Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
39 câu hỏi
I. Trắc nghiệm
Cho \(a\) là số thực dương khác \[1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương \(x,{\rm{ }}y\)?
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right)\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\)
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ { - 1;3} \right]\).
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - 1;3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\) xác định khi \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Giá trị nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \[{2^x} < 4\]
\[x = 1\].
\[x = 2\].
\[x = 3\].
\[x = 4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{2^x} < 4\]\( \Leftrightarrow {2^x} < {2^2} \Leftrightarrow x < 2\).
Do đó ta chọn đáp án A.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa \[AC\] và \[AA'\] là:
\[45^\circ .\]
\(90^\circ .\)
\[60^\circ .\]
\[120^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AC\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?
\(AD.\)
\(BB'.\)
\(CC'.\)
\(BD.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD\)mà \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(AB \bot (SAD).\)
\(BC \bot (SAD).\)
\(AC \bot (SAD).\)
\(BD \bot (SAD).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot (ABCD)\)\( \Rightarrow SA \bot AB\) mà \(AB \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật).
Do đó \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên
Hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C'D')\)là
\(A'.\)
\(B'.\)
\(C'.\)
\(D'.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C'D')\)là \(A'\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) ?
\[(BCD'A').\]
\((ADC'B').\)
\((A'B'C'D').\)
\((ADD'A').\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây ?
\((SAC).\)
\((SBD).\)
\((SCD).\)
\((SBC).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SA \bot BD\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình vuông. Tam giác \(SAB\) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((SAB)\)?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Suy ra \(SH \bot BC,SH \bot AD\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \bot AB\) và \(AD \bot AB\).
Vì \(SH \bot BC\) và \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(SH \bot AD\) và \(AD \bot AB\) nên \[AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông , \(SA\)vuông góc với đáy. Khoảng cách từ \(S\)đến mặt phẳng \((ABCD)\)là
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)\(AB = a\) và \(SB = \sqrt 2 a.\) Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
\(a.\)
\(\sqrt 2 a.\)
\(2a.\)
\(\sqrt 3 a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\right) = SA\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).
Vậy \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a\).
Để thành lập đội tuyển tham dự cuộc thi “ Sáng tạo Robot Quảng Ngãi lần thứ nhất”. Giáo viên chủ nhiệm lớp 11A1 cần chọn ngẫu nhiên ra một học sinh để tham gia cho đội tuyển của trường. Xét hai biến cố A: “Học sinh đó học giỏi môn Toán”, biến cố B: “ Học sinh đó học giỏi môn Tin”. Khi đó nội dung của biến cố \(A \cup B\)là
Học sinh đó học giỏi môn Toán hoặc học giỏi môn Tin.
Học sinh đó học giỏi cả hai môn Toán và Tin.
Học sinh đó học giỏi môn Toán và không giỏi môn Tin.
Học sinh đó học giỏi môn Tin và không giỏi môn Toán.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B\): “Học sinh đó học giỏi môn Toán hoặc học giỏi môn Tin”.
Nhân ngày 8/3, giáo viên chủ nhiệm lớp 11A1 chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp để tặng quà. Xét hai biến cố A: “Học sinh đó là một học sinh nữ”, biến cố B: “Học sinh đó có tên bắt đầu bằng chữ Q”. Khi đó nội dung của biến cố \(A \cap B\)là
Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam và có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Học sinh đó là học sinh nam hoặc có tên bắt đầu bằng chữ Q.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A \cap B\): “Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q”.
Trong phép thử “Bạn thứ nhất gieo một con xúc xắc, bạn thứ hai gieo một đồng tiền”. Xét hai biến cố A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp” và B: “Con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm”. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A\) và \(B\)là hai biến cố xung khắc.
\(A\) và \(B\)là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B \ne \emptyset .\)
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(A\) và \(B\)là hai biến cố độc lập.
Có hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất để xạ thủ thứ nhất và xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu lần lượt là \(0,6\)và \(0,5.\) Xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu là
\[0,3.\]
\[0,1\].
\[0,5\].
\[0,6\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi biến cố A: “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu”,
Biến cố B: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu”.
