Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 2 \ge 0}\\{2x + y + 1 \le 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\(Q( - 1;0)\)
\(P(1;3)\)
\(N( - 1;1)\)
\(M(0;1)\)
Chọn C
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với M (0;1) 0 + 3.1 - 2 = 02.0 +1 +1 = 0 . Bất phương trình thứ hai sai nên A sai.
Với N (-1:1) -1 + 3.1 -2 = 0 2.(-1) +1 +1 = 0 Đúng.
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \[X = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - 5x + 3 = 0} \right\}\].
\(X = \left\{ 0 \right\}\).
\(X = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).
\(X = \left\{ 1 \right\}\).
Chọn C
Các phần tử của tập hợp \[X = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - 5x + 3 = 0} \right\}\] là các nghiệm của phương trình \[2{x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\].
Tìm số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
i) \(\forall x \in \mathbb{R},\,2x + 1 > 0\).
iii) \(\exists x \in \mathbb{Q},\,{x^2} = 5\).
ii) \(\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 1 > 0\).
iv) \(\exists x \in \mathbb{R},\,{(x - 3)^2} \le 0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(4\).
Chọn B
Ta có \(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\) nên i) sai.
\(\forall x \in \mathbb{R},\,{x^2} + 1 > 0\) nên ii) đúng.
\({x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 \notin \mathbb{Q}\) nên iii) sai.
\({(x - 3)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 3\) nên iv) đúng.
Hỏi cặp số \[\left( {1\,;\, - 1} \right)\]là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\[ - x - y < 0\].
\[x + y - 3 > 0\].
\[ - x - 3y - 1 < 0\].
\[x + 3y + 1 < 0\].
Chọn D
Xét :
Thay \[x = 1\], \[y = - 1\] vào bất phương trình \[x + y - 3 > 0\], ta được: \[1 + \left( { - 1} \right) - 3 > 0 \Leftrightarrow - 3 > 0\] (Vô lý). Vậy cặp số \[\left( {1\,;\, - 1} \right)\]không là nghiệm của bất phương trình \[x + y - 3 > 0\]. Loại
Xét :
Thay \[x = 1\], \[y = - 1\] vào bất phương trình \[ - x - y < 0\], ta được: \[ - 1 - \left( { - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\] (Vô lý). Vậy cặp số \[\left( {1\,;\, - 1} \right)\]không là nghiệm của bất phương trình \[ - x - y < 0\]. Loại
Xét :
Thay \[x = 1\], \[y = - 1\] vào bất phương trình \[x + 3y + 1 < 0\], ta được: \[1 + 3.\left( { - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < 0\] (Luôn đúng). Vậy cặp số \[\left( {1\,;\, - 1} \right)\]là nghiệm của bất phương trình \[x + 3y + 1 < 0\].
Xét :
Thay \[x = 1\], \[y = - 1\] vào bất phương trình \[ - x - 3y - 1 < 0\], ta được: \[ - 1 - 3.\left( { - 1} \right) - 1 < 0 \Leftrightarrow 1 < 0\] (Vô lý). Vậy cặp số \[\left( {1\,;\, - 1} \right)\]không là nghiệm của bất phương trình \[ - x - 3y - 1 < 0\]. Loại
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in N\left| {x \le 5} \right.} \right\}\). Tập \(A\) được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là.
\(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).
\(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
\(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
\(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
Chọn A
Giá trị lớn nhất của biểu thức\[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\], với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 4}\\{x \ge 0}\\{x - y - 1 \le 0}\\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right.\) là
\(6\).
\[8\].
\[12\].
\[10\].
Vẽ các đường thẳng
\({d_1}:y = 4\);
\({d_2}:x - y - 1 = 0\); \({d_3}:x + 2y - 10 = 0\);
\(Ox:y = 0;{\rm{ }}Oy:x = 0\).
Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A\left( {0;4} \right),O\left( {0;0} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {4;3} \right),D(2;4)\)Vì điểm \({M_0}\left( {1;1} \right)\)có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy\) không chứa điểm \({M_0}\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(OADCB\)kể cả các cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho.
Kí hiệu \(F(A) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} + 2{y_A}\), ta có
\(F(A) = 8,\)\(F(O) = 0,\)\[F(B) = 1,\]\[F(C) = 10;\]\[F(D) = 10\],\(0 < 1 < 8 < 10\).
