Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
28 câu hỏi
Cho mệnh đề chứa biến chia hết cho 2. Với giá trị nào của \(a\) ta được mệnh đề đúng?
\(a = - 2\);
\(a = 4\);
\(a = - 1\);
\(a = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(a = - 2\) ta có mệnh đề chia hết cho là mệnh đề sai. Do đó A sai.
Với \(a = 4\) ta có mệnh đề chia hết cho là mệnh đề sai. Do đó B đúng.
Với \(a = - 1\) ta có mệnh đề chia hết cho là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
Với \(a = 0\) ta có mệnh đề chia hết cho là mệnh đề sai. Do đó D sai.
Trong các câu sau, câu không phải mệnh đề là
\(x > 3\);
Tam giác cân có một góc bằng \(45^\circ \) là tam giác vuông cân;
Trong một tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại;
\(135\) là một số nguyên tố.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Câu “\(x > 3\)” là câu có tính đúng sai phụ thuộc vào biến. Do đó đây là mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề. Do đó A đúng.
+) Câu “Tam giác cân có một góc bằng \(45^\circ \) là tam giác vuông cân” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó B sai.
+) Câu “Trong một tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó C sai.
+) Câu “\(135\) là một số nguyên tố” là khẳng định sai nên đây là mệnh đề sai. Do đó D sai.
Cho mệnh đề A:"∃x∈ℝ,x4+3x2+2=0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là
A¯:"∃x∈ℕ,x4+3x2+2=0";
A¯:"∀x∈ℝ,x4+3x2+2=0" ;
A¯:"∃x∈ℝ,x4+3x2+2≠0" ;
A¯:"∀x∈ℝ,x4+3x2+2≠0" .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là A¯:"∀x∈ℝ,x4+3x2+2≠0" .
Phát biểu nào sau đây là mệnh đề?
Máy bay đi thật nhanh;
Bí mật làm nên vẻ đẹp của người phụ nữ;
Đề thi cuối kì I môn Toán thật là khó;
Chất diệp lục làm nên màu xanh của lá cây.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Câu “Chất diệp lục làm nên màu xanh của lá cây” là khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề. Do đó D đúng.
Cho tập hợp \(K\) được biểu diễn trên trục số như sau:
Phần bù của tập hợp \(K\) trong \(\mathbb{R}\) là:
\(\left( { - \infty ; - 2} \right]\);
\(\left( {10;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {10;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {10;\,\, + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(K = \left( { - 2;10} \right]\).
Khi đó: \({C_\mathbb{R}}K = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {10;\,\, + \infty } \right)\).
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập khác rỗng?
\(M = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} + 16 = 0} \right\}\);
\(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} + 2x + 5 = 0} \right\}\);
\(P = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 5 = 0} \right\}\);
\(Q = \left\{ {x \in \mathbb{Q}|{x^2} + 3x - 4 = 0} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \({x^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 16\)(vô lí)
Suy ra \(M = \emptyset \). Do đó A sai.
+) Ta có: \({x^2} + 2x + 5 = 0\) có \(\Delta = {2^2} - 4.1.5 = - 5 < 0\)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x + 5 = 0\) vô nghiệm nên \(N = \emptyset \). Do đó B sai.
+) Ta có: \({x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 5 \\x = - \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Mà \( - \sqrt 5 ;\,\,\sqrt 5 \notin \mathbb{Z}\) nên \(P = \emptyset \). Do đó C sai.
+) Ta có: \({x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\)
Mà \( - 4;\,\,1 \in \mathbb{Q}\) nên \(Q = \left\{ { - 4;\,\,1} \right\} \ne \emptyset \). Do đó D đúng.
Cho tập hợp \(M = \left\{ { - 3;\,\,4;\,\,a;\,\,d} \right\}\). Có bao nhiêu tập hợp con của \(M\) có \(2\) phần tử?
\(6\);
\(4\);
\(16\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tập hợp con của \(M\) có \(2\) phần tử là:
\(\left\{ { - 3;\,\,4} \right\};\,\,\left\{ { - 3;\,\,a} \right\};\,\,\left\{ { - 3;\,d} \right\};\,\,\left\{ {4;\,\,a} \right\};\,\,\left\{ {4;\,\,d} \right\};\,\,\left\{ {a;\,\,d} \right\}\).
