Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo đúng?
Nếu hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Nếu một số chia hết cho \[6\] thì cũng chia hết cho \[3\].
Nếu một phương trình bậc hai có \[\Delta < 0\] thì phương trình đó vô nghiệm.
Nếu \[a = b\] thì \[{a^2} = {b^2}\].
Chọn C
Cặp số \[\left( {x;y} \right) = \left( {9;8} \right)\] là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\[x--y < 0\].
\[2x - 5y--1 > 0\].
\(x + 3y - 5 < 0\).
\[2x - y + 1 \ge 0\].
Chọn C
Thay \[\left( {x;y} \right) = \left( {9;8} \right)\] vào từng bất phương trình trong đáp án, ta thấy chỉ có bất phương trình \[2x - y + 1 \ge 0\] được nghiệm đúng.
Để viết mệnh đề “7 là số tự nhiên” ta dùng ký hiệu
\(7 \subset \mathbb{N}\).
\(7 < \mathbb{N}\).
\(7 \in \mathbb{N}\).
\(7 \le \mathbb{N}\).
Chọn C
“\(7\) là số tự nhiên” được ký hiệu là \(7 \in \mathbb{N}\).
Cho A là tập hợp. Xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
\[A \cup \emptyset = \emptyset \].
\[A \cap \emptyset = A\].
\[\emptyset \subset A\].
\[\left\{ \emptyset \right\} \subset A\].
Chọn C
Phương án A: sai. Bởi khi viết \[\left\{ \emptyset \right\}\] thì đây là một tập hợp chứa duy nhất phần tử rỗng. Không có bất cứ cơ sở nào để khẳng định đây là tập con của A
Phương án B: đúng. Bởi \[\emptyset \] là tập con của mọi tập hợp.
Phương án C: sai. Bởi \[A \cap \emptyset = \emptyset \].
Phương án D: sai. Bởi \[A \cup \emptyset = A\].
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(D\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)
\(A\left( {1\,\,;\,\,2} \right).\)
\(B\left( {0\,\,;\,\,2} \right)\).
\(C\left( { - 1\,\,;\,\,3} \right)\).
Chọn A
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\)với \({90^0} < \alpha < {180^0}\). Giá trị của \(\cos \alpha \)bằng
\[ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
\[ - \frac{2}{3}\].
Chọn A
Có \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)mà \({90^0} < \alpha < {180^0}\)\[ \Rightarrow \cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]có \[AB = AC = a\]. Điểm \[M\]nằm trên cạnh \[BC\]sao cho \(BM = \frac{{BC}}{3}\). Độ dài \[AM\]bằng bao nhiêu?
\(\frac{{2a}}{3}\).
\(\frac{{a\sqrt {17} }}{3}\)
\(\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
Chọn D
Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \); \(BC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
Khi đó:\[AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos {{45}^0}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} - 2a.\frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\].
Hình dưới đây biểu diễn hình học miền nghiệm của bất phương trình nào? (Miền nghiệm là miền không gạch chéo và miền nghiệm không chứa đường thẳng)
\[3x + 2y > 2\].
\[ - 3x + 2y > 2\].
\[3x + 2y < 2\].
\[ - 3x + 2y < 2\].
Chọn B
Đường thẳng trong hình vẽ là \[ - 3x + 2y = 2\].
Gốc tọa độ \[O\left( {0;0} \right)\] không thuộc miền nghiệm nên ta chọn đáp án \[C\].
\(\left[ { - 3;4} \right)\).
\(\left[ {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;4} \right)\).
\(\left[ { - 2;4} \right)\).
Chọn D
Ta có \(A = \left[ { - 2; + \infty } \right)\) và \(B = \left[ { - 3;4} \right)\) nên \(A \cap B = \left[ { - 2;4} \right)\).
Cho tam giác đều \[ABC\]. Tính \(P = \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} ).\)
\(P = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(P = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(P = - \frac{3}{2}\).
\(P = \frac{3}{2}\).
Chọn C
Có \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = (\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} ) = \widehat {B'BC} = 120^\circ \).
Có \((\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ) = (\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {CA} ) = \widehat {C'CA} = 120^\circ \).
