Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
38 câu hỏi
Biểu thức nào là luỹ thừa với số mũ thực
\({3^{\frac{1}{3}}}\).
\({2^{ - x}}\).
\({x^{ - 2}}\).
\({2^x}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biểu thức lũy thừa của số mũ thực là \({3^{\frac{1}{3}}}\).
Cho hai số dương \(a,b\)với \(a \ne 1\). Số \(\alpha \)thoả mãn \({a^\alpha } = b\), khi đó \(\alpha \)bằng
\(\alpha = {\log _a}b\).
\(\alpha = {\log _b}a\).
\(\alpha = {\log _a}a\).
\(\alpha = {\log _b}b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({a^\alpha } = b\)\( \Leftrightarrow \alpha = {\log _a}b\) với \(a,b\) là hai số dương, \(a \ne 1.\)
Hàm số nào sau đây là hàm số mũ
\(y = {2^{\frac{x}{2}}}\).
\(y = - {2^x}\).
\(y = {x^{ - 2}}\).
\(y = {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số mũ là \(y = {2^{\frac{x}{2}}}\).
Nghiệm của phương trình \[{\log _{2023}}\left( {2024x} \right) = 0\] là:
\(x = \frac{1}{{2024}}\).
\(x = 2024\).
\(x = {2023^{2024}}\).
\(x = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[{\log _{2023}}\left( {2024x} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2024x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{2024}}.\]
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(A'C'\) và \(BD\) bằng.
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[90^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \(AC//A'C'\) nên \(\left( {A'C',BD} \right) = \left( {AC,BD} \right) = 90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(BC \bot (SAD).\)
\(AB \bot (SAD).\)
\(AC \bot (SAD).\)
\(BD \bot (SAD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \((P).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \((P).\)
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \((P).\)
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \((P).\)
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \((P).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây ?
\((SAC).\)
\((SBD).\)
\((SCD).\)
\((SBC).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) mà \(BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AD\) và \(A'C'\) là
\[AA'.\]
\[BB'.\]
\[DA'.\]
\(DD'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AA' \bot A'C'\) tại \(A'\) và \(AA' \bot AD\) tại \(A\).
Do đó \(AA'\) là đoạn vuông góc chung của \(AD\) và \(A'C'\).
Công thức tính thể tích của khối chóp có B là diện tích đáy, h là chiều cao:
\[V = B.h.\]
\[V = \frac{1}{2}B.h.\]
\[V = \frac{1}{3}B.h.\]
\(V = 3B.h.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thể tích khối chóp là \[V = \frac{1}{3}B.h.\]
Một khối lăng trụ có chiều cao bằng \(2a\) và diện tích đáy bằng \(2{a^2}\). Tính thể tích khối lăng trụ.
\(V = 4{a^3}\).
\(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
\(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\).
\(V = \frac{{4{a^2}}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Thể tích khối lăng trụ là \(V = 2{a^2}.2a = 4{a^3}.\)
Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: "Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hoặc bằng 4", B là biến cố: " Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2". Khẳng định nào sau đây là đúng?
A và B là hai biến cố xung khắc.
A và B là hai biến cố đối.
Cả A và B đều đúng.
Không đủ thông tin để kết luận.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc.
Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm thu được là số chẵn”, \(B\) là biến cố: “Số chấm thu được là số không chia hết cho 4”. Hãy mô tả biến cố giao \(AB\).
\(\left\{ {2;6} \right\}\).
\(\left\{ {2;4;6} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3;5;6} \right\}\).
\(\left\{ {1;2;3} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left\{ {2;4;6} \right\}\); \(B = \left\{ {1;2;3;5;6} \right\}\).
Khi đó \(AB = \left\{ {2;6} \right\}\).
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{3}\), \(P\left( B \right) = \frac{1}{4}\). Tính \(P\left( {A \cup B} \right)\).
\(\frac{7}{{12}}\).
\(\frac{1}{{12}}\).
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{7}{{12}}.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\) và đạo hàm \(f'(2) = 6.\) Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)\) bằng
\(2\).
\(3\).
\(6\).
\(12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)\) bằng \(f'\left( 2 \right) = 6\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có hệ số góc bằng
\( - 3\).
\(9\).
\( - 9\).
\(72\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(y' = 3{x^2} - 6x\).
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có hệ số góc bằng \(y'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) = 9\).
Hàm số \(y = \cot x\) có đạo hàm là:
\(y' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)
\(y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)
\(y' = 1 + {\cot ^2}x\).
\(y' = - \tan x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x}\) là
\(y' = x{.3^{x - 1}}\).
\(y' = {3^x}.\ln 3\).
\(y' = {3^x}\).
