Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều có đáp án - Đề 2
16 câu hỏi
Ngọc làm thí nghiệm đun nước tinh khiết trong điều kiện bình thường và đo nhiệt độ của nước tại một số thời điểm sau khi bắt đầu đun được kết quả như sau:
Giá trị nào không hợp lí trong dữ liệu về nhiệt độ của nước mà Lan thu được?
110;
98;
64;
76.
Đáp án đúng là: A
Nhiệt độ sôi của nước là \(100^\circ C\) nên nhiệt độ \(110^\circ C\) là không hợp lí.
Cho biểu đồ sau:
Ngày nào trong \(7\) ngày đầu năm \[2021\] lạnh nhất?
Ngày \(1\);
Ngày \(2\);
Ngày \(3;4;5\);
Ngày 7.
Đáp án đúng là: D
Quan sát biểu đồ ta thấy ngày có nhiệt độ thấp nhất trong 7 ngày đầu năm 2021 là ngày 7.
Do đó ngày 7 là ngày lạnh nhất.
Trong một trò chơi, Xuân được chọn làm người may mắn để rút thăm trúng thưởng. Gồm 4 loại thăm: hai hộp bút màu, hai bức tranh, một đôi giày và một cái bàn. Xuân được rút thăm một lần. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với lá thăm Xuân rút được là
{hai hộp bút màu; hai bức tranh; một đôi giày; một cái bàn};
{hai hộp bút màu; hai bức tranh; một đôi giày};
{hai hộp bút màu; hai bức tranh};
{Không trúng thưởng}.
Đáp án đúng là: A
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với lá thăm Xuân rút được là:
{hai hộp bút màu; hai bức tranh; một đôi giày; một cái bàn}.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là \[B = \left\{ {1;2;3; \ldots ;14;15} \right\}\]. Có \(6\) kết quả thuận lợi cho biến cố. Xác suất của biến cố đó là
6;
\(\frac{2}{5}\);
\(\frac{5}{2}\);
\(\frac{3}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của tập hợp B là 15 nên có 15 kết quả có thể xảy ra.
Xác suất của biến cố đó là: \(\frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\).
Cho biểu thức \(B = {x^3} + 6y - 35\). Giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 3\); \(y = - 4\) là
\( - 32\);
\( - 28\);
\(16\);
\(86\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 3\); \(y = - 4\) vào biểu thức \(B\) ta có: \(B = {3^3} + 6.\left( { - 4} \right) - 35 = 27 - 24 - 35 = - 32\).
Biểu thức biểu thị tổng của \(a\) và \(b\) bình phương là
\({\left( {a + b} \right)^2}\);
\({a^2} + {b^2}\);
\(a + {b^2}\);
\({a^2} + b\).
Đáp án đúng là: C
Biểu thức biểu thị tổng của \(a\) và \(b\) bình phương là \(a + {b^2}\).
Nghiệm của đa thức \(A\left( x \right) = 5 + 4x\) là
\(x = \frac{4}{5}\);
\(x = - \frac{4}{5}\);
\(x = \frac{5}{4}\);
\(x = - \frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Cách 1: Thay lần lượt \(x = \frac{4}{5};x = - \frac{4}{5};x = \frac{5}{4};x = - \frac{5}{4}\) vào biểu thức \(A\left( x \right) = 5 + 4x\) ta được \(A\left( { - \frac{5}{4}} \right) = 0\), do đó \(x = - \frac{5}{4}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).
Cách 2: Ta có: \(A\left( x \right) = 5 + 4x = 0\)
\(4x = - 5\)
\[x = - \frac{5}{4}\]
Vậy nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) là \(x = - \frac{5}{4}\).
Đơn thức nào sau đây có bậc là 0?
\(0\);
\[2023\];
\(x\);
\({x^2} - 2x\).
Đáp án đúng là: B
Số 0 không có bậc.
Số \[2023\] có bậc là 0.
Đa thức \(x\) có bậc là 1.
Đa thức \({x^2} - 2x\) có bậc là 2.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\) và \(BC = 6\,\,{\rm{cm}}\)thì độ dài cạnh \(AC\) là
\(3\,\,{\rm{cm}}\);
\(4\,\,{\rm{cm}}\);
\(5\,\,{\rm{cm}}\);
\(6\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: B
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \[AC = AB = 4\,\,{\rm{cm}}\].
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), có \(\widehat B = 30^\circ \). Kết luận nào sau đây đúng?
\(AC > AB\);
\(AC > BC\);
\(AB > AC\);
\(AB > BC\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat B < \widehat C < \widehat A\) nên \(AC < AB < BC\).
Vậy ta chọn phương án C.
Cho ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng có điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(P\). Kẻ đường thẳng \(d \bot MP\) tại \(N\). Lấy điểm \(Q \in d\), với \(Q \ne N\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(MQ < NQ\);
\(MQ = NQ\);
\(MQ > NQ\);
\(MN > MQ\).
Đáp án đúng là: C
Theo quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, ta có: \(MQ > NQ\) và \(MN < MQ\).
Vậy phương án A, B, D sai, phương án C đúng.
Cho tam giác \[ABC\]. Ba đường trung trực của tam giác \[ABC\] cùng đi qua một điểm \[M\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[M\]cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\);
\[M\] cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\)
\[M\] là trọng tâm của \(\Delta ABC\);
\[M\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Đáp án đúng là: A
Ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) cùng đi qua một điểm \(M\), điểm \(M\) này cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\).