Có \((\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} ) = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AB} ) = \widehat {A'AB} = 120^\circ \).
Suy ra \(P = 3.\cos 120^\circ = - \frac{3}{2}\).
Cách 2.
\((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = \pi - (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \pi - \widehat {ABC} = \frac{{2\pi }}{3}\).
\((\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ) = \pi - (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} ) = \pi - \widehat {ACB} = \frac{{2\pi }}{3}\).
\((\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} ) = \pi - (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} ) = \pi - \widehat {CAB} = \frac{{2\pi }}{3}\).
Nên \(P = 3.\cos 120^\circ = - \frac{3}{2}\). (không cần dựng thêm hình).
Xét biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\). Chọn mệnh đề đúng.
\[\min F = 1\] khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 3\].
\[\min F = 2\] khi \[x = 0,{\rm{ }}y = 2\].
\[\min F = 0\] khi \[x = 4,{\rm{ }}y = 4\].
\[\min F = 3\] khi \[x = 1,{\rm{ }}y = 4\].
Chọn A
Giải trắc nghiệm
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa bất phương trình trên loại
Ta lần lượt tính hiệu \(F = y - x\) được \(\min F = 1\) khi\(x = 2,y = 3\).
Giải tự luận
Giá trị \(F\) tại các điểm \(A\left( {2;3} \right),\;B\left( {0;2} \right),\;C\left( {1;4} \right)\) lần lượt là \(1,2,3\). Suy ra, giá trị \({\rm{min}}F = 1\)
Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB\) bằng \(70m\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \). Phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Khi đó chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng
\(136m\).
\(135m\).
\(134m\).
\(133m\).
Chọn B
Ta có: \(\widehat {CIK} = \widehat {CAH} = 30^\circ ;\widehat {BAC} = 60^\circ \); \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \widehat {CIK} = 150^\circ \).
\(\widehat {BCA} = \widehat {BCI} = 180^\circ - \widehat {CBK} - \widehat {BIC} = 14^\circ 30'\).
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).
Trong tam giác \(BCK\) ta có: \(CK = BC\sin \widehat {CBK} = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).
Vậy đường cao khối chóp là: \(CH = CK + KH = CK + AB = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}} + AB \approx 135m\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Bác An dự định trồng hai loại cây ăn trái là mít và xoài trong nông trại rộng \(100\) (hecta). Biết mỗi hecta trồng mít cần \(20\) công chăm sóc và thu lại lợi nhuận \(150\) triệu đồng, mỗi hecta trồng xoài cần \(40\) công chăm sóc và thu lại lợi nhuận \(180\) triệu đồng. Biết rằng tổng số công cần dùng không được vượt quá \(2800\) công. Gọi \(x\), \(y\) (hecta) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng mít và xoài.
a) \(x + 2y \le 140\).
b) \(x + y \le 100\).
c) Tổng lợi nhuận thu được là \(F = 150x + 180y\) triệu đồng.
d) Lợi nhuận thu được lớn nhất là \(16\) tỷ đồng.
a) | Đ | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
(Đúng) \(x + y \le 100\)
(Vì): Ta có \(x + y \le 100\).
(Đúng) \(x + 2y \le 140\)
(Vì): Số công cần dùng là \(20x + 40y \le 2800\) hay \(x + 2y \le 140\).
(Đúng) Tổng lợi nhuận thu được là \(F = 150x + 180y\) triệu đồng
(Vì): Tổng số tiền thu được là \(F = 150x + 180y\) triệu đồng.
(Sai) Lợi nhuận thu được lớn nhất là \(16\) tỷ đồng
(Vì): Điều kiện \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).
Nên ta cần tìm \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 100}\\{x + 2y \le 140}\end{array}} \right.\) sao cho \(F = 150x + 180y\) lớn nhất.
Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được miền tứ giác \(OABC\) (kể cả biên) với \(A(0;70)\), \(B(60;40)\), \(C(100;0)\) và \(O(0;0)\) như hình bên dưới
Biểu thức \(F = 150x + 180y\) đạt giá trị lớn nhất tại \((x;y)\) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác \(OABC\).
