Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Tập hợp các kết quả xảy ra đối với mặt xuất hiện của hai con xúc xắc là:

\(M = \left\{ {\left( {1;1} \right)\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);...;\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\), trong đó chẳng hạn \(\left( {1;2} \right)\) cho biết xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm.

Tập hợp \(M\) có 36 phần tử.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là:

\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là:

\(A = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;5} \right);} \right.\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;5} \right);\)

\(\left. {\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\).

b) Biến cố \(A\) có 6 kết quả thuận lợi nên xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Biến cố \(B\) có \(18\) kết quả thuận lợi nên xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2}\).

a) \[5x\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {5x - 1} \right) - 5\]

\[5{x^2} - 15x = 5{x^2} - 11x - 3\]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{4}\]

Vậy \(x = \frac{3}{4}\)

b) Đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy số dư của phép chia \[\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x - 3} \right)\] là 0.

a) \[P\left( x \right) = 2{x^2} - 3{x^3} + {x^2} + 3x{}^3 - x - 1 - 3x\]

\[ = \left( { - 3{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - x - 3x} \right) - 1\]

\[ = 3{x^2} - 4x - 1\]

\[Q\left( x \right) = - 3{x^2} + 2{x^3} - x - 2{x^3} - 3x - 2\]

\[ = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) - 3{x^2} + \left( { - x - 3x} \right) - 2\]

\[ = - 3{x^2} - 4x - 2\]

c) Ta có: \[g\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)\]

Suy ra \(g\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 4x - 1} \right) - \left( { - 3{x^2} - 4x - 2} \right)\)

\[ = 3{x^2} - 4x - 1 + 3{x^2} + 4x + 2\]

\( = 6{x^2} + 1\)

Do đó \[g\left( x \right) - \left( {6x + 1} \right) = 6{x^2} + 1 - 6x - 1 = 6{x^2} - 6x\]

Ta có: \[g\left( x \right) - 6x + 1 = 0\]

\[6{x^2} - 6x = 0\]

\[6x\left( {x - 1} \right) = 0\]

\(x = 0\) hoặc \(x = 1\)

Vậy \[x \in \left\{ {0;1} \right\}\] thì \[g\left( x \right) - \left( {6x + 1} \right) = 0\].

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) ta có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);

\(BD\) là cạnh chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[AB = EB\] (hai cạnh tương ứng)

\(\Delta BAE\) có \[AB = EB\] nên là tam giác cân tại \[B\].

b) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (chứng minh trên) suy ra \[AD = ED\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \[A\] có \[DF\] là cạnh huyền suy ra \[DF > AD\] hay \[DF > DE\].

c) Xét \(\Delta CKF\) có: \[FD = DK\] nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác.

Mà \[CI = 2DI\] hay \(CI = \frac{2}{3}CD\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta CKF\).

Suy ra \[KI\] đi qua trung điểm của \[CF\] \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BCF\) có \(CA,FE\) là hai đường cao của tam giác và \(CA,FE\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của tam giác.

Suy ra \(BD \bot CF\) hay \(BH \bot CF\)

Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta BHC\) có:

\(\widehat {BHF} = \widehat {BHC} = 90^\circ \);

\(BH\) là cạnh chung;

\(\widehat {HBF} = \widehat {HBC}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta BHF = \Delta BHC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(HF = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(H\) là trung điểm của \(CF\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[KI\] đi qua điểm \(H\), hay ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng.

\(A\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + \left( {18 - 9m} \right){x^2} + 22x - 23\)

Để đa thức \(A\left( x \right)\) là đa thức bậc hai theo biến \(x\) thì hệ số của lũy thừa bậc hai phải khác 0 và hệ số của lũy thừa bậc cao hơn hai bằng 0.

Tức là \(\left\{ \begin{array}{l}18 - 9m \ne 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{m^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right)\): \(18 - 9m \ne 0\)

\(9m \ne 18\)

\(m \ne 2\)

Giải \(\left( 2 \right)\): \({m^2} - 4 = 0\)

\({m^2} = 4\)

\(m = 2\) hoặc \(m = - 2\).

Kết hợp hai điều kiện \(m \ne 2\) vừa tìm được ở trên ta có \(m = - 2\).

Vậy với \(m = - 2\) thì đa thức \(A\left( x \right)\) là đa thức bậc hai theo biến \(x\).