Vậy có tất cả \(6\) tập con của tập hợp \(M\) có \(2\) phần tử.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\left( {0;\,\,3} \right] \subset \left( { - 1;\,3} \right)\);
\(\left( { - 1;2} \right) \subset \mathbb{Q}\);
\(\left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right] \subset \mathbb{Z}\);
\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \(3 \in \left( {0;\,\,3} \right]\) nhưng \(3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)\)nên \(\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\) nên \(\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]\) mà \(\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}\). Do đó C sai.
+) Ta có: \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\) nên \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\). Do đó D đúng.
Cho ba tập hợp \(A,\,\,B,C\) như hình bên dưới:
Phần không tô màu trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(D\);
\({C_D}\left( {A \cap B} \right)\);
\({C_D}\left( {A \cup B} \right)\);
\(A \cup B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phần không tô màu trong hình biểu diễn tập \({C_D}\left( {A \cup B} \right)\).
Lớp 10A2 có \(21\) học sinh đạt học lực giỏi và \(24\) học sinh đạt hạnh kiểm tốt. Trong đó có \(15\) học sinh vừa đạt học lực giỏi và đạt hạnh kiểm tốt, \(11\) học sinh không đạt học lực giỏi và đạt hạnh kiểm tốt. Hỏi lớp 10A2 có bao nhiêu học sinh?
\(41\);
\(19\);
\(49\);
\(45\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số học sinh của lớp 10A2 là:
\(21 + 24 - 15 + 11 = 41\) (học sinh).
Vậy lớp 10A2 có \(41\) học sinh.
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\frac{4}{x} + \frac{2}{y} > - 1\);
\(x - 1 \le - 1 - 2y\);
\({x^2} - y > - \frac{1}{2}\);
\(9xy \ge 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(x - 1 \le - 1 - 2y \Leftrightarrow x + 2y \le 0\) có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó B đúng.
Miền không gạch chéo (không kể biên) là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(\left( {3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {0;\,\, - 2} \right)\);
\((0;\,\,0)\);
\(\left( {5;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy chỉ có điểm \(\left( {5;0} \right)\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\sqrt 3 x - 2y < \frac{{\sqrt 3 }}{9}\). Tìm điều kiện của \(m\) để cặp \(\left( {5 - m;\,\,2\sqrt 3 } \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
\(m > \frac{8}{9}\);
\(m > \frac{{26}}{9}\);
\(m \le - \frac{{26}}{9}\);
\(m < - \frac{8}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì cặp \(\left( {5 - m;\,\,2\sqrt 3 } \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho nên thay \(x = 5 - m,y = 2\) vào bất phương trình, ta được:
\(\sqrt 3 \left( {5 - m} \right) - 2.2\sqrt 3 < \frac{{\sqrt 3 }}{9}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {5 - m} \right) < \frac{{37\sqrt 3 }}{9}\)
\( \Leftrightarrow 5 - m < \frac{{37}}{9}\)
\( \Leftrightarrow m > \frac{8}{9}\)
Vậy \(m > \frac{8}{9}\) thì cặp \(\left( {5 - m;\,\,2\sqrt 3 } \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + y < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} - y > 0\\x + \frac{y}{3} \le 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} - y \le 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} - y > 0\\x + \frac{y}{3} \le 10\end{array} \right.\).
Điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 < 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y > - 9\\x + y + 2 \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x - y - 1 \ge 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\), ta được:
\(0 + 0 = 0 < 0\) là mệnh đề sai;
\(0 + 2.0 = 0 > 3\) là mệnh đề sai.
Suy ra cặp \(\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Do đó A sai.
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 < 0\\2x + y \ge 0\end{array} \right.\), ta được:
\(0 + 3.0 - 2 = - 2 < 0\) là mệnh đề đúng;
\(2.0 + 0 = 0 \ge 0\) là mệnh đề đúng.
Suy ra cặp \(\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Do đó B đúng.
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > - 9\\x + y + 2 \le 0\end{array} \right.\), ta được:
\(0 - 0 = 0 > - 9\) là mệnh đề đúng;
\(0 + 0 + 2 = 2 \le 0\) là mệnh đề sai.
Suy ra cặp \(\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Do đó C sai.
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình trong hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x - y - 1 \ge 0\end{array} \right.\), ta được:
\(0 + 0 = 0 > 0\) là mệnh đề sai;
\(0 - 0 - 1 = - 1 \ge 0\) là mệnh đề sai.
Suy ra cặp \(\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Do đó D sai.