Ta có
\(F(0;0) = 0\), \(F(0;70) = 12600\), \(F(100;0) = 15000\), \(F(60;40) = 16200\).
Khi đó giá trị lớn nhất tại \(B(60;40)\) nghĩa là bác Long cần trồng \(60\) hecta mít và \(40\) hecta xoài thì thu được lợi nhuận lớn nhất là \(16,2\) tỷ đồng.
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\) biết \(A\backslash B = \{ a;f\} ,A \cup B = \{ a;b;c;d;e;f;g;h\} \), \(B\backslash A = \{ b;g;h\} \). Vậy:
a) \(B = \{ b;c;d;e;g;h\} \)
b) \(A \cap B = \{ c;d;e\} .\)
c) \(A \subset B\)
d) \(A = \{ a;c;d;e;f\} \)
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Thực hiện biểu đồ Ven như hình bên.
Ta có: \(A = \{ a;c;d;e;f\} \),
\(\begin{array}{l}B = \{ b;c;d;e;g;h\} ,\\A \cap B = \{ c;d;e\} .\end{array}\)
Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6 giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4 giờ/ngày. Theo tính toán, nếu một ngày xưởng sản xuất được \(a\) tấn trục sắt và \(b\) tấn đinh ốc thì tiền lãi sẽ đạt cao nhất. Tính \(T = a + 3b\).
Trả lời | 1 | 0 |
|
|
Gọi là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày.
Số tiền lãi mỗi ngày: \(L(x,y) = 2x + y\) (triệu đồng).
Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt: \[3x + y\] (giờ).
Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện: \(x + y\) (giờ).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\)
Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\), tìm nghiệm \[({x_0};{y_0})\] sao cho \[L\left( {x;y} \right) = 2x + y\] lớn nhất.
Miền nghiệm của \((*)\) là tứ giác \(OABC\)như hình vẽ với \(O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)\).
Ta có: \(L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1,3) = 5,L(0,4) = 4\).
Suy ra: GTLN của \(L\left( {x;y} \right)\) bằng \(5\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)
Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.
Khi đó \(a = 1,\;b = 3\;\)nên \(a + 3b = 10\).
Cho hai tập \(A = ( - \infty ;m)\) và \(B = [2m - 2;2m + 2]\). Số nguyên \(m\) lớn nhất để \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right) \cap B \ne \emptyset \) là số nào?
Trả lời | - | 2 |
|
|
Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = [m; + \infty )\).
Để \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right) \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow 2m + 2 \ge m \Leftrightarrow m \ge - 2\).
Vậy số nguyên \(m\) lớn nhất để \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right) \cap B \ne \emptyset \) là \( - 2.\)
Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (\(AB = 4,3\)cm;\(BC = 3,7\)cm; \(CA = 7,5\) cm). Tính bán kính của chiếc đĩa. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Trả lời | 5 | , | 7 | 4 |
Bán kính \[R\] của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác\[ABC\].
Nửa chu vi của tam giác \[ABC\] là: \[p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{4,3 + 3,7 + 7,5}}{2} = \frac{{31}}{4}\]cm.
Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} \approx 5,2\]cm2.
Mà \[S = \frac{{AB.BC.CA}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{AB.BC.CA}}{{4S}} \approx 5,74\]cm.
Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn, 6 học sinh không chơi môn nào. Tìm số học sinh chỉ chơi một môn thể thao?
Trả lời | 2 | 0 |
|
|
Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh chơi bóng đá, \(B\) là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn,
C là tập hợp các học sinh không chơi môn thể thao nào.
Ta có: \(|A|\): là số học sinh chơi bóng đá; \(|B|\): là số học sinh chơi bóng bàn; \(|C|\): là số học sinh không chơi môn thể thao nào.
