30.40.cos60^\circ = 1300\]
Vậy \[BC = \sqrt {1300} \approx 36\] (hải lí).
Sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng \[36\] hải lí.
Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh \[2a\], bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[\frac{a}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{3a}}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{5a}}{{\sqrt 3 }}\];
\[\frac{{7a}}{{\sqrt 3 }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác \[ABC\] đều là:
\[S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \]
Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là:
\[p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a\]
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].
Cho 3 điểm \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {NP} \];
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NP} \]\[;\]
\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PM} \]\[;\]
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {NP} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Áp dụng quy tắc hình bình hành:
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MQ} \ne \overrightarrow {NP} \] (với \[Q\] là điểm thỏa mãn \[MNQP\] là hình bình hành). Do đó A sai.
+) Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP} \]. Do đó B sai.
\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {PM} \]. Do đó C đúng.
+) Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP} \]. Do đó D sai.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ\[;\]
Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ\[;\]
Có vô số vectơ có cùng phương với mọi vectơ\[;\]
Không có vectơ có nào cùng phương với mọi vectơ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có duy nhất vectơ không là cùng phương với mọi vectơ.
Kết quả bài toán tính: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} \] là:
\[\overrightarrow {DB} \];
\[2\overrightarrow {BD} \];
\[\overrightarrow 0 \];
\[ - \overrightarrow {AD} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} ) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \].
Cho \[A = ( - \infty ;\,1\left] {,{\rm{ }}B = } \right[1;\, + \infty ),{\rm{ }}C = \left( {0;\,1} \right]\]. Khẳng định nào sau đây sai?
\[A \cap B \cap C = 1\];
\[A \cup B \cup C = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\];
\[A{\rm{ }} \cup B\backslash C = \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)\];
\[A \cap B\backslash C = C\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có \[A \cap B = ( - \infty ;\,1\left] \cap \right[1;\, + \infty ) = 1 \Rightarrow A \cap B \cap C = 1\]. Do đó A đúng.
+) Ta có\[A \cup B = ( - \infty ;\,1\left] \cup \right[1;\, + \infty ) = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right) \Rightarrow A \cup B \cup C = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\]. Do đó B đúng.
+) Ta có\[A \cup B = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right) \Rightarrow A \cup B\backslash C = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\backslash \left( {0;\,1} \right) = \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)\]. Do đó C đúng.
+) Ta có \[A \cap B = 1 \Rightarrow A \cap B\backslash C = 1\backslash \left( {0;\,1} \right] = \emptyset \]. Do đó D sai.
II. TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Cho tập hợp \[C = \left[ { - 3;\,8} \right]\] và \[D = \left[ {m - 3;\,8} \right]\].
a) Cho tập hợp \[A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\] và \[A\backslash C = B\]. Tìm \[B\].
b) Với giá trị nào của m thì \[C \cap D\] là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
Hướng dẫn giải
a) \[B = A\backslash C = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\backslash \left[ { - 3;\,8} \right] = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\]
\[ \Rightarrow B = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)\].
b) Để \[C \cap D\] ta có 2 trường hợp: \[m - 3 < - 3\] và \[m - 3 \ge - 3\]. Khi đó:
+) TH1: \[m - 3 < - 3 \Leftrightarrow m < 0\].
\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ { - 3;\,8} \right] \Rightarrow AB = 11 \ne 4\] (loại).
+) TH2: \[m - 3 \ge - 3 \Leftrightarrow m \ge 0\]
\[ \Rightarrow A \cap B = \left[ {m - 3;\,8} \right]\]
Để \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4 thì \[8 - \left( {m - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow m = 7\] (tmđk).
Vậy \[m = 7\]thì \[C \cap D\] là đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
(1,0 điểm) Cửa hàng thời trang Việt Tiến muốn kinh doanh thêm 2 loại áo thun mẫu mới với vốn đầu tư không quá \[72\] triệu đồng. Loài dài tay mua vào \[800.000\] đồng và lãi \[150.000\]một áo, loại ngắn tay mua vào \[600.000\] đồng và lãi \[120.000\]một áo. Cửa hàng ước tính nhu cầu của khách không quá 100 cái cho cả 2 loại. Lập phương án kinh doanh sao cho lãi nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x,{\rm{ }}y\,(x \ge 0,\,y \ge 0,\,x,\,y \in \mathbb{N})\] lần lượt là số áo dài tay và ngắn tay mà cửa hàng nên mua để kinh doanh lãi nhất.
Theo yêu cầu bài toán, ta có hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\8x + 6y \le 720\end{array} \right.\]\[\left( 1 \right)\]
Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[F = 150.000x + 120.000y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left( 1 \right)\]:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác \[OABC\].
Các điểm ở đỉnh tứ giác có tọa độ: \[O\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,100} \right),\,B\left( {60;\,40} \right),\,C\left( {90;\,0} \right)\].
Tại \[O\left( {0;\,0} \right)\]: \[F = 0\]
Tại \[A\left( {0;\,100} \right)\]: \[F = 12.000.000\]
Tại \[B\left( {60;\,40} \right)\]: \[F = 13.800.000\]
Tại \[C\left( {90;\,0} \right)\]: \[F = 13.500.000\]
Vậy cửa hang nên nhập \[60\] cái áo dài tay và \[40\] cái áo ngắn tay để kinh doanh thì có lãi nhất và lãi thu được là \[13.800.000\] đồng.
(1,0 điểm) Cho tam giác \[ABC\] có hai trung tuyến kẻ từ \[A\] và \[B\] vuông góc. Chứng minh rằng:
a) \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\].
b) \[cotC = 2\left( {cotA + cotB} \right)\].
Hướng dẫn giải
![Cho tam giác \[ABC\] có hai trung tuyến kẻ từ \[A\] và \[B\] vuông góc. Chứng minh rằng: a) \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/8-1762473229.png)
a) Gọi \[M\], \[N\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[BC\], \[AC\].
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Khi đó: \[AG = \frac{2}{3}AM,{\rm{ }}BG = \frac{2}{3}BN\].
Theo định lý Pythagore ta có:
\[{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) = \frac{4}{9}\left( {{c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}} \right)\]
\[ \Rightarrow 5{c^2} = {a^2} + {b^2}\].
b) Do \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\] nên \[\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\]
Mà \[2(\cot A + \cot B) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{{c^2}}}{S}\]
\[ \Rightarrow cotC = 2\left( {cotA + cotB} \right)\].