Giá trị lớn nhất cần tìm là \(10\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {a = 3n|n \in {\mathbb{N}^*}} \right\}\), \(B = \left\{ {b \in \mathbb{N}|0 < b \le 9} \right\}\). Khẳng định nào sau đây là không đúng?
\(18 \in {\rm{A}}{\rm{,9}} \in A,9 \in B\).
\(15 \in {\rm{A}},15 \notin B\).
\(B \subset A\).
\(A \cap B = \left\{ {3;6;9} \right\}\).
Chọn C
Ta có \(A = \left\{ {3;6;9;...3n;...} \right\}\)\(;B = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) nên \(B \not\subset A\).
Đường thẳng \(d:2x - y - 2 = 0\) chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền \(I\), \(II\) là hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\) (Hình vẽ bên).
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\).
Nửa mặt phẳng \(I\) kể cả bờ \(d\).
Nửa mặt phẳng \(II\) kể cả bờ \(d\).\
Nửa mặt phẳng \(I\) bỏ đi đường thẳng \(d\).
Nửa mặt phẳng \(II\) bỏ đi đường thẳng \(d\).
Chọn A
Ta thấy \(O\left( {0;\;0} \right) \notin d\) và \(2.0 - 0 - 2 = - 2 < 0\) nên \(\left( {0;\;0} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\).
Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\) là miền không chứa điểm \(O\) kể cả đường thẳng \(d\).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 2 \ge 0\) là nửa mặt phẳng \(I\) kể cả bờ \(d\).
Cho biết \(\sin \frac{\alpha }{3} = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{3}\) là
\(P = \frac{{111}}{{25}}\).
\(P = \frac{{107}}{{25}}\).
\(P = \frac{{105}}{{25}}\).
\(P = \frac{{109}}{{25}}\).
Chọn C
Ta có: \({\sin ^2}\frac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{3} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\frac{\alpha }{3} = 1 - {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\). \( \Rightarrow \)\(P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{3} = 3.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + 5.\frac{{16}}{{25}} = \frac{{107}}{{25}}\).
Cho \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\cos \left( {90^\circ + \alpha } \right) = - \sin \alpha \].
\[\tan \left( {90^\circ + \alpha } \right) = \cot \alpha \].
\[\sin \left( {90^\circ + \alpha } \right) = - \cos \alpha \].
\[\cot \left( {90^\circ + \alpha } \right) = \tan \alpha \].
Chọn A
Tam giác \[ABC\] có \(\cos \left( {A + B} \right) = - \frac{1}{8}\), \[AC = 4\], \[BC = 5\]. Tính cạnh \[AB\]
\(\sqrt {46} \).
\(5\sqrt 2 \).
\[11\].
\[6\].
Chọn D
Vì trong tam giác \(ABC\) ta có \(A + B\) bù với góc \(C\) nên \(\cos \left( {A + B} \right) = - \frac{1}{8} \Rightarrow \cos C = \frac{1}{8}\) \(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos C} = \sqrt {{4^2} + {5^2} - 2.4.5.\frac{1}{8}} = 6\).
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \({60^0}\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(20\,km/h\), tàu thứ hai chạy với tốc độ \(30\,km/h\). Hỏi sau \(3\)giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu \(km\).
\(30\sqrt 7 \).
\(20\sqrt 7 \).
\(35\sqrt 7 \).
\(10\sqrt 7 \).
Chọn A
Gọi \(B\)và \(C\) lần lượt là hai vị trí mà tàu thứ nhất và tàu thứ hai tới được sau \(3\)giờ.
Xét tam giác \(ABC\)có: \(\widehat {BAC} = {60^0}\), \(AB = 3.20 = 60\left( {km} \right)\), \(AC = 3.30 = 90\left( {km} \right)\).
Áp dụng định lý cosin được: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {60^0}\)
\( = {60^2} + {90^2} - 2.60.90.\frac{1}{2} = 6300\)
\( \Rightarrow BC = 30\sqrt 7 \left( {km} \right)\).