Mỗi ngày bạn Thảo đều dành không quá 30 phút để đọc hai cuốn sách \(A\) và \(B\). Trung bình Thảo đọc được 3 trang sách \(A\) trong 2 phút và đọc được 2 trang sách \(B\) trong 1 phút. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số phút Thảo dùng để đọc sách \(A\) và sách \(B\)\[\left( {x\,,\,\,y \in \mathbb{N}} \right)\]. Tìm điều kiện cần và đủ của \(x\) và \(y\) để Thảo đọc được ít nhất 35 trang sách mỗi ngày.
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \ge 70\\x + y \le 30\end{array} \right.\];
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge 35\\x + y \le 30\end{array} \right.\];
\[3x + 4y \ge 70\];
\(3x + 2y \ge 35\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số phút Thảo dùng để đọc sách \(A\) và sách \(B\)\[\left( {x\,,\,\,y \in \mathbb{N}} \right)\]
Mỗi ngày bạn Thảo đều dành không quá 30 phút để đọc nên ta có: \(x + y \ge 30\).
Một phút Thảo đọc được \(\frac{3}{2}x\) trang sách \(A\).
Một phút Thảo đọc được \(2y\) trang sách \(B\).
Số trang sách Thảo đọc trong một ngày là: \(\frac{3}{2}x + 2y\) (trang).
Mỗi ngày Thảo đọc được ít nhất 35 trang nên ta có: \(\frac{3}{2}x + 2y \le 35\)
Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là sai?
\({\rm{cos}}\left( { - {\rm{3}}0^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\cot \left( { - 60^\circ } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\sin \left( { - 120^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\tan \left( { - 150^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\({\rm{cos}}\left( { - {\rm{3}}0^\circ } \right) = {\rm{cos3}}0^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên đẳng thức sai. Do đó A đúng.
\(\cot \left( { - 60^\circ } \right) = - \cot 60^\circ = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) nên đẳng thức đúng. Do đó B sai.
\(\sin \left( { - 120^\circ } \right) = - \sin 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên đẳng thức đúng. Do đó C sai.
\(\tan \left( { - 150^\circ } \right) = - \tan 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên đẳng thức đúng. Do đó D sai.
Giá trị của biểu thức \(M = \tan 150^\circ + \cot 30^\circ \) xấp xỉ
\(M = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\);
\(M = \sqrt 3 \);
\(M = \frac{{ - 4\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(M = \tan 150^\circ + \cot 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Cho góc \(\alpha \left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) thỏa mãn \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]. Khi đó \[\tan \alpha \] bằng
\(1\);
\( - 1\);
\( \pm 1\);
\( \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \alpha = 1\\\tan \alpha = - 1\end{array} \right.\)
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\tan \alpha < 0\). Do đó \(\tan \alpha = - 1\).
Cho tam giác \(ABC\). Tính \(P = \sin \frac{A}{2}.cos\left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\).
\(P = 1\);
\(P = 0\);
\(P = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}\);
\(P = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{A}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \left( {\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}} \right) = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \sin \frac{A}{2} = cos\left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow P = \sin \frac{A}{2}.\sin \frac{A}{2} = {\sin ^2}\frac{A}{2}\).
Cho \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = - 4\). Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\frac{1}{2}\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }}\) ?
\(P > - \frac{1}{2}\);
\(P = \frac{1}{{13}}\);
\(P < - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{1}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = - 4\) nên \[{\rm{cos}}\alpha \ne 0\].
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) với \[{\rm{cos}}\alpha \] ta được:
\(P = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\frac{1}{2}.\tan \alpha + 1}}{{1 - 3\tan \alpha }} = \frac{{\frac{1}{2}.\left( { - 4} \right) + 1}}{{1 - 3.\left( { - 4} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{13}}\).
Khi đó \(P > - \frac{1}{2}\) là mệnh đề đúng.
Giá trị lượng giác nào dưới đây bằng với \[{\rm{cos37}}^\circ \]?
\(\sin 143^\circ \);
\({\rm{cos}}143^\circ \);
\(\sin 53^\circ \);
\({\rm{cos5}}3^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(37^\circ + 143^\circ = 180^\circ \)
\[ \Rightarrow {\rm{cos37}}^\circ = - {\rm{cos143}}^\circ \ne \sin 143^\circ \]. Do đó A và B sai.
Ta có: \(37^\circ + 53^\circ = 90^\circ \)
\[ \Rightarrow {\rm{cos37}}^\circ = \sin 57^\circ \ne {\rm{cos5}}7^\circ \]. Do đó C đúng và D sai.
