Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tập hợp \[A = \left\{ {\left. {{n^2} + 1} \right|n \in \mathbb{N},\,\,n \le 6} \right\}\]. Tập hợp nào sau đây là tập con của \(A\)?
\(\left\{ {\,1\,;\,3\,;\,5\,;\,7} \right\}\).
{ 2;4;10;26 }
\(\left\{ {\,2\,;\,10\,;\,17\,;\,37} \right\}\).
\(\left\{ {\,5\,;\,7\,;\,9\,;\,37} \right\}\).
Chọn C
Lần lượt thay các giá trị \(n = 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\), ta có \(A = \left\{ {\,1\,;\,2\,;\,5\,;\,10\,;\,17\,;\,26\,;\,37} \right\}\). Vậy chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình \[x + 2y - 3 > 0\].
\(\left( { - 1;4} \right)\).
\(\left( { - 2;3} \right)\).
\(\left( {4;0} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
Chọn D
Thay lần lượt các cặp số\[\left( {x;y} \right)\]ở trong đáp án vào bất phương trình \[x + 2y - 3 > 0\], chỉ có cặp \(\left( { - 1;0} \right)\)không thỏa mãn.
Trong các mệnh đề, mệnh đề nào sai?
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 > 0.\)
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 = 0.\)
\(\forall x \in \mathbb{R},\left| {x + 1} \right| \ge 0.\)
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} < 0.\)
Chọn D
Phát biểu A: đúng vì tồn tại 2 giá trị \(x = 1,x = 2\).
Phát biểu B: đúng
Phát biểu C: sai vì \({x^2} \ge 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Phát biểu D: đúng.
Điểm \[O\left( {0;0} \right)\] thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 > 0\\2x + y + 4 > 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 < 0\\2x + y + 4 > 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 > 0\\2x + y + 4 < 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 < 0\\2x + y + 4 < 0\end{array} \right.\].
Chọn B
Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào từng đáp án.
Đáp án \[A,{\rm{ }}B\] sai vì \(0 + 3.0 - 6 < 0\).
Đáp án \[D\] sai vì \(2.0 + 0 + 4 > 0\).
Nên ta chọn đáp án \[C\].
Cho \[A = \left\{ {1;3;4;5;6;8;0} \right\}\] và \[B = \left\{ {1;3;4;5;6;9} \right\}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[0 \in A\].
\[B \subset A\].
\[A \subset B\].
\[0 \in B\].
Chọn A
Cho tập \(A = \left[ {1;7} \right)\), , \(C = \left( {0; + \infty } \right)\). Tập \(A \cap B \cap C\) bằng\(B = \left( { - 2;5} \right]\)
\(\left( {0;7} \right)\).
\(\left( {1;5} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1;5} \right]\).
Chọn D
Ta có
* \(A \cap B = \left[ {1;5} \right],A \cap B \cap C = \left[ {1;5} \right]\) vì \(\left( {A \cap B} \right) \subset C\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ y - 2x = 2 2y - x = 4 x + y = 5
Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của \(F\).
\(\min F = 2\,khi\,x = 0,\,\,y = 2\).
\(\min F = 1\,khi\,x = 2,\,\,y = 3\)
\(\min F = 3\,khi\,x = 1,\,\,y = 4\).
Chọn C
Đường thẳng d: 2x - y = 2 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền I, II có bờ là đường thẳng d (như hình vẽ bên). Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2.x - y ≥ 2.
Nửa mặt phẳng I kể cả bờ d.
Nửa mặt phẳng II bỏ đi đường thẳng d.
Nửa mặt phẳng I bỏ đi đường thẳng d
Nửa mặt phẳng II kể cả bờ d.
Chọn A
Thay tọa độ điểm O (0;0) vào bất phương trình đã cho, ta có 2.0 - 0 ≥ 2 là mệnh đề sai. Do vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là miền I không chứa điểm O, kể cả bờ d.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Hãy tính \(\cos \alpha \)
\( - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\sqrt 6 - \frac{1}{2}\).
Chọn A
Ta có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\); kết hợp với \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{2}{3}\) suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Giá trị của biểu thức: \(\left( {2\sin {{30}^0} + {\rm{cos13}}{{\rm{5}}^0} - 3\tan {{150}^0}} \right)\left( {{\rm{cos}}{{180}^0} - {\rm{cos}}{{60}^0}} \right)\) là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Chọn D
\(\left( {2\sin {{30}^0} + {\rm{cos13}}{{\rm{5}}^0} - 3\tan {{150}^0}} \right)\left( {{\rm{cos}}{{180}^0} - {\rm{cos}}{{60}^0}} \right) = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 3.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right)\left( { - 1 - \frac{1}{2}} \right)\)
\( = \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right)\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Tam giác \[ABC\] có\[BC = 12\],\[CA = 9\],\[AB = 6\]. Trên cạnh \[BC\] lấy điểm \[M\] sao cho\[BM = 4\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[AM\]
\(2\sqrt 5 \).