\(y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {{3^x}} \right)^\prime } = {3^x}\ln 3.\)
Hàm số \(y = {x^5}\) có đạo hàm cấp 2 là
\[5{x^4}\].
\(20x\).
\(20{x^3}\).
\(5{x^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = {\left( {{x^5}} \right)^\prime } = 5{x^4};y'' = 20{x^3}\).
Hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp hai tại \(x = 1\) là
\[y''\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\].
\(y''\left( 1 \right) = - \frac{1}{4}\).
\(y''\left( 1 \right) = 4\).
\(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(y' = {\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).
Do đó \(y''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\).
Cho \[a\] là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức \[P = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}}\] là:
\[2a.\]
\[a.\]
\[1 - a.\]
\[1 + a.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[P = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}}\]\[ = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} = 1 + a\].
Rút gọn biểu thức \[R = {\log _a}{b^{\frac{3}{2}}} + {\log _{{a^2}}}{b^{\frac{5}{2}}}\] (với \[a > 0;\,\,a \ne 1\] và \[b > 0).\]
\(R = 4{\log _a}\,b.\)
\(R = \frac{{15}}{8}{\log _a}\,b.\)
\(R = \frac{{11}}{4}{\log _a}\,b.\)
\(R = \frac{{15}}{4}{\log _a}\,b.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[R = {\log _a}{b^{\frac{3}{2}}} + {\log _{{a^2}}}{b^{\frac{5}{2}}}\]\[ = \frac{3}{2}{\log _a}b + \frac{5}{2}.\frac{1}{2}{\log _a}b\]\[ = \frac{3}{2}{\log _a}b + \frac{5}{4}{\log _a}b = \frac{{11}}{4}{\log _a}b.\]
Tổng các giá trị nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - 5{\log _2}x + 6 = 0\) bằng
\(10\).
\(\frac{{65}}{{64}}\).
\(5\).
\(\frac{{129}}{{64}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x > 0\).
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x - 5{\log _2}x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow - \log _2^2x - 5{\log _2}x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = - 6\\{\log _2}x = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{64}}\\x = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Tổng các nghiệm là: \(2 + \frac{1}{{64}} = \frac{{129}}{{64}}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(BD \bot (SAC).\)
\(AK \bot (SCD).\)
\(BC \bot (SAC).\)
\(AH \bot (SCD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (2).
Từ (1) và (2), ta có: \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\) mà \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right).\)
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {D'BC} \right)\).
\(\left( {B'BD} \right)\).
\(\left( {D'AB} \right)\).
\(\left( {BA'C'} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D} \right)\) mà \(AC \subset \left( {AB'C} \right)\)\( \Rightarrow \left( {AB'C} \right) \bot \left( {BB'D} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài \(BD' = 3\sqrt 3 \). Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\).
\(27\).
\(18\).
\(6\).
\(9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a\left( {a > 0} \right)\).
Khi đó độ dài đường chéo \(BD' = a\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \Rightarrow a = 3\).
Do đó thể tích của hình lập phương là \({3^3} = 27\).
Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(n\left( A \right) = 6\).
\(n\left( A \right) = 12\).
\(n\left( A \right) = 16\).
\(n\left( A \right) = 36\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố A là: \(\left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
Suy ra \(n\left( A \right) = 6\).
Hai xạ thủ M và N cùng bắn súng vào một tấm bia. Biết rằng xác suất bắn trúng của xạ thủ M là 0,3, của xạ thủ N là 0,2. Khả năng bắn trúng của hai xạ thủ là độc lập. Xác suất của biến cố "Cả hai xạ thủ đều bắn trúng" là
0,05.
0,06.
0,07.
0,08.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố: “Xạ thủ M bắn trúng bia”.
B là biến cố: “Xạ thủ N bắn trúng bia”.
C là biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia”.
Khi đó \(C = A.B\).
Theo đề có \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,2\).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( C \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,3.0,2 = 0,06\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 5\) tại điểm có hoành độ \(x = - 1\).
\(y = 4x - 6.\)
\(y = 4x + 2.\)
\(y = 4x + 6.\)
\(y = 4x - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y' = 4{x^3} - 8x\), \(y'\left( { - 1} \right) = 4\).
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ \(x = - 1\) là: \(M\left( { - 1;2} \right).\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( { - 1;2} \right)\) là:
\(y = y'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\) \( \Leftrightarrow y = 4\left( {x + 1} \right) + 2\) \( \Leftrightarrow y = 4x + 6\).
Cho \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)^2}\). Biểu thức \(f'\left( 1 \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
\( - 1\).
\( - 2\).
\( - 12\).
\(1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có \(f'\left( x \right) = 2\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\).
Có \(f'\left( 1 \right) = 2\left( {2.1 - 3} \right)\left( {{1^2} - 3.1 + 3} \right) = - 2\).
