Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Xác định số phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {n \in \mathbb{N}|n\, \vdots \,4\,,\,n < 2017} \right\}\).
\(505\).
\(503\).
\(504\).
\(502\).
Chọn A
Tập hợp \(X\) gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn \(2017\) và chia hết cho \(4\).
Từ \(0\) đến \(2015\) có \(2016\) số tự nhiên, ta thấy cứ \(4\) số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết cho \(4\). Suy ra có \(504\) số tự nhiên chia hết cho \(4\) từ \(0\) đến \(2015\). Hiển nhiên \(2016\, \vdots \,4\).
Vậy có tất cả \(505\) số tự nhiên nhỏ hơn \(2017\) và chia hết cho \(4\).
Cho \[A = \left\{ {1;3;4;5;6;8;9} \right\}\] và \[B = \left\{ {1;3;4;5;6;9} \right\}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[B \subset A\].
\[0 \in A\].
\[A \subset B\].
\[0 \in B\].
Chọn A
Cho mệnh đề chứa biến \[P\left( n \right):\] "\[{n^2} - 1\] chia hết cho \[4\]" với \[n\] là số nguyên. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[P\left( 5 \right)\] sai và \[P\left( 2 \right)\] sai.
\[P\left( 5 \right)\] sai và \[P\left( 2 \right)\] đúng.
\[P\left( 5 \right)\] đúng và \[P\left( 2 \right)\] đúng.
\[P\left( 5 \right)\] đúng và \[P\left( 2 \right)\] sai.
Chọn D
Ta có:
\[P\left( 5 \right):\] "\[{5^2} - 1\] chia hết cho \[4\]" tức là "\[24\] chia hết cho \[4\]", nên \[P\left( 5 \right)\] đúng.
\[P\left( 2 \right):\] "\[{2^2} - 1\] chia hết cho \[4\]" tức là "\[3\] chia hết cho \[4\]", nên \[P\left( 2 \right)\] sai.
Điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) là điểm không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(3x - y \le 0\).
\(2x - y + 4 < 0\).
\( - 3x + 2y - 4 < 0\).
\(x + 3y > 0\).
Chọn C
Thay tọa độ điểm \(A\) vào các đáp án ta thấy \(A\left( { - 1;3} \right)\) là điểm không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + 2y - 4 < 0\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\x - 3y \le - 3\\x + y > 5\end{array} \right.\] không chứa điểm nào sau đây?
\(B\left( {6\,\,;\,\,3} \right).\)
\(D\left( {5\,\,;\,\,4} \right).\)
\[A\left( {3\,\,;\,\,2} \right).\]
\(C\left( {6\,\,;\,\,4} \right).\)
Chọn C
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):x - y = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x - 3y = - 3\)
\(\left( {{d_3}} \right):x + y = 5\)
Ta thấy \(\left( {5\,\,;\,\,3} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {5\,\,;\,\,3} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Cho các tập hợp \(A = \left\{ {2;3;4;5;6;8} \right\},B = \left\{ {0;2;3;5;7} \right\}\). Có bao nhiêu tập \[X\] thỏa mãn \(X \subset A,X \subset B\)?
\(8\).
\(4\).
\(6\).
\(16\).
Chọn A
Ta có \[A \cap B = \left\{ {2;3;5} \right\}\]. Tập \[X\] thảo mãn điều kiện đề bài là tập con của \(A \cap B\). Suy ra có \({2^3} = 8\) tập \(X\) như vậy.
Cho \[\tan x = 2\], giá trị của biểu thức \[A = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3\cos x}}{{4\sin x + 2\cos x}}\]là
\(\frac{8}{7}\).
\(2\).
\(\frac{7}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
Chọn D
Vì \[\tan x = 2 \Rightarrow \sin x = 2\cos x\]. Ta có \[A = \frac{{\sin x + 3\cos x}}{{4\sin x + 2\cos x}} = \frac{{2\cos x + 3\cos x}}{{4.2\cos x + 2\cos x}} = \frac{{5\cos x}}{{10\cos x}} = \frac{1}{2}\].
Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\) cạnh của tam giác \(ABC\). Biết \(b = 7\);\(c = 5\);\(\cos A = \frac{4}{5}\). Tính độ dài của \(a\).
\(\frac{{23}}{8}\).
\(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
\(6\).
\(3\sqrt 2 \).
ChọnD
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\)ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{4}{5} = 18\)\( \Rightarrow a = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).
Miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \le - 2\) là
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(d:2x - y + 2 = 0\)
Ta thấy \(O\left( {0;0} \right)\) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\) là
\(10\).
\(6\).
\(8\).
\(12\).
Chọn A
Xét các điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\)
Khi đó \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc miền ngũ giác \(ABCDO\).
Trong đó \(A\left( {0;4} \right);B\left( {2;4} \right);C\left( {4;3} \right);D\left( {1;0} \right);O\left( {0;0} \right)\)
Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) đạt được giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác đó.
Thay tọa độ của các đỉnh vào biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) ta có:
\(F\left( {0;4} \right) = 8\)
\(F\left( {2;4} \right) = 10\)
\(F\left( {4;3} \right) = 10\)
\(F\left( {1;0} \right) = 1\)
\(F\left( {0;0} \right) = 0\)
Vậy biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\) đạt được giá trị lớn nhất bằng 10, tại điểm \(B\) hoặc \(C\).
Biết \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\). Hỏi giá trị của \(\tan \alpha \)bằng bao nhiêu?
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\( - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(2\).
\( - 2\).
Chọn B
Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).
Từ đó suy ra \(\frac{1}{{\frac{4}{9}}} = 1 + {\cot ^2}\alpha \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha = \frac{5}{4}\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \cot \alpha < 0\). Từ đó suy ra \(\cot \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Mặt kháC. \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \(\tan \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Với các số đo trên hình vẽ sau, chiều cao \(h\) của tháp nghiêng Pisa gần giá trị nào nhất?
\(6.5\).
\(8\)
\(7\).
\(7.5\).
Chọn D
Xét \(\Delta DAB\)có \(\widehat B = 40^\circ \), \(\widehat A = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \), \(\widehat D = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 17^\circ \), \(AB = 4\).
Áp dụng định lí sin trong \(\Delta DAB\) có \(\frac{{DA}}{{\sin \widehat B}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat D}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{DA}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{4}{{\sin 17^\circ }}\)\( \Leftrightarrow AD \approx 8,794\).
Xét tam giác vuông \(DHA\) có \(DH = h = AD.\sin 57^\circ = 7,375\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hai nửa khoảng \(A = ( - \infty ;m],B = [5; + \infty )\).Vậy:
a) Nếu \(m > 5\) thì \(A \cap B = [5;m]\). b) Nếu \(m = 5\) thì \(A \cap B = \{ 5\} \).
c) Nếu \(m = 9\) thì \(A \cup B = ( - \infty ; + \infty )\). d) Nếu \(m < 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
a) | Đ | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
Nếu \(m = 5\) thì \(A \cap B = \{ 5\} \).
Nếu \(m < 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
Nếu \(m > 5\) thì \(A \cap B = [5;m]\).
Nếu \(m = 9\) thì \(A \cup B = ( - \infty ; + \infty )\).
(Đúng) Nếu \(m = 5\) thì \(A \cap B = \{ 5\} \).
(Vì): Khi \(m = 5\), \(A = ( - \infty ;5]\) và \(B = [5; + \infty )\). Do đó \(A \cap B = \{ 5\} \).
(Đúng) Nếu \(m < 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
(Vì): Khi \(m < 5\), \(A = ( - \infty ;m]\) và \(B = [5; + \infty )\). Hai nửa khoảng này không có phần tử chung. Do đó, \(A \cap B = \emptyset \).