\(3\sqrt 2 \).
\(\sqrt {20} \).
\(\sqrt {19} \).
Chọn D
Ta có: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {{12}^2} - {9^2}}}{{2.6.12}} = \frac{{11}}{{16}}\)
\[AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cosB} = \sqrt {{6^2} + {4^2} - 2.6.4.\frac{{11}}{{16}}} = \sqrt {19} \].
Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
\[0,8\;{{\rm{m}}^2}\].
\[1,6\;{{\rm{m}}^2}\].
\[1\;{{\rm{m}}^2}\].
\[2\;{{\rm{m}}^2}\].
Chọn C
Xét đường tròn bán kính \[1\], ta cắt trên đó một hình chữ nhật \[ABCD\].
Khi đó \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha \]\[ = 2\sin \alpha \le 2\].
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[\alpha = 90^\circ \].
Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng \[1\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm như sau: Mỗi kg sản phẩm loại I cần \(2\) kg nguyên liệu và \(30\) giờ, mức lời \(40\) nghìn. Mỗi kg sản phẩm loại II cần \(4\) kg nguyên liệu và \(15\) giờ, mức lời \(30\) nghìn. Xưởng có \(200\) kg nguyên liệu và \(1200\) giờ làm việc.
a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O(0;0)\), \(A(0;40)\), \(B(20;45)\), \(C(40;0)\) kể cả cạnh của tứ giác.
b) Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và sản phẩm loại II, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 4y \le 200}\\{30x + 15y \le 1200}\end{array}} \right.\).
c) Lợi nhuận bán sản phẩm \(F = 40x + 30y\) đạt GTLN tại điểm \(B(20;40)\).
d) Lợi nhuận lớn nhất thu được khi sản xuất \(40\) sản phẩm loại I và \(30\) sản phẩm loại II.
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
(Đúng) Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và sản phẩm loại II, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 4y \le 200}\\{30x + 15y \le 1200}\end{array}} \right.\)
(Vì):
Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và sản phẩm loại II, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 4y \le 200}\\{30x + 15y \le 1200.}\end{array}} \right.\)
(Sai) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O(0;0)\), \(A(0;40)\), \(B(20;45)\), \(C(40;0)\) kể cả cạnh của tứ giác
(Vì):
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O(0;0)\), \(A(0;50)\), \(B(20;40)\), \(C(40;0)\) kể cả cạnh của tứ giác.
(Đúng) Lợi nhuận bán sản phẩm \(F = 40x + 30y\) đạt GTLN tại điểm \(B(20;40)\)
(Vì):
Lợi nhuận bán sản phẩm \(F = 40x + 30y\) đạt GTLN tại điểm \(B(20;40)\).
(Sai) Lợi nhuận lớn nhất thu được khi sản xuất \(40\) sản phẩm loại I và \(30\) sản phẩm loại II
(Vì):
Vậy lợi nhuận lớn nhất thu được khi sản xuất \(20\) sản phẩm loại I và \(40\) sản phẩm loại II.
Cho các tập hợp G=x∈ℝ−12≤x≤21 ; H=x∈ℝ0≤x≤17. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) \(H \subset G\) b) \(H = \left[ {0;17} \right]\) c) \(G \subset H\) d) \(G = \left[ { - 12\,;\,21} \right]\)
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Đúng: \(G = [ - 12;21];\)Đúng: \(H = [0;17]\)Sai: \(G \not\subset H\)Đúng: \(H \subset G\)
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Trên sườn đồi, với độ dốc .\(12\% \) (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây \(30\;m\), người ta nhìn ngọn cây dưới một góc \({45^^\circ }\) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét).
Coi người quan sát từ điểm \(A\) cách gốc cây \(B\) một khoảng bằng \(30\;m\), nhìn ngọn cây C dưới góc .
\({45^^\circ }\)
Do sườn đồi có độ dốc \(12\% \), nên sườn đồi tạo với phương nằm ngang một góc \(\widehat {BAH} \approx {7^^\circ }\).
Từ đó \(\widehat {BAC} = \widehat {HAC} - \widehat {HAB} \approx {38^^\circ }\) và \(\widehat {BCA} = {45^^\circ }\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta được
\(BC = \frac{{AB}}{{\sin BCA}} \cdot \sin \widehat {BAC} = 26(m)\)
Lớp 10A1 có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích môn Ngữ Văn, 18 học sinh thích môn Toán, 4 học sinh thích cả hai môn Ngữ Văn và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ Văn và Toán?
Trả lời | 1 | 2 |
|
|
Ta có \(20 + 18 - 4 = 34\) học sinh hoặc thích môn Toán hoặc thích môn Ngữ Văn. Do đó có \(40 - 34 = 6\) học sinh không thích môn nào trong hai môn Toán và Ngữ Văn.