Một sinh viên gửi tiết kiệm ngân hàng lãi suất 13%/ năm với hình thức lãi kép. Hỏi sau bao nhiêu năm sinh viên đó thu được gấp ba lần số tiền ban đầu, biết lãi suất cố định trong các năm.
8 năm 9 tháng.
15 năm 5 tháng.
8 năm.
9 năm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Giả sử sinh viên đó gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép 13%/năm thì số tiền bạn sinh viên đó nhận được cả vốn lần lãi sau n kì hạn là: \({S_n} = A{\left( {1 + 13\% } \right)^n}\).
Theo đề có \({S_n} = 3A\) nên \(3A = A{\left( {1 + 13\% } \right)^n}\)\( \Rightarrow 3 = {\left( {1 + 13\% } \right)^n} \Rightarrow n = {\log _{1 + 13\% }}3 \approx 9\).
Vậy sau khoảng 9 năm sinh viên đó thu được gấp ba lần số tiền ban đầu.
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\], \[SA = 2a\], tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\], \[AB = a\sqrt 3 \] và \[BC = a\] (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[90^\circ \].
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó góc giữa \[SC\] và mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCA}\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại B nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{2a}} = 1\) \( \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi \[A\] là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và \[B\] là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố \[A \cup B.\]
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,SNS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \Omega \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = \left\{ {SSS,SSN,NSS} \right\}\); \(B = \left\{ {SSS,NNN} \right\}\).
Khi đó \(A \cup B = \left\{ {SSS,SSN,NSS,NNN} \right\}\).
Gọi \(A\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(8\) chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(A\). Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho \(25\) bằng
\(\frac{{43}}{{324}}\).
\(\frac{1}{{27}}\).
\(\frac{{11}}{{324}}\).
\(\frac{{17}}{{81}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 9.A_9^7\).
Gọi \(A\) là biến cố chọn được số chia hết cho \(25\).
Số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \, \vdots 25\) khi \(\overline {{a_7}{a_8}} \vdots 25\), nên số \(\overline {{a_7}{a_8}} \) là \(25\,,\,50\,,\,75\).
TH 1: số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}25} \)có \(7.\)\(A_7^5\) số.
TH 2: số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}75} \) có \(7.\)\(A_7^5\) số.
TH 3: số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}50} \) có \(A_8^6\) số
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 7.A_7^5 + 7.A_7^5 + A_8^6\)
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \)\(\frac{{11}}{{324}}\).
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2s\) là
\( - 3{\rm{m/s}}\).
\(3{\rm{m/s}}\).
\( - 9{\rm{m/s}}\).
\({\rm{9m/s}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(v\left( t \right) = s'\,\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9\).
Do đó \(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 12.2 + 9 = - 3{\rm{m/s}}\).
Một chất điểm chuyển động thẳng được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} + {t^2}\), trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét.
a) Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3s.
b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a) Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} + 2t\).
Có \(v\left( 3 \right) = {3^2} + 2.3 = 15\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
b) Có \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t + 2\).
Thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s tức là
\({t^2} + 2t = 8 \Leftrightarrow t = 2\) hoặc \(t = - 4\).
Vì \(t > 0\) nên gia tốc tức thời của chất điểm tại t = 2 là \(a\left( 2 \right) = 2.2 + 2 = 6\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xác suất trúng mục tiêu là 0,7 và 0,8. Tính xác suất mục tiêu bị ném bom.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố: “Máy bay 1 ném trúng mục tiêu”.
B là biến cố: “Máy bay 2 ném trúng mục tiêu”.
Khi đó \(A \cup B\): “Mục tiêu bị ném bom”.
Theo đề, có \(P\left( A \right) = 0,7;P\left( B \right) = 0,8\).
Do \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,7.0,8 = 0,56\).
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94\).
Vậy xác suất mục tiêu bị ném bom là 0,94.
Từ một tấm bìa hình vuông người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng 6 cm, rồi gập tấm bìa lại để được một chiếc hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tính cạnh của tấm bìa ban đầu, biết rằng thể tích của chiếc hộp bằng 600 cm3.
Giả sử tấm bìa ban đầu có cạnh \(x\) (cm) (\(x > 12\)).
Khi đó đáy của chiếc hộp là hình vuông cạnh \(x - 12\)(cm)
nên diện tích đáy là \({\left( {x - 12} \right)^2}\)(cm2).
Vì thể tích của chiếc hộp bằng 600 cm3 nên
\({\left( {x - 12} \right)^2}.6 = 600 \Leftrightarrow x - 12 = 10 \Leftrightarrow x = 22\) (vì \(x > 12\)).
Vậy cạnh tấm bìa ban đầu là 22 cm.