Biến cố AB: “Cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Theo đề, có \(P\left( A \right) = 0,6;P(B) = 0,5\).
Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,6.0,5 = 0,3\).
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối đồng chất một lần. Xét các biến cố ngẫu nhiên A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”; B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”. Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là
\[2\]
\[5\].
\[3\].
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A = \left\{ {2;4;6} \right\}\); \(B = \left\{ {3;6} \right\}\).
Do đó \(A \cup B = \left\{ {2;3;4;6} \right\}\).
Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi \(A\)là biến cố “ Tích của hai mặt xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6” và \(B\)là biến cố “ Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm”. Tập hợp mô tả các biến cố giao \(AB\)là
\[{\rm{\{ (1;6);(6;1)\} }}\]
\[{\rm{\{ (1;6)\} }}\].
\[{\rm{\{ (2;3)\} }}\].
\[{\rm{\{ (1;6);(2;3)\} }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB:\) “Tích của hai mặt xuất hiện trên con xúc xắc bằng 6 và có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm”.
\(AB = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\).
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A) - P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A).P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(B) - P(A).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì \[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất một lần. Xét hai biến cố A: “Xuất hiện mặt lẻ chấm” và B: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A\) và \(B\)là hai biến cố xung khắc.
\(A\) và \(B\)là hai biến cố độc lập.
\(A \cap B \ne \emptyset .\)
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A\) và \(B\)là hai biến cố xung khắc.
Cho \(A\)và \(B\)là hai biến cố. Khi đó
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).\]
\[P(A \cup B) = P(A).P(B).\]
\[P(A \cup B) = P(B) - P(A).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).\]
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 16 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn và 12 học sinh giỏi cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Xác suất để chọn được học sinh giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn là
\[0,3.\]
\[0,1\].
\[0,5\].
\[0,6\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Học sinh đó giỏi Toán”.
Biến cố B: “Học sinh đó giỏi Văn”.
Biến cố AB: “Học sinh đó giỏi cả Văn và Toán”.
Biến cố \({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\): “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\).
Khi đó \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]\( = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}}\).
Trong một cuộc khảo sát về các môn học yêu thích đối với 40 học sinh lớp 11A. Kết quả 25 học sinh thích môn Lý, 20 học sinh thích môn Hóa và 14 học sinh thích cả Lý và Hóa. Chọn ngẫu nhiêu một học sinh. Xác suất để chọn được học sinh không thích cả hai môn Lý và Hóa là
\[0,225.\]
\[0,125\].
\[0,5\].
\[0,4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi biến cố A: “Học sinh đó thích môn Lý”.
Biến cố B: “Học sinh đó thích môn Hóa”.
Biến cố AB: “Học sinh đó thích cả môn Lý và Hóa”.
Biến cố \({\rm{A}} \cup {\rm{B}}\): “Học sinh đó thích môn Lý hoặc môn Hóa”.
Theo đề, \(P\left( A \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}\).
Khi đó \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]\( = \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - \frac{7}{{20}} = \frac{{31}}{{40}}\).
Xác suất để chọn được học sinh không thích cả hai môn Lý và Hóa là:
\(1 - \frac{{31}}{{40}} = \frac{9}{{40}} = 0,225\).
Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để xuất hiện ít nhất một mặt sấp là
\[\frac{3}{4}\]
\[1\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\Omega = \left\{ {SS,NN,SN,NS} \right\}\).
Xét biến cố A: “ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”. Khi đó \(A = \left\{ {SS,SN,NS} \right\}\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{3}{4}\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\)độc lập với nhau. Khi đó
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
\(P(AB) = P(A) + P(B).\)
\(P(AB) = P(A) - P(B).\)
\(P(AB) = P(B) - P(A).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P(AB) = P(A).P(B).\)
Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là \(0,51.\) Xác suất để cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai là
\[0,88.\]
\[0,32\].
\[0,12\].
\[0,5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xác suất mỗi lần sinh con gái là: \(1 - 0,51 = 0,49\).
Xác suất để cả 3 lần sinh đều là con gái là: \({\left( {0,49} \right)^3} \approx 0,12\).