Cho hai tập hợp \(A = [m + 1;2m - 1],B = (0;6)\). Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên để \(A \subset B\)?
Trả lời | 1 |
|
|
|
Điều kiện: \(m + 1 < 2m - 1 \Leftrightarrow m > 2\)
Để \(A \subset B\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 > 0}\\{2m - 1 < 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - 1}\\{m < \frac{7}{2}}\end{array} \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{7}{2}} \right.} \right.\).
So điều kiện ta được . Vì m nguyên nên \(m = 3\). Vậy có 1 giá trị m nguyên.
Một người dùng ba loại nguyên liệu \(A,B,C\) để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(P\) và \(Q\). Để sản xuất \(1\;kg\) mỗi loại sản phẩm \(P\) hoặc \(Q\) phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:
Biết \(1\;kg\) sản phẩm \(P\) có lợi nhuận 3 triệu đồng và \(1\;kg\) sản phẩm \(Q\) có lợi nhuận 5 triệu đồng. Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi cao nhất bằng bao nhiêu?
Trả lời | 1 | 7 |
|
|
Gọi x là số kilôgam sản phẩm \(P\), y là số kilôgam sản phẩm \(Q\) cân sản xuất. Ta có hệ bất phương trình: \(2x + 2y \le 10;2y \le 4;2x + 4y \le 12;x \ge 0;y \ge 0\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được như hình trên.
Miền nghiệm là miền ngũ giác \(OCBAD\), các đỉnh: \(O(0;0);C(0;2);B(2;2);A(4;1)\); \(D(5;0)\)
Gọi F là số tiên lãi (đơn vị: triệu đồng) thu được, ta có: \(F = 3x + 5y\).
Tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác:
Tại \(O(0;0):F = 3.0 + 5.0 = 0;\quad \) Tại \(C(0;2):F = 3.0 + 5.2 = 10\);
Tại \(B(2;2):F = 3.2 + 5.2 = 16;\quad \) Tại \(A(4,1):F = 3.4 + 5.1 = 17\);
Tại \(D(5;0):F = 3.5 + 5.0 = 15\). \(\quad F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 17 tại \(A(4;1)\).
Vậy cân sản xuất \(4\;kg\) sản phẩm \(P\) và 1 kg sản phẩm \(Q\) để có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận.Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Từ hai vị trí \(A\),\(B\) người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy \(C\) là điểm gốc cây, \(D\) là điểm ngọn cây. \(A\),\(B\) cùng thẳng hàng với điểm \(H\) thuộc chiều cao \(CD\) của cây. Người ta đo được\(AB = 10m\), \(HC = 1,7m\), \(\alpha = 63^\circ \), \(\beta = 48^\circ \). Tính chiều cao của cây đó.
Ta có \(\alpha = 63^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}}\)\( \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)
Tam giác \(BHD\) vuông tại \(H\)nên có: \(\sin \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}}\)\( \Rightarrow HD = BD.\sin \widehat {HBD}\)
Vậy\[HD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {HBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\] \[ = \frac{{10.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 25,58m\].
Suy ra chiều cao của cây là: \(CD = CH + HD\)\( = 1,7 + 25,58\)\( = 27,28m\).
Gia đình chị Minh dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích \(8\) ha\(4\). Nếu trồng \(1\) ha rau thì cần \(20\) ngày công và thu lợi \(3\) triệu đồng. Nếu trồng \(1\) ha hoa thì cần \(30\) ngày công và thu lợi triệu đồng. Biết rằng, gia đình chị Minh chỉ có thể sử dụng không quá \(180\) ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, chị Minh có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y\left( {x \ge 0,y \ge 0} \right)\) lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa.
Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá \(8\) ha nên ta có \(x + y \le 8\).
Số ngày công sử dụng không vượt quá \(180\) ngày nên \(2x + 3y \le 180\).
Từ đó, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 180}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)
Ta cần tìm \(x,y\) sao cho \(T\left( {x,y} \right) = 3x + 4y\) lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ được biểu diễn như sau:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh của tứ giác đó, với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\), \(C\left( {0;6} \right)\).
Tại \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\).
Tại \(A\left( {8;0} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 0 = 24\).
Tại \(B\left( {6;2} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 26\).
Tại \(C\left( {0;6} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 6 = 24\).
Vậy số lợi nhuận cao nhất mà gia đình chị Minh thu được từ trồng rau và hoa là \(26\) triệu đồng.
Cho góc \(x\) là góc nhọn và thỏa mãn \(\sin x = \frac{5}{6}\). Tính giá trị biểu thức \(P = - \cos x + \sin x\).
\(\cos x = \sqrt {1 - \frac{{25}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\).
\( - \cos x + \sin x = 0,3\).
