Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Câu “Làm ơn hãy im lặng!” là một câu cảm thán nên không phải mệnh đề. Do đó A sai.

Câu “Tháp Eiffel nằm ở Anh” là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề sai. Do đó B sai.

Câu “Biển ở Phú Quốc thật đẹp” là một câu khẳng định nhưng chưa thể khẳng định được tính đúng sai nên không là mệnh đề. Do đó C sai.

Câu “\(11\) là số nguyên tố” là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề đúng. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lấy điểm (0; 1) thuộc vào miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm.

Xét đường thẳng d₁: \(x + 3y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 3y = - 2\)

Tại điểm (0; 1) có: \(0 + 3.1 = 3 > - 2\), miền nghiệm D₁ của bất phương trình có bờ là đường thẳng d₁ là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 1) và kể biên nên biểu diễn cho bất phương trình \(x + 3y \ge - 2\). (1)

Xét đường thẳng d₂: \(x - 2y = 0\)

Tại điểm (0; 1) có: \(0 - 2.1 = - 2 < 0\), miền nghiệm D₂ của bất phương trình có bờ là đường thẳng d₂ là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 1) và kể biên nên biểu diễn cho bất phương trình \(x - 2y \le 0\). (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y \ge - 2\\x - 2y \le 0\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Điều kiện đủ để tứ giác \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\) là tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Điều kiện cần để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là tứ giác \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\).

Do đó A sai, D sai và B đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\) chưa đủ điều kiện để khẳng định tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên đáp án C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).

Khi đó \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 2 < x\, < 2} \right\} = ( - 2;\,\,2)\).

Biểu diễn tập hợp A trên trục số ta được:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(A\backslash B = \left\{ { - 1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}\).

Khi đó:

0 ∉ A\B. Do đó A sai.

8 ∉ A\B. Do đó B sai.

– 2 ∉ A\B. Do đó C sai.

3 ∈ A\B. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Câu “∃x ∈ ℝ, x² = – 2”: là một khẳng định sai vì không có giá trị của x nào thỏa mãn x² = – 2. Do đó câu A là một mệnh đề.

+) Câu “\( - \frac{1}{2}\)x + 3 = 0”: có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của x nên câu này là một mệnh đề chứa biến.

+) Câu “|x| ≥ 0 với mọi giá trị thực của x”: là một khẳng định đúng vì giá trị tuyệt đối của một số thực luôn luôn không âm. Do đó câu này là một mệnh đề.

+) Câu “∀x ∈ ℕ*, x² + x > 0”: là một khẳng định đúng vì với số tự nhiên x khác 0 thì x² + x luôn dương. Do đó câu này là một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(X \cap Y = \left\{ {5;\,\,8;\,\,17} \right\}\).

Vậy số phần tử của tập \(X \cap Y\) là \(3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Thay \(x = 1\) và \(y = 5\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.1 + 5 < 1 \Leftrightarrow 3 < 1\] là một mệnh đề sai.

\[1 - 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0\]là một mệnh đề sai.

Do đó cặp \(\left( {1;\,\,5} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 3\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.\left( { - 1} \right) + 3 < 1 \Leftrightarrow 5 < 1\] là một mệnh đề sai.

\[ - 1 - 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0\]là một mệnh đề sai.

Do đó cặp \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.0 + 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < 1\] là một mệnh đề sai.

\[0 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \ge 0\]là một mệnh đề sai.

Do đó cặp \(\left( {0;\,\,1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.1 + 1 < 1 \Leftrightarrow - 1 < 1\] là một mệnh đề đúng.

\[1 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\]là một mệnh đề đúng.

Do đó cặp \(\left( {1;\,\,1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét biểu thức \[A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\]

Ta có \(\tan \alpha = 4\) nên \(cos\alpha \ne 0\).

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho \(cos\alpha \ne 0\), ta được:

\[A = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 3}}\].

Thay \(\tan \alpha = 4\)vào biểu thức trên ta được \[A = \frac{{4 + 1}}{{4 - 3}} = \frac{5}{1} = 5\].

Vậy giá trị biểu thức A là 5 khi \(\tan \alpha = 4\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\) thì \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét đường thẳng \(3x - 2y = - 6\)

Chọn \(x = 0 \Rightarrow y = 3\)

Chọn \(y = 0 \Rightarrow x = - 2\)

Suy ra đường thẳng \(3x - 2y = - 6\) đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (– 2; 0).

Lấy O(0; 0) có 3.0 – 2.0 = 0 > 0 – 6 nên điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(3x - 2y = - 6\) chứa điểm O và không kể đường thẳng.

