Bộ 10 Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng phần Toán học và xử lý số liệu (có đáp án) - Đề số 1

Hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m\left( {mx - 1} \right) < 2}\\{m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1}\end{array}} \right.\] có nghiệm khi và chỉ khi 

Một quả bóng được thả thẳng đứng từ độ cao \(10{\rm{\;m}}\) rơi xuống đất và nảy lên. Giả sử sau mỗi một lần rơi xuống, nó nảy lên được một độ cao bằng \(75{\rm{\% }}\) độ cao vừa rơi xuống. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(10{\rm{\;}}\)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).    

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3; \ldots ;99} \right\}\). Tìm số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp \(A\) để ba số đó lập thành cấp số cộng (nhập đáp án vào ô trống). 

Biết rằng khi nung nóng một vật với nhiệt độ tăng từ \(20^\circ {\rm{C}}\), mỗi phút tăng \(4^\circ {\rm{C}}\) trong 70 phút, sau đó giảm mỗi phút \(2^\circ {\rm{C}}\) trong 50 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (\(^\circ {\rm{C}}\)) trong tủ theo thời gian \(t\) (phút) có dạng:\(T\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20 + 4t}&{{\rm{ khi }}0 \le t \le 70}\\{a - 2t}&{{\rm{ khi }}70 < t \le 120}\end{array}} \right.\)(\(a\) là hằng số). Biết rằng, \(T\left( t \right)\) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của \(a\).    

Biết rằng \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = a\sin x + b\cos x\) với \(a,b\) là các hằng số thực. Giá trị của \(a - 2b\)bằng bao nhiêu?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \[{\log _5}\left( {1 - 2x} \right) < 1 + {\log _{\sqrt 5 }}\left( {x + 1} \right)\] là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {x^2} + 1,\forall x \in \mathbb{R}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 3}}\). Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) (với \({y_0} > 0\)) thuộc đồ thị hàm số\(y = \frac{{x + 4}}{{x - 3}}\)sao cho tiếp tuyến tại \(M\) cắt các trục \[Ox,\,Oy\] lần lượt tại \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(AB = 5 \cdot OA\sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2{{\rm{x}}_0} + {y_0}\) (nhập đáp án vào ô trống).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Hàm số \(y = f\left( {5 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \,\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[g\left( x \right)\, = \,f\left( {3 - x} \right)\] có số điểm cực đại là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho trong hình vẽ dưới đây. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sin \,x} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:                                  

Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{{m^2} + 3}}{2}{x^2} - \left( {{m^3} + m - 2} \right)x + {m^2}\] có điểm cực tiểu, điểm cực đại lần lượt là \[{x_{{\rm{CT}}}}\], . Số giá trị nguyên trong đoạn \[\left[ { - 9;9} \right]\] của \(m\) thỏa mãn  là:

\[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \] bằng:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận xiên là đường thẳng:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Tại một nhà máy, gọi \(C\left( x \right)\) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm \(C'\left( x \right)\), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: \[C'\left( x \right) = 5 - 0,06x + 0,00072{x^2}\] với \[0 \le x \le 150\]. Biết rằng \(C\left( 0 \right) = 30\) triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng (nhập đáp án vào ô trống).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong ở hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?          

Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) có đồ thị như hình bên. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left[ {f\left( x \right) + 2} \right] = \frac{m}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập \(S\) là:

Nếu \(\int\limits_1^3 f \left( x \right){\rm{d}}x = 2\) thì \[\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \] bằng:

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\) Đường kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:

Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) và tiến hành đo các góc \(BAC,BCA\). Biết \(AC = 25\;m\); \(\widehat {BAC} = 59,95^\circ \); \(\widehat {BCA} = 82,15^\circ \) (hình vẽ bên). Hỏi khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) là bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 4x - {x^2}\), \(y = 2x\)và hai đường thẳng \[x = 1,x = e\]bằng:    

Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy \[ABCD\] là hình thang vuông tại \[A\] và\[B\]. Biết \(AD = 2a\),\(AB = BC = SA = a\). Cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt đáy, gọi \[M\] là trung điểm của \[AD\]. Khoảng cách \[h\] từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] là:

Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng \(100\,\,{m^2}\)để làm khu vườn. Để chi phí xây dựng bờ rào xung quanh khu vườn là ít tốn kém nhất thì ông A đã mua mảnh đất có kích thước \(a\,{\rm{(m)}}\,\, \times \,\,b\,{\rm{(m)}}\)(với \(a\) là chiều dài, \(b\) là chiều rộng của khu vườn). Khi đó kết quả của biểu thức \(a + 2b\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Cho hình tứ diện \[OABC\] có đáy \[OBC\] là tam giác vuông tại \(O\), \(OB = a\), \(OC = a\sqrt 3 \). Cạnh \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OBC} \right)\], \(OA = a\sqrt 3 \), gọi M là trung điểm của \(BC\). Tính theo \(a\) khoảng cách \(h\) giữa hai đường thẳng \(AB\) và \[OM\].

Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} \,dx = a + b\ln c,\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.\) Tính tổng \(S = a + b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).

Gọi \[G\] là trọng tâm tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[A'\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\,\]. Tỉ số \[\frac{{GA}}{{GA'}}\] bằng:

Một đường tròn có tâm\[I\left( {3; - 2} \right)\], tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 5y + 1 = 0. Bán kính của đường tròn đó bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1; - 1;3} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\)và\(C\left( {5; - 2;1} \right)\). Tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\)là hình bình hành là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:\(\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0\), \(m\)là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng\(\Delta \) (nhập đáp án vào ô trống).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(O\), song song với \(\Delta \) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:   

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Minh Hiền đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng \[OO' = 5\]cm, \[OA = 10\]cm, \[OB = 20\]cm, đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm \[A\]. Thể tích của chiếc mũ bằng:                           

Trong không gian với hệ tọa độ\[Oxyz\], cho điểm\(M\left( {1; - 3;4} \right)\), đường thẳng \(d\) có phương trình\[\,\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] và mặt phẳng\[\left( P \right):\,2x + z - 2 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \[M\] vuông góc với \[d\] và song song với\(\left( P \right)\).    

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\] và điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\]. Tọa độ điểm \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\] là:

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu \[\left( S \right)\] là:    

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét M là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Ba nhóm học sinh gồm \[410\] người, \[15\] người, \[25\] người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là \[50{\rm{kg}}\], \[38{\rm{kg}}\], \[40{\rm{kg}}\]. Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là:

Một hộp có \(4\)bi đỏ, \(3\)bi xanh, \(2\)bi vàng. Lấy ngẫu nhiên \(3\)bi. Xác suất để \(3\)bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ là:    

Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ lon nước ngọt để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ lon nước ngọt của học sinh khối 12 ở bảng sau:

Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là \(95\% \), xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là \(85\% \). Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là:

Bạn An gieo 1 hạt đậu và 1 hạt ngô. Xác suất nảy mầm của hạt đậu và hạt ngô lần lượt là 0,7 và 0,6. Biết rằng sự nảy mầm của hai hạt này là độc lập. Tính xác suất của biến cố: “Có ít nhất một hạt nảy mầm” (nhập đáp án vào ô trống).

Bảng dưới đây thống kê số tập bài chấm điểm thi vào 10 môn Toán tại một thành phố năm 2024 của một tổ chấm.

 Khi đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \[P\left( A \right) = 0,6\]; \[P\left( B \right) = 0,7\]; \[P\left( {A \cap B} \right) = 0,3\]. Khi đó, \[P\left( {\bar B|A} \right)\] bằng:    

Được biết có đàn ông bị mù màu và phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần chục nghìn)?

_______

Elmon có hộp bánh quy, ban đầu tất cả hộp đều trống. Mỗi ngày, Elmon chọn hai hộp bánh phân biệt bất kì rồi cho vào mỗi hộp một chiếc bánh quy. Hằng đêm, Cookie Monster tìm đến hộp bánh có số bánh nhiều nhất và ăn toàn bộ số bánh trong hộp đó. Nếu quá trình này diễn ra vô hạn thì số bánh nhiều nhất mà Cookie Monster có thể ăn trong một buổi tối là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Bây giờ là 7 giờ đúng. Biết rằng sau ít nhất \(x\) phút thì kim phút trùng lên kim giờ. Hỏi \(x\) gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời câu hỏi 48 và 49.

Lúc đầu trong ao có một số con ếch. Người ta ghi nhận số lượng ếch trong 5 năm đầu như hình bên dưới.

Giả sử số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C \cdot {a^t}\).

Hàm số biểu diễn số lượng ếch sau \(t\) năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao là

Hàm số biểu diễn số lượng ếch sau \(t\) năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao là

Mark đi xem một bộ phim bắt đầu vào lúc 19 giờ. Cậu ấy đi vệ sinh sau khi xem được một phần ba bộ phim. Khi cậu ấy quay lại, thời gian còn lại của bộ phim dài gấp bảy lần thời gian cậu ở trong nhà vệ sinh. Thời gian từ lúc Mark quay lại xem phim đến 21 giờ 12 phút dài gấp sáu lần thời gian từ 21 giờ 12 phút đến khi hết phim. Hỏi bộ phim kết thúc vào lúc nào?