(Đúng) Nếu \(m > 5\) thì \(A \cap B = [5;m]\).
(Vì): Khi \(m > 5\), \(A = ( - \infty ;m]\) và \(B = [5; + \infty )\). Phần giao của hai tập này là các giá trị \(x\) sao cho \(5 \le x \le m\). Do đó, \(A \cap B = [5;m]\).
(Đúng) Nếu \(m = 9\) thì \(A \cup B = ( - \infty ; + \infty )\).
(Vì): Khi \(m = 9\), \(A = ( - \infty ;9]\) và \(B = [5; + \infty )\). Hợp của hai tập này là \(( - \infty ; + \infty )\).
Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán hàng khuyến mại hàng hóa (một sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở \(140\) người và \(9\) tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe \(A\) và \(B\). Trong đó xe loại \(A\) có \(10\) chiếc, xe loại \(B\) có \(9\) chiếc. Một chiếc xe loại \(A\) cho thuê với giá \(4\) triệu, loại \(B\) giá \(3\) triệu. Biết rằng xe \(A\) chỉ chở tối đa \(20\) người và \(0,6\) tấn hàng; xe \(B\) chở tối đa \(10\) người và \(1,5\) tấn hàng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe loại \(A\) và loại \(B\) mà công ty thuê.
a) Số tiền thuê xe thấp nhất là \(32\) triệu.
b) \(2x + y < 14\).
c) \(2x + 5y \ge 30\).
d) Số tiền thuê xe là \(4x + 3y\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
(Đúng) Số tiền thuê xe là \(4x + 3y\)
(Vì): Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe loại \(A\) và loại \(B\) cần phải thuê (\(x,y \in \mathbb{N}\)).
Khi đó số tiền thuê xe là \(T = 4x + 3y\) (triệu đồng).
(Sai) \(2x + y < 14\)
(Vì): Ta có \(20x + 10y \ge 140 \Leftrightarrow 2x + y \ge 14\).
(Đúng) \(2x + 5y \ge 30\)
(Vì): Ta có \(0,6x + 1,5y \ge 9 \Leftrightarrow 2x + 5y \ge 30\).
(Đúng) Số tiền thuê xe thấp nhất là \(32\) triệu
(Vì): Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\\{20x + 10y \ge 140}\\{0,6x + 1,5y \ge 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\\{2x + y \ge 14}\\{2x + 5y \ge 30.}\end{array}} \right.\)
Miền nghiệm của hệ (1) là miền đa giác \(ABCD\) (kể cả biên).
Ta có bảng
Giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(32\) đạt tại \(x = 5\), \(y = 4\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Một nhà máy sản xuất hai loại thức ăn gia súc: loại A và loại B; Để sản xuất 1 tấn thức ăn loại A cần 3 tấn nguyên liệu X, 2 tấn nguyên liệu Y và 1 tấn phụ gia. Để sản xuất 1 tấn thức ăn loại B cần 2 tấn nguyên liệu X, 4 tấn nguyên liệu Y và 3 tấn phụ gia. Nhà máy có tối đa 120 tấn nguyên liệu X, 160 tấn nguyên liệu Y và 80 tấn phụ gia. Biết rằng lợi nhuận thu được từ mỗi tấn thức ăn loại A là 20 triệu đồng và từ loại B là 30 triệu đồng. Lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) nhà máy thu được lớn nhất là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Trả lời | 1 | 0 | 8 | 6 |
Gọi \(x\) (tấn) và \(y\) (tấn) lần lượt là số lượng thức ăn loại A và loại B mà nhà máy nên sản xuất. Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\2x + 4y \le 160\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\x + 2y \le 80\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn thức ăn loại A và \(y\) tấn thức ăn loại B là:
\(T = 20x + 30y\)(triệu đồng)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
Vậy miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}A\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right),{\rm{ }}B\left( {\frac{{200}}{7};\frac{{120}}{7}} \right),{\rm{ }}C\left( {40;0} \right)\)
\(T = 20x + 30y\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{7600}}{7} \approx 1086\) tại \(x = \frac{{200}}{7},{\rm{ }}y = \frac{{120}}{7}\).
