Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều có đáp án - Đề 8

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số được ghi trên quả bóng được chọn ra là:

\(M = \left\{ {1;2;3;4;...;14;15} \right\}\), trong đó các quả bóng ghi số \(1;2;3...;7;8\) có màu đỏ; các quả bóng ghi số \(9;10;..;15\) có màu xanh.

Tập hợp \(M\) có 15 phần tử.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(A = \left\{ {9;10;11;12;13;14;15} \right\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là: \(B = \left\{ {2;4;6;8} \right\}\).

b) Có \(7\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) nên xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{7}{{15}}\).

Có \(4\)kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) nên xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{4}{{15}}\).

a) \(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\)

\(60{x^2} - 35x - \left( {60{x^2} - 15x + 4x - 1} \right) = - 23\)

\(60{x^2} - 35x - 60{x^2} + 15x - 4x + 1 = - 23\)

\( - 24x = - 24\)

\(x = 1\)

Vậy \(x = 1\).

b) Thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy số dư của phép chia \[\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)\] là 24.

a) \(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\)

\( = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2x + \left( {12 - 15} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3\)

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\)

\( = \left( { - 5{x^4} + 5{x^4}} \right) - {x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x - 12x} \right) + \left( {2 - 3} \right)\)

\( = - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\) và hệ số tự do là \( - 3\).

c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 3} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3 - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

\( = - 12x - 4\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)

Do đó \( - 12x - 4 = 0\), suy ra \(x = - \frac{1}{3}\).

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\) nên \(\widehat C < \widehat B\).

Mà \(\widehat C = 90^\circ - \widehat {HAC}\) và \(\widehat B = 90^\circ - \widehat {BAH}\).

Do đó \[90^\circ - \widehat {HAC} < 90^\circ - \widehat {BAH}\] hay \(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \);

\(AH\) là cạnh chung;

\(HB = HD\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ADH\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) nên là tam giác cân tại \(A\).

c) Kéo dài \(AH\) và \(CF\) cắt nhau tại \(K\).

Xét \(\Delta AKC\) có \(CH \bot AK,AF \bot CK\), \(CH\) cắt \[AF\] tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).

Suy ra \(KD \bot AC\)

Mà \(DE \bot AC\) nên ba điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.

\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d = a + b + c + d\)

\(f\left( { - 2} \right) = a.{\left( { - 2} \right)^3} + b.{\left( { - 2} \right)^2} + c.\left( { - 2} \right) + d = - 8a + 4b - 2c + d\)

Suy ra \(f\left( { - 2} \right) - f\left( 1 \right) = - 8a + 4b - 2c + d - a - b - c - d\)

\( = - 9a + 3b - 3c\)

\( = - 3\left( {3a - b + c} \right)\)

Theo bài, \(b = 3a + c\) suy ra \(3a - b + c = 0\)

Do đó \(f\left( { - 2} \right) - f\left( 1 \right) = - 3.0 = 0\) nên \(f\left( { - 2} \right) = f\left( 1 \right)\)

Khi đó \(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right) = {\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\)

Do \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) nên \(a + b + c + d \in \mathbb{Z}\) hay \(f\left( 1 \right) \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right) = {\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là bình phương của một số nguyên.