(1,5 điểm)
1. Tỉ lệ phần trăm loại thức uống yêu thích của học sinh khối lớp 7 được biểu diễn trên biểu đồ sau:
(a) Số học sinh yêu thích nước suối chiếm bao nhiêu phần trăm? Lập bảng thống kê biểu diễn tỉ lệ phần trăm loại thức uống yêu thích của học sinh khối lớp 7.
(b) Dựa vào biểu đồ trên và bảng thống kê lập được ở câu a, hãy cho biết trong buổi liên hoan cuối năm khối lớp 7 nên mua những loại nước uống nào và mua loại nào nhiều nhất? Giải thích.
2. Danh sách đội dự thi trực tuyến về “An toàn giao thông” của học sinh lớp \(7A\) được đánh số thứ tự từ 1 đến 25, trong đó bạn Bích có số thứ tự là 15. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội đó. Tính xác suất của biến cố: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Bích”.
1.
a) Gọi tỉ lệ phần trăm số học sinh yêu thích nước suối là \[x\% \left( {x > 0} \right)\].
Dựa vào tính chất cả hình tròn biểu diễn \[100\% \], ta có:
\[13\% + 15\% + x\% + 40\% = 100\% \]
Do đó \[x\% = 32\% \], tức là số học sinh yêu thích nước suối chiếm \[32\% \].
Ta có bảng thống kê biểu diễn tỉ lệ phần trăm loại thức uống yêu thích của học sinh khối lớp 7 như sau:
b) Dựa vào biểu đồ trên và bảng thống kê lập được ở câu a, ta thấy có 4 loại nước uống mà các bạn học sinh yêu thích, do đó trong buổi liên hoan cuối năm khối lớp 7 nên mua nước chanh, nước cam, nước suối và trà sữa. Trong đó trà sữa nên mua nhiều nhất vì tỉ lệ phần trăm số học sinh yêu thích trà sữa là \[40\% \], chiếm tỉ lệ cao nhất trong 4 loại thức uống yêu thích.
2.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số thứ tự của bạn được chọn là:
\(M = \left\{ {1;2;3;...;24;25} \right\}\). Số phần tử của tập hợp \(M\) là 25.
Trong 25 số, có 10 số lớn hơn số 15 là: \(16;17;...;24;25\).
Do đó có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Bích”.
Vậy xác suất của biến cố đã cho là: \(\frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}\).
(2,0 điểm) Cho hai đa thức: \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\);
\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\).
(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\).
(c) So sánh \(A\left( { - 1} \right)\) và \(B\left( 1 \right)\).
(d) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\)
\( = \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) - x + 3\)
\( = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3\).
\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\)
\( = - {x^4} + \left( {10{x^3} - 4{x^3}} \right) - 2{x^2} + 4x + 3\)
\( = - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là \(1\).
c) Ta có \(A\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 6.{\left( { - 1} \right)^3} + 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3\)
\( = 1 + 6 + 2 + 1 + 3 = 13\)
\(B\left( 1 \right) = - {1^4} + {6.1^3} - {2.1^2} + 4.1 + 3\)
\( = - 1 + 6 - 2 + 4 + 3 = 10\)
Do \(13 > 10\) nên \(A\left( { - 1} \right) > B\left( 1 \right)\).
d) Ta có \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\)
Suy ra \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)
\(M\left( x \right) = \left( {{x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3} \right) + \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3} \right)\)
\[ = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3 - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\]
\[ = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - 6{x^3} + 6{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - x + 4x} \right) + \left( {3 + 3} \right)\]
\[ = 3x + 6.\]
Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)
Do đó \(3x + 6 = 0\), suy ra \(x = - 2\).
Vậy \(x = - 2\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(CM\). Trên tia đối của tia \(MC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MC\).
(a) Chứng minh \(\Delta MAC = \Delta MBD\).
(b) Chứng minh \(AC + BC > 2CM\).
(c) Gọi \(K\) là điểm trên đoạn thẳng \(AM\)sao cho \(AK = \frac{2}{3}AM\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(CK\) và \(AD\), \(I\) là giao điểm của \(BN\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(CD = 3ID\).
a) Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MBD\) có:
\(MA = MB\) (do \(M\) là trung điểm của \(AB\));
\(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh);
\(MC = MD\) (giả thiết)
Do đó \(\Delta MAC = \Delta MBD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).
b) Do \(\Delta MAC = \Delta MBD\) (câu a) nên \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta BCD\) có: \[BD + BC > CD\] (bất đẳng thức tam giác)
Do đó \[AC + BC > CD\]
Mà \(CD = 2CM\) (do \(MD = MC\) nên \(M\) là trung điểm của \(CD\)).
Vậy \[AC + BC > 2CM\].
c) Xét \(\Delta ACD\) có đường trung tuyến \(AM\) và \(AK = \frac{2}{3}AM\) nên \(K\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\)
Do đó \(CK\) là đường trung tuyến nên \(N\) là trung điểm của \(AD\).
Xét \(\Delta ABD\) có \(DM,BN\) là hai đường trung tuyến và \(DM,BN\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\).
Do đó \(DI = \frac{2}{3}DM\)
Mà \(DM = \frac{1}{2}CD\) nên \(DI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD = \frac{1}{3}CD\) hay \(CD = 3DI\).
(0,5 điểm) Tìm giá trị nguyên dương của \(x\) để đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\).
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Để đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\) thì \[3 \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Tức là \({x^2} + x + 1 \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;3; - 1;1} \right\}\).
Do \[x > 0\] nên \({x^2} + x + 1 > 1\)
Do đó \({x^2} + x + 1 = 3\)
\({x^2} + x - 2 = 0\)
\({x^2} - x + 2x - 2 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (loại).
Vậy \(x = 1\) thì đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\).