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy thu được là 1086 triệu đồng.
Cho hai tập hợp \(A = (m - 1;5)\) và \(B = (3; + \infty )\). Biết rằng \(\left[ {a;b} \right)\)là tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để \(A\backslash B = \emptyset \). Tính \(b - a\).
Trả lời | 2 |
|
|
|
Điều kiện: \(m - 1 < 5 \Leftrightarrow m < 6\).
Để \(A\backslash B = \emptyset \) khi và chỉ khi \(A \subset B\), tức là \(3 \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge 4\).
Đối chiếu điều kiện, ta được \(4 \le m < 6 \Rightarrow m \in \left[ {4;6} \right) \Rightarrow b - a = 2.\)
Một người đứng ở vị trí \(A\) trên nóc một ngôi nhà cao \(4\;m\) đang quan sát một cây cao cách ngôi nhà \(20\;m\) và đo được \(\widehat {BAC} = {45^^\circ }\). Tính chiều cao của cây đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).
Trả lời | 1 | 7 | , | 3 |
Xét tam giác vuông \(ABH\) ta có: \(AB = \sqrt {{4^2} + {{20}^2}} = 4\sqrt {26} (\;m)\) (định lí Pythagore) và \(\tan \widehat {ABH} = \frac{4}{{20}} = 0,2 \Rightarrow \widehat {ABH} \approx {11,3^^\circ }\). Do đó, \(\widehat {ABC} \approx {90^^\circ } - {11,3^^\circ } = {78,7^^\circ }\). Suy ra \(\widehat {ACB} \approx {180^^\circ } - {45^^\circ } - {78,7^^\circ } = {56,3^^\circ }\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\) \( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} \approx \frac{{4\sqrt {26} \sin {{45}^^\circ }}}{{\sin {{56,3}^^\circ }}} \approx 17,3(\;m)\). Vậy cây cao khoảng \(17,3\;m\).
Cho tập \(M\) có 100 số tự nhiên mà mỗi số hoặc chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 7 hoặc chia hết cho cả 5 và 7. Biết rằng trong số đó có 71 số chia hết cho 5 và 63 số chia hết cho 7. Hỏi tập \(M\) có bao nhiêu số chia hết cho 35 ?
Trả lời | 3 | 4 |
|
|
Gọi \(A\) là tập hợp những số chia hết cho 5 trong tập \(M\). Gọi \(B\) là tập hợp những số chia hết cho 7 trong tập \(M\). Theo đề bài, ta có \(|A \cup B| = 100,|A| = 71,|B| = 63\).
Suy ra \(|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 71 + 63 - 100 = 34\). Vậy có 34 số chia hết cho 35.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận.Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Cho hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{ - y + 1 \le 0}\end{array}} \right.\). Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(3{x_0} + {y_0}\).
Do \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{ - y + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x_0} - 1 \ge 0}\\{ - {y_0} + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} \ge \frac{1}{2}}\\{{y_0} \ge 1}\end{array}} \right. \Rightarrow 3{x_0} + {y_0} \ge \frac{5}{2}\).
Suy ra \(3{x_0} + {y_0}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{2}\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{1}{2}}\\{{y_0} = 1}\end{array}} \right.\)
Cho \({0^ \circ } \le x \le {180^0}\) và \(\cos x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\), tính \(P = 3\sin x + \cos x\)
Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được. Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài. Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo?
Lấy ba điểm \(A,\)\(B,\)\(C\) khác nhau trên đường tròn (ở các điểm ngoài cùng của đảo). Đo độ dài các đoạn thẳng \(BC = a,\)\(AC = b,\)\(AC = c\). Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác \(ABC\). \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\).
Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}\)
Vậy bán kính của đảo được tính theo công thức: \(R = \frac{{abc}}{{4S}}\).