Vậy xác suất để 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai là: \(1 - 0,12 = 0,88\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \[f'\left( 6 \right) = 2.\] Giá trị của biểu thức \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}}\] bằng
\[12.\]
\[2\].
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) và \({x_0} \in D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại \({x_0}\)
Vậy kết quả của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.\)
Cho hàm số\(y = f(x)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\)có hệ số góc là
\[f'({x_0})\]
\[f({x_0})\].
\[ - f'({x_0})\].
\[ - f({x_0})\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) là \[f'({x_0})\].
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^2}\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(2{\rm{m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{3m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{4m/s}}{\rm{.}}\)
\({\rm{5m/s}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t\).
Khi đó \(v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức \(v\left( t \right) = 8t + 3{t^2}\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(v\left( t \right)\) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là \(1\) mét/giây.
\(6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
\({\rm{11m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
\({\rm{14m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
\({\rm{20m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t + 8\).
Khi đó \(a\left( 1 \right) = 6.1 + 8 = 14\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) là
\(2x.\)
\(0\)
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) là
\(\sin x.\)
\( - \sin x\).
\(\tan x\).
\( - \cot x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^3}\) là
\(6x.\)
\(2x.\)
\(3{x^2}.\)
\(0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\);\(y'' = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\)là
\( - \sin x.\)
\(\cos x.\)
\(\sin x.\)
\( - \cos x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\); \(y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}.\) Giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng
\(12.\)
\(6\).
\(24.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\); \(f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6\left( {1 + 1} \right) = 12\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AD\), ta có \(SH \bot AD\), \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\,\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = a\sqrt 3 \).
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot BC\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BC \bot HM,\,BC \bot SH \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SMH} = 30^\circ \).
Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H,\) có \[\tan 30^\circ = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow HM = \frac{{SH}}{{\tan 30^\circ }} = 3a\].
Khi đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .2a.3a = 2\sqrt 3 {a^3}\).
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :x + y + 4 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(y' = f'(x) = - 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\Delta \): \(x + y + 4 = 0 \Rightarrow y = - x - 4 \Rightarrow \)\(\Delta \)có hệ số góc \({k_\Delta } = - 1.\)
Gọi \(d\) là tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Giả sử \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)thì \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = f'({x_0}) = - 3{x_0}^2 + 2\).
\(d{\rm{//}}\Delta \Rightarrow \) \({k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow - 3{x_0}^2 + 2 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..\)
\({x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow d:y = - x\), thỏa mãn \(d{\rm{//}}\Delta .\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3} \right) \Rightarrow d:y = - x - 4\), trường hợp này \(d \equiv \Delta \) nên không thỏa mãn.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là \(d:y = - x.\)
Sau một năm đi làm, bạn Nam đã tiết kiệm được \(65\) triệu đồng. Nam gởi tiết kiệm với lãi suất \(6,5\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu năm bạn Nam có thể mua được một chiếc xe máy với giá 83 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Gọi \(n\), \(\left( {\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)là số năm cần tìm.
Số tiền cả gốc lẫn lãi của Nam sau \(n\) năm là \(65.{\left( {1 + 6,5\% } \right)^n}\) triệu đồng.
Ta có: \(65.{\left( {1 + 6,5\% } \right)^n} \approx 83\)\( \Rightarrow \,n = 4\).
Vậy sau 4 năm Nam có thể mua được một chiếc xe máy với giá 83 triệu đồng.
Sau khi có kết quả của kỳ thi tốt nghiệp THPT thì xác suất để An đậu NV1 vào trường Đại học Y Dược TPHCM là \(97\% \) và Bình đậu NV1 vào trường Đại học Bách Khoa TPHCM là \(96\% \). Tính xác suất để ít nhất có một trong hai bạn đậu NV1.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố “An đậu NV1”; \(B\) là biến cố “Bình đậu NV1”.
Khi đó \(P\left( A \right) = 0,97;P\left( B \right) = 0,96\).
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = \left( {1 - 0,97} \right)\left( {1 - 0,96} \right) = 0,03.0,04 = 0,0012\)
Xác suất cần tìm là: \(1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,0012 = 0,9988\).