Vì vậy hình vẽ C là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Tập con có \(2\) phần tử: \(\left\{ {m;\,\,n} \right\}\);

Tập con có \(3\) phần tử: \(\left\{ {m;\,\,n;\,\,1} \right\},\left\{ {m;\,\,n;\,\,5} \right\}\).

Tập con có \(4\) phần tử: \(\left\{ {m;\,\,n;\,\,1;\,\,5} \right\}\).

Vậy có \(4\) tập con của \(M\) thỏa mãn yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình \(x + y \le 3\) có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\sin A = 1\)

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\) (tổng 3 góc trong tam giác)

Do đó \(\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\), có:

\(K\) là trung điểm \(AB\),

\(N\) là trung điểm \(AC\)

Suy ra \(KN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow KN\parallel BC\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow {KN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CB} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử sau \(1,2\) giờ thì tàu thứ nhất đến vị trí \(B\), tàu thứ hai đến được vị trí \(C\).

Sau \(1,2\) giờ:

Tàu thứ nhất đi được quãng đường \(AB\) dài: \(25\,\,.\,\,1,2 = 30\,\,\left( {km} \right)\).

Tàu thứ hai đi được quãng đường \(AC\) dài: \(35\,\,.\,\,1,2 = 42\,\,\left( {km} \right)\).

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {42^2} - 2.30.42.\cos \left( {50^\circ 35'} \right)\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} \approx 1\,\,063,91\)

\( \Leftrightarrow BC \approx 32,62\).

Vậy sau 1,2 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu khoảng \(32,62\,\,km\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác \(ABC\), có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{c}{{2\sin C}}\).

Do đó A đúng, B sai.

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = pr = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{abc}}{{4pr}}\).

Do đó C và D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \). Do đó A đúng.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó B sai.

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó C sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \)(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)

\( = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MN} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: \(\left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R},2\,\,007 \le x \le 2\,\,022} \right\}\).

\( \Rightarrow 2\,\,007 \in \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]\) và \(2\,\,022 \in \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]\)

Vì vậy \(\left\{ {2\,\,007;2\,\,022} \right\} \subset \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]\). Do đó A đúng.

+) Tập \(\emptyset \) là tập con của mọi tập hợp nên \(\emptyset \subset \mathbb{Z}\). Do đó B đúng.

+) Ta có: \(\mathbb{N} = \left\{ {0;\,1;2;3;4;...} \right\}\)

\(\left[ {0; + \infty } \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R},x > 0} \right\}\)

Vì vậy \(\mathbb{N} \subset \left[ {0;\,\, + \infty } \right)\). Do đó C đúng.

+) Ta có: \(\left[ {2;\,\,6} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R},2 \le x \le 6} \right\}\)

\( \Rightarrow 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6 \in \left[ {2;6} \right]\)

\( \Rightarrow \left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \subset \left[ {2;\,\,6} \right]\)

Ta lại có \(\frac{5}{2} \in \left[ {2;6} \right]\) nhưng \(\frac{5}{2} \notin \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\).

\( \Rightarrow \left[ {2;\,\,6} \right] \not\subset \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\)

Vì vậy \(\left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \ne \left[ {2;\,\,6} \right]\). Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 1 < x \le 4} \right\} = \left( { - 1;4} \right]\).

Khi đó, ta có:

Vì vậy \(\mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)\).

b) Để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì m – 2 > – 1 ⇔ m > 1.

Vậy m > 1 thì \(A \cap B \ne \emptyset \).

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm A là \(x\) (sản phẩm) và số sản phẩm B là \(y\) (sản phẩm) \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Tổng thời gian lắp ráp \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(3x + 3y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá \(360\) giờ nên ta có: \(3x + 3y \le 360\) hay \(x + y \le 120\).

Tổng thời gian đóng gói \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(x + 2y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá 200 giờ nên ta có: \(x + 2y \le 200\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 120\\x + 2y \le 200\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm với \({d_1}:x + y = 120\) và \({d_2}:x + 2y = 200\), ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 100), B(40; 80), C(120; 0).

Goi F(x; y) là lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm A và y sản phẩm B.

Khi đó \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\)

Tại O(0; 0), có \(F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 3.0 = 0\).

Tại A(0; 100), có: \(F\left( {0;100} \right) = 2.0 + 3.100 = 300\).

Tại B(40; 80), có: \(F\left( {40;80} \right) = 2.40 + 3.80 = 320\).

Tại C(120; 0), có: \(F\left( {120;0} \right) = 2.120 + 3.0 = 240\).

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất là 320 triệu đồng thì cần sản xuất 40 sản phẩm A và 80 sản phẩm B.

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}\)

\( \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}\)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

Vậy \(AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

+) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (đvdt).

Chu vi tam giác \(ABM\) là:

\(p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a\) (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0,12a\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(0,12a\).