Khi đó số học sinh chỉ chơi một môn thể thao là: \(|A| + |B| - 2|A \cap B| = 25 + 23 - 2.14 = 20.{\rm{ }}\)
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận.Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Biết rằng \(\sin {15^ \circ } = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \({15^ \circ }\). Chứng minh\(2\sin {15^ \circ }.\cos {15^ \circ } = \sin {30^ \circ }\)
Bạn Quân đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn Quân tới chiếc diều và phương nằm ngang) là \(\alpha = {28^^\circ }\); khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn Quân là \(1,1\)m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn Nga cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là \(\beta = {67^^\circ }\); khoảng cách từ mặt đất tới mắt bạn Nga cũng là \(1,1\)m. Biết chiều cao của tòa nhà là \(h = 26m\) (minh họa ở hình bên). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất
Kí hiệu là vị trí của chiếc diều.\(C\)
Từ điểm \(B\) vẽ đường thẳng \(Bx\) vuông góc với \(AB\).
Từ điểm \(C\) kẻ \(CH \bot Bx\) (\(H\) thuộc \(Bx\)).
Từ điểm \(A\) kẻ \(AK \bot CH\) (\(K\) thuộc \(CH\)).
Khi đó \(\widehat {CAK} = \alpha \) và \(\widehat {CBH} = \beta \).
Chiều cao của diều so với mặt đất chính là độ dài đoạn thẳng \(CH\).
Vì khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn \(A\) và khoảng cách từ mặt đất tới mắt bạn \(B\) đều là \(1,1\)m nên \(AB = h = 26\)m.
Tứ giác \(ABHK\) là hình chữ nhật.
\(\widehat {CAB} = \widehat {CAK} + \widehat {KAB} = {28^^\circ } + {90^^\circ } = {118^^\circ }\).
\(\widehat {CBA} = \widehat {ABH} - \widehat {CBH} = {90^^\circ } - {67^^\circ } = {23^^\circ }\).
Trong tam giác \(ABC\) ta có
\(\hat C = {180^^\circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^^\circ } - \left( {{{118}^^\circ } + {{23}^^\circ }} \right) = {39^^\circ }\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{26\sin {{118}^^\circ }}}{{\sin {{39}^^\circ }}} \approx 36\)
Trong tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) ta có
\(CH = BC\sin B \approx 36\sin {67^^\circ } \approx 34\)m
Vậy chiếc diều bay cao khoảng \(34,7\) mét so với mặt đất.
Một đại lý xe máy có kế hoạch nhập về hai dòng xe máy \(A\) và \(B\), giá mỗi chiếc lần lượt là \(40\) triệu đồng và \(60\) triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá \(4,8\) tỉ đồng. Xe máy \(A\) mang lợi nhuận \(8\) triệu đồng cho mỗi chiếc và xe máy \(B\) mang lợi nhuận \(10\) triệu đồng cho mỗi chiếc. Đại lý ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá \(90\) chiếc cả hai loại. Chủ đại lý cần đầu tư kinh doanh \(a\) chiếc loại \(A\) và \(b\) chiếc loại \(B\) để thu được lợi nhuận lớn nhất. Tính \(a \cdot b\).
Gọi số xe máy loại \(A\) và \(B\) cần đầu tư lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(x,y \in \mathbb{N}\)).
Do tổng số vốn ban đầu không vượt quá \(4,8\) tỉ đồng nên ta có \(\)40\cdot 10^6x+60\cdot 10^6y\leq 4{,}8\cdot 10^9\Leftrightarrow 2x+3y\leq 240.\(\)
Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá \(90\) chiếc cả hai loại nên \(x + y \le 90\).
Lợi nhuận thu được là \(F = 8 \cdot {10^6}x + 10 \cdot {10^6}y = 2 \cdot {10^6} \cdot (4x + 5y)\).
Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 90}\\{2x + 3y \le 240}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.
Tại \(O\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = 0\).
Tại \(A(90;0)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 90 + 5 \cdot 0) = 720 \cdot {10^6}\).
Tại \(B(30;60)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 30 + 5 \cdot 60) = 840 \cdot {10^6}\).
Tại \(C(0;80)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 80) = 800 \cdot {10^6}\).
\(F\)đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 30\) và \(y = 60\).
Vậy cần đầu tư kinh doanh loại \(A\) là \(30\) chiếc và loại \(B\) là \(60\) chiếc để thu được lợi nhuận lớn nhất.
Suy ra \(a = 30\) và \(b = 60\), \(a \cdot b = 1800\).