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\[{\rm{cosA = }}\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{ - 2bc}}\];
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.{\rm{cos}}B\);
\(\frac{c}{{\sin C}} = R\);
\(a.\sin A = b.\sin B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), có:
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.{\rm{cos}}B\). Do đó B đúng.
+) Hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\) ta được:
\[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\]. Do đó A sai.
+) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\). Do đó C và D sai.
Gọi \(K\) là chu vi tam giác \(ABC\) có \(a = 8\,\,cm,\,b = 5\,\,cm,\,\,\widehat C = 175^\circ \). Giá trị \(K\) của gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(25\);
\(13\);
\(26\);
\(36\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.{\rm{cos}}\widehat C\)
\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.{\rm{cos175}}^\circ \)
\( \approx 168,7\)
\( \Leftrightarrow c \approx 13\).
Chu vi của tam giác ABC là: \(K \approx 5 + 8 + 13 = 26\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(R = \sqrt 2 ,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Độ dài cạnh BC bằng
\(4\sqrt 2 \);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow BC = 2R.\sin \widehat {BAC} = 2.\sqrt 2 .{\rm{cos}}60^\circ = \sqrt 2 \).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\left| x \right| \le 3} \right\}\). Tìm tập hợp \(A \cup B\).
b) Cho hai tập hợp \(M = \left( {0;3} \right)\) và \(N = \left[ {m;m + 1} \right)\), với \(m \in \mathbb{R}\). Tìm \(m\) để \(M \cap N = N\).
Hướng dẫn giải
a) +) Ta có:
\(\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\)
Mà \( - 2;\,\,2 \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\).
Xét \(\left| x \right| \le 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x \le 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 3\)
Mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(B = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
Vì vậy \(A \cup B = \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
b) Để \(M \cap N = N\) thì \(N \subset M\)
\( \Leftrightarrow 0 < m < m + 1 \le 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\)
Vậy với \(0 < m \le 2\) thì \(M \cap N = N\).
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của tháp trong đó \(C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng. Ta đo được \(AB = 24\,m\), \(\widehat {CAD} = 63^\circ \), \(\widehat {CBD} = 48^\circ \) (tham khảo hình vẽ).
Tính gần đúng chiều cao \(h\) của khối chóp.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\widehat {BDA} = \widehat {CAD} - \widehat {CBD} = 63^\circ - 48^\circ = 15^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABD\), có:
\(\frac{{AB}}{{\sin ADB}} = \frac{{AD}}{{\sin ABD}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{24}}{{\sin 15^\circ }} = \frac{{AD}}{{\sin 48^\circ }}\)
\( \Leftrightarrow AD = \frac{{24.\sin 48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} \approx 68,9\).
Xét tam giác vuông \(ACD\) vuông tại \(C\), ta có:
\(CD = \sin CAD.AD \approx \sin 63^\circ .68,9 \approx 61,4.\)
Vậy chiều cao của tháp khoảng \(61,4\,\,m\).
(1,0 điểm)
Một hộ nông dân định trồng củ đậu và dứa trên diện tích \(8\,\,ha\). Trên mỗi \(ha\), nếu trồng dứa thì cần \(20\) công và thu được \(5\) triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần \(30\) công và thu được \(4\) triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu \(ha\) để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá \(180\)?
Hướng dẫn giải
Gọi số \(ha\) trồng dứa và trồng củ đậu lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(ha\)), \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).
Khi đó ta có: \(x + y \le 8\).
Tổng số công trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu thỏa mãn không quá \(180\) công là: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).
Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {6;\,\,2} \right)\), \(D\left( {8;\,\,0} \right)\).
Tiền thu được khi trồng \(x\left( {ha} \right)\) dứa và \(y\left( {ha} \right)\) củ đậu là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 5x + 4y\) (triệu đồng).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 5.0 + 4.0 = 0\);
Tại \(A\left( {0;\,\,6} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,6} \right) = 5.0 + 4.6 = 24\);
Tại \(B\left( {6;\,\,2} \right)\) có \(F\left( {6;\,\,2} \right) = 5.6 + 4.2 = 38\);
Tại \(D\left( {8;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {8;\,\,0} \right) = 5.8 + 4.0 = 40\).
Vậy để thu được nhiều tiền nhất hộ nông dân đó cần trồng \(8\,\,ha\) dứa và \(0\,\,ha\) củ đậu.