Vậy sau\(3\)giờ hai tàu cách nhau \(30\sqrt 7 \left( {km} \right)\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tập hợp \(A = \{ n \in {\mathbb{N}^*}\mid \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 3} \right) = 0\} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{R}\mid {x^2} + 6x = 0\} \). Hãy xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a) Số tập con của tập hợp \(B\) bằng \(3\).
b) Số phần tử của tập hợp \(A\) là \(2\).
c) \(A \cap B = \emptyset \).
d) \(A \cup B = \{ - 6,0,1,2\} \).
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
(Đúng) Số phần tử của tập hợp \(A\) là \(2\)
(Vì): Ta có \(A = \{ n \in {\mathbb{N}^*}\mid \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 3} \right) = 0\} \). Các nghiệm của phương trình là \(n = 1,n = 2,n = - 3\). Vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta chọn \(n = 1,n = 2\). Vậy \(A = \{ 1,2\} \), số phần tử của tập hợp \(A\) là \(2\).
(Sai) Số tập con của tập hợp \(B\) bằng \(3\)
(Vì): Ta có \(B = \{ x \in \mathbb{R}\mid {x^2} + 6x = 0\} \). Các nghiệm của phương trình là \(x = 0,x = - 6\). Vậy \(B = \{ - 6,0\} \), số phần tử của tập hợp \(B\) là \(2\). Số tập con của tập hợp \(B\) là \({2^{|B|}} = {2^2} = 4\) tập hợp.
(Đúng) \(A \cup B = \{ - 6,0,1,2\} \)
(Vì): Ta có \(A = \{ 1,2\} \) và \(B = \{ - 6,0\} \). Hợp của hai tập hợp \(A\) và \(B\) là \(A \cup B = \{ - 6,0,1,2\} \).
(Đúng) \(A \cap B = \emptyset \)
(Vì): Ta có \(A = \{ 1,2\} \) và \(B = \{ - 6,0\} \). Giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) là \(A \cap B = \emptyset \).
Cho hai bất phương trình \(2x - 3y \le 2\) và \(5x + y \ge - 6\) và \(5x + y \ge - 6\)
a) Gốc tọa độ nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 2\).
b) Tồn tại duy nhất \(1\) cặp số \((x;y)\) sao cho \(x,y\) không là số nguyên dương thuộc bất phương trình \(5x + y \ge - 6\).\(O(0;0)\)
c) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức với \(x,y\) thõa mãn hệ bất \(O(0;0)\)trình \((*)\) là \(P = - \frac{6}{5}\).
d) Miền nghiệm biểu diễn của hệ bất phương trình \((*)\) là một tứ giác nội tiếp đường tròn khi biểu diễn lên hệ trục tọa độ \(Oxy\). Hệ bất phương trình \((*)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y \le 2}\\{5x + y \ge - 6}\\{y \le 0}\\{x \le 0}\end{array}} \right.\).
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | S |
a) Thay vào bất phương trình \(2x - 3y \le 2\) và và ta thấy đều thỏa, do vậy gốc tọa độ nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 2\).
\(x,y\)không là số nguyên dương \( \Rightarrow \left\{ {x,y \in \mathbb{Z}|x \le 0,y \le 0} \right\}\). Kẻ miền nghiệm lên đồ thị \(Oxy\), ta thấy được rằng có hai điểm \(( - 1;0)\), và thõa mãn yêu cầu.
Do đó tồn tại nhiều hơn \(1\) cặp số \((x;y)\) thõa mãn.
Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình trên lên đồ thị, ta được:
Xét tứ giác được tạo bởi miền nghiệm, ta thấy tổng giá trị góc \(O\) và góc đối diện góc \(O\) không bằng \({180^^\circ }\), do đó đây không là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(P = x + y\) sẽ nằm trên các đỉnh của miền nghiệm. Lần lượt ta có các đỉnh là \((0;0)\), \(\left( { - \frac{6}{5};0} \right)\), \(\left( {0;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\), \(\left( { - \frac{{16}}{{17}}; - \frac{{22}}{{17}}} \right)\).\\ Dễ thấy biểu thức \(P\) đạt giá giá trị nhỏ nhất là \(P = - \frac{{38}}{{17}}\).
Do vậy \(P = - \frac{6}{5}\) là sai.
(Đúng) Gốc tọa độ \(O(0;0)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y \le 2\)
(Sai) Tồn tại duy nhất \(1\) cặp số \((x;y)\) sao cho \(x,y\) không là số nguyên dương thuộc bất phương trình \(5x + y \ge - 6\)
(Sai) Miền nghiệm biểu diễn của hệ bất phương trình \((*)\) là một tứ giác nội tiếp đường tròn khi biểu diễn lên hệ trục tọa độ \(Oxy\).
Hệ bất phương trình \((*)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y \le 2}\\{5x + y \ge - 6}\\{y \le 0}\\{x \le 0}\end{array}} \right.\)
(Sai) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\) với \(x,y\) thõa mãn hệ bất phương trình \((*)\) là \(P = - \frac{6}{5}\)
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Cho hai tập hợp \(A = (2m - 7;m - 5],B = [ - 3;1)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để \(A \subset B\)?
Trả lời | 0 |
|
|
|
Điều kiện: \(2m - 7 < m - 5 \Leftrightarrow m < 2\)
Để \(A \subset B\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 7 \ge - 3}\\{m - 5 < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 2}\\{m < 6}\end{array} \Leftrightarrow 2 \le m < 6} \right.} \right.\).
Kết hợp với kiện thấy không có \(m\) thỏa yêu cầu.
Có ba nhóm máy \(X,Y,Z\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt phải dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:
Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Công ty cần sản suất tổng số bao nhiêu sản phẩm loại 1 và sản phẩm loại 2 đề cho tổng số tiền lãi thu được là cao nhất?
Trả lời | 5 |
|
|
|
Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra. Như vậy tiền lãi có được là \(F\left( {x;y} \right) = 3x + 5y\) (nghìn đồng).
Theo giả thiết, số máy cần dùng nhóm X: \(2x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm Y là \(0x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm \(Z\) là \(2x + 4y\) (máy).
Ta có hệ bất phương trình \[\left( * \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2y \le 10}\\{2y \le 4}\\{2x + 4y \le 12}\\{x \ge 0,y \ge 0}\end{array}} \right.\].
Miền nghiệm của hệ \((*)\) được biểu diễn là miền của ngũ giác \(OABCD\) với \(O(0;0),A(0;2),B(2;2),C(4;1),D(5;0)\).
Xét \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 3.0 + 5.0 = 0\);
Xét \(A(0;2)\), ta có \(F(0;2) = 3.0 + 5.2 = 10\);
Xét \(B(2;2)\), ta có \(F(2;2) = 3.2 + 5.2 = 16\);
Xét \(C(4;1)\), ta có \(F(4;1) = 3.4 + 5.1 = 17\);
Xét \(D(5;0)\), ta có \(F(5;0) = 3.5 + 5.0 = 15\).
Từ các kết quả trên, ta thấy khoản lãi lớn nhất \((F(x;y)\) lớn nhất) bằng 17 (ngàn đồng), khi đó người ta cần làm ra 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II (tức là \(x = 4,y = 1\)).
Khối 10 của một trường THPT có 440 em học sinh, trong đó có 250 em thích môn Văn, 210 em thích môn Toán, 240 em thích môn Anh, 65 em không thích môn nào, 75 em thích cả ba môn. Hỏi số em chỉ thích một trong ba môn trên là bao nhiêu?
Gọi \(a,b,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích Văn, Toán, Anh.
\(x\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Toán.\(y\)
là số học sinh chỉ thích hai môn Anh, Toán.
\(z\)là số học sinh chỉ thích hai môn Văn, Anh.
Điều kiện \(a,b,c,x,y,z, \in \mathbb{N}\).
Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn là
\(440 - 65 = 375{\rm{(em)}}{\rm{. }}\)
Ta có hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + x + z + 75 = 250 & & \left( 1 \right)}\\{b + x + y + 75 = 210 & & \left( 2 \right)}\\{c + y + z + 75 = 240 & & \left( 3 \right)}\\{a + b + c + x + y + z + 75 = 375 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right.\]
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(a + b + c + 2(x + y + z) = 475\) (5)
Từ (4), (5) suy ra \(a + b + c = 125\).
Vậy có 125 em chỉ thích một trong ba môn trên.
Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm , đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc \(40^\circ \) để đến đích là điểm \[D\], góc \[PAD\] bằng \(100^\circ \). Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại \[A\] và \[B\] (như hình vẽ minh hoạ).
Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (làm tròn đến 1 chữ số sau dấu thập phân)?
Trả lời | 3 | , | 5 |
|
Xét tam giác \[PAD\] có \[PD = \sqrt {P{A^2} + A{D^2} - 2.PA.AD.\cos \widehat {PAD}} = \sqrt {{8^2} + {3^2} - 2.8.3.\cos 100^\circ } \approx 9(km).\]
Và \[\cos \widehat {APD} = \frac{{P{A^2} + P{D^2} - A{D^2}}}{{2.PA.PD}} = \frac{{{8^2} + {9^2} - {3^2}}}{{2.8.9}} = \frac{{17}}{{18}}\] suy ra \[\widehat {APD} \approx 19^\circ \].
Xét tam giác \[PBD\] có \[\widehat {BPD} = \widehat {BPA} - \widehat {APD} = 40^\circ - 19^\circ = 21^\circ \]
Và \[BD = \sqrt {P{B^2} + P{D^2} - 2.PB.PD.\cos \widehat {BPD}} \] \[ = \sqrt {{7^2} + {9^2} - 2.7.9.\cos 21^\circ } \approx 3,5\] (km).
Vậy bạn Bình phải đi khoảng \[3,5\] km nữa để đến đích.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Cho \(\tan \alpha = 3\), giá trị của biểu thức \(A = \frac{{ - \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\).
Ta có
\(A = \frac{{ - \tan \alpha + 3}}{{ - \tan \alpha - 1}} = 0\).
Bạn Linh đự định làm tối đa \(9\) sản phẩm trang trí để bày bán tại gian hàng hội chợ của trường. Nếu làm một sản phẩm loại \(A\) thì cần \(40\) phút và thu được \(15\) nghìn đồng. Nếu làm một sản phẩm loại \(B\) thì cần \(60\) phút và thu được \(20\) nghìn đồng. Hãy tính số tiền nhiều nhất mà Linh có thế thu được (đơn vị nghìn đồng)? Biết bạn Linh chỉ có tối đa \(8\) giờ cho việc làm các sản phẩm trang trí.
Gọi \(x\) là số sản phẩm loại \(A \) mà Linh làm.
Gọi \(y\) là số sản phẩm loại \(B \) mà Linh làm. (điều kiện \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).)
Linh chỉ làm tối đa \(9\) sản phẩm suy ra \(x + y \le 9\).
Tổng thời gian làm sản phẩm không vượt quá \(8\) giờ \( = 480\) phút.
Suy ra \(40x + 60y \le 480 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24\).
Lợi nhuận thu được (đơn vị: nghìn đồng) là \(P = 15x + 20y\).
Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 9}\\{2x + 3y \le 24}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)
Biểu diễn các bất phương trình trên hệ trục tọa độ ta được miền nghiệm là miền trong của tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.
Tại \(O(0;0):P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot 0 = 0\).
Tại \(A(9;0):P = 15 \cdot 9 + 20 \cdot 0 = 135\).
Tại \(B(3;6):P = 15 \cdot 3 + 20 \cdot 6 = 165\).
Tại \(C(0;8):P = 15 \cdot 0 + 20 \cdot 8 = 160\).
Số tiền lớn nhất Linh thu được là \(165\) nghìn đồng, khi làm \(3\) sản phẩm loại \(A\) và \(6\) sản phẩm loại \(B\).
Để đo chiều cao \(CH\) của một tháp truyền hình, người ta chọn hai điểm quan sát \(A\), \(B\) trên mặt đất (hình vẽ). Biết CAH^=47°, CBH^=57° và \(AB = 63m\), tính chiều cao của tháp. 
Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAH} = {57^^\circ } - {47^^\circ } = {10^^\circ }\).
Áp dụng định lí sin ta có
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAH}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAH}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}}\)
Suy ra \(CH = BC\sin \widehat {CBH} = \frac{{63\sin {{47}^^\circ }\sin {{57}^^\circ }}}{{\sin {{10}^^\circ }}} \approx 222,5